QUESTÕES ANALÍTICAS
Prof. Enzo
Matemática
1. (Unesp 2013) Quantos são os números naturais que
podem ser decompostos em um produto de quatro fatores
primos, positivos e distintos, considerando que os quatro
sejam menores que 30?
2. (Unicamp 2013) Numa piscina em formato de
paralelepípedo, as medidas das arestas estão em
progressão geométrica de razão q > 1.
a) Determine o quociente entre o perímetro da face de
maior área e o perímetro da face de menor área.
b) Calcule o volume dessa piscina, considerando q = 2 e a
2
área total do paralelepípedo igual a 252 m .
3. (Fuvest 2013) No paralelepípedo reto retângulo
ABCDEFGH da figura, tem-se AB = 2, AD = 3 e AE = 4.
5. (Unifesp 2013) Considere o sistema de inequações
 x 2 + y 2 − 2x ≥ 0

2

3
1
2 
( x − 1) +  y −
 ≤
2
4



a) Represente graficamente, em sistema cartesiano de
eixos ortogonais, a solução desse sistema de
inequações.
b) Calcule a área da superfície que representa a solução
gráfica do sistema de inequações.
6. (Unicamp 2013) Considere a família de retas no plano
cartesiano descrita pela equação
(2 − p )x + (2 p + 1)y + 8 p + 4 = 0, nas variáveis x e y, em que
p é um parâmetro real.
a) Qual é a área do triângulo ABD?
b) Qual é o volume do tetraedro ABDE?
c) Qual é a área do triângulo BDE?
d) Sendo Q o ponto do triângulo BDE mais próximo do
ponto A, quanto vale AQ?
4. (Unicamp 2013) Na formulação de fertilizantes, os teores
percentuais dos macronutrientes N, P e K, associados
respectivamente a nitrogênio, fósforo e potássio, são
representados por x, y e z.
a) Os teores de certo fertilizante satisfazem o seguinte
sistema de equações lineares:
3x + y − z = 0,20

2y + z = 0,55


z = 0,25

Calcule x e y nesse caso.
b) Suponha que para outro fertilizante valem as relações
24% ≤ x + y + z ≤ 54%, x ≥ 10%, y ≥ 20% e z = 10%.
Indique no plano cartesiano abaixo a região de teores (x,
y) admissíveis para tal fertilizante.
a) Determine o valor do parâmetro p para que a reta
correspondente intercepte perpendicularmente o eixo y.
Encontre o ponto de interseção neste caso.
b) Considere a reta x + 3 y + 12 = 0 dessa família para p =
1. Denote por A o seu ponto de interseção com o eixo x e
por O a origem do plano cartesiano. Exiba a equação da
circunferência em que o segmento OA é um diâmetro.
7. (Unesp 2013) Os pontos A e C são intersecções de duas
cônicas dadas pelas equações x2 + y 2 = 7 e y = x 2 – 1,
como mostra a figura fora de escala. Sabendo que
2⋅ 3
tg 49° ≅
e tomando o ponto B ( 0, – 7 ) , determine a
3
ˆ em graus.
medida aproximada do ângulo ABC,
8. (Unicamp 2013) A superfície de um reservatório de água
2
para abastecimento público tem 320.000 m de área,
formato retangular e um dos seus lados mede o dobro do
outro. Essa superfície é representada pela região
hachurada na ilustração abaixo. De acordo com o Código
Florestal, é necessário manter ao redor do reservatório uma
faixa de terra livre, denominada Área de Proteção
Permanente (APP), como ilustra a figura abaixo. Essa faixa
deve ter largura constante e igual a 100 m, medidos a partir
da borda do reservatório.
a) Calcule a área da faixa de terra denominada APP nesse
caso.
b) Suponha que a água do reservatório diminui de acordo
com a expressão V (t ) = V0 2− t , em que V0 é o volume
inicial e t é o tempo decorrido em meses. Qual é o tempo
necessário para que o volume se reduza a 10% do
volume inicial? Utilize, se necessário, log10 2 ≈ 0,30.
a) Qual é o deslocamento horizontal do teleférico quando o
seu deslocamento vertical é igual a 20 m?
b) Se o teleférico se desloca com velocidade constante de
1,5 m/s, quanto tempo o teleférico gasta para ir do pico A
ao pico B?
11. (Unesp 2013) Uma semicircunferência de centro O e
raio r está inscrita em um setor circular de centro C e raio
R, conforme a figura.
O ponto D é de tangência de BC com a
semicircunferência. Se AB = s, demonstre que
R ⋅ s = R ⋅ r + r ⋅ s.
12. (Unicamp 2013) Os lados do triângulo ABC da figura
abaixo têm as seguintes medidas:
AB = 20, BC = 15 e AC = 10.
9. (Fuvest 2013) Um empreiteiro contratou um serviço com
um grupo de trabalhadores pelo valor de R$ 10.800,00 a
serem igualmente divididos entre eles. Como três
desistiram do trabalho, o valor contratado foi dividido
igualmente entre os demais. Assim, o empreiteiro pagou, a
cada um dos trabalhadores que realizaram o serviço, R$
600,00 além do combinado no acordo original.
a) Quantos trabalhadores realizaram o serviço?
b) Quanto recebeu cada um deles?
10. (Fuvest 2013) Um teleférico transporta turistas entre os
picos A e B de dois morros. A altitude do pico A é de 500
m, a altitude do pico B é de 800 m e a distância entre as
retas verticais que passam por A e B é de 900 m. Na figura,
T representa o teleférico em um momento de sua ascensão
e x e y representam, respectivamente, os deslocamentos
horizontal e vertical do teleférico, em metros, até este
momento.
a) Sobre o lado BC marca-se um ponto D tal que BD = 3 e
traça-se o segmento DE paralelo ao lado AC. Ache a
razão entre a altura H do triângulo ABC relativa ao lado
AC e a altura h do triângulo EBD relativa ao lado ED,
sem explicitar os valores de h e H.
b) Calcule o valor explícito da altura do triângulo ABC em
relação ao lado AC.
13. (Unicamp 2013) Considere o polinômio
2
p( x ) = x − 11x + k + 2, em que x é variável real e k um
parâmetro fixo, também real.
a) Para qual valor do parâmetro k o resto do quociente de
p(x) por x – 1 é igual a 3?
b) Supondo, agora, k = 4, e sabendo que a e b são raízes
π π
de p(x), calcule o valor de sen  +  .
a b
14. (Unifesp 2013) Sabe-se que o comprimento C de um
quadrúpede, medido da bacia ao ombro, e sua largura L,
medida na direção vertical (espessura média do corpo),
possuem limites para além dos quais o corpo do animal não
se sustentaria de pé. Por meio da física médica,
confrontada com dados reais de animais, é possível
2
identificar que esses limites implicam na razão C : L3 ser,
no máximo, próxima de 7:1, com as medidas de C e L
dadas em centímetros.
outra com exatamente 2 meninos. Sabendo-se que,
nessa classe, o número de comissões que podem ser
formadas com 3 meninas é igual ao número de
comissões que podem ser formadas com dois meninos,
determine o número de alunos da classe.
17. (Unifesp 2012) O quadro mostra o resultado de uma
pesquisa realizada com 200 nadadores de competição da
cidade de São Paulo, visando apontar o percentual desses
nadadores que já tiveram lesões (dores) em certas
articulações do corpo, decorrentes da prática de natação,
nos últimos três anos.
Articulação
ombro
coluna
joelho
pescoço
Percentual de nadadores
80%
50%
25%
20%
Com base no quadro, determine:
a) quantos nadadores do grupo pesquisado tiveram lesões
(dores) no joelho ou no pescoço, considerando que 5%
dos nadadores tiveram lesões nas duas articulações,
joelho e pescoço.
b) qual é a probabilidade de um nadador do grupo
pesquisado, escolhido ao acaso, não ter tido lesões
(dores) no ombro ou na coluna, considerando as
manifestações de dores como eventos independentes.
a) Qual é, aproximadamente, a largura L, em centímetros,
de um cachorro que tenha comprimento C igual a 35cm,
para que ele possa se sustentar de pé na situação limite
2
da razão C : L3 ? Adote nos cálculos finais
dando a resposta em número racional.
5 = 2,2,
b) Um elefante da Índia de L=135cm possui razão
igual a 5,8:1. Calcule o comprimento C desse
2
3
C:L
quadrúpede, adotando nos cálculos finais 3 5 = 1,7 e
dando a resposta em número racional.
15. (Unesp 2013) Sabendo-se que
cos ( 2x ) = cos2 x – sen2 x, para quais valores de x a função
1
⋅ cos ( 2x ) assume seu valor mínimo no
2
intervalo 0 ≤ x ≤ 2π ?
f ( x ) = cos x +
16. (Unifesp 2012) Numa classe há x meninas e y
meninos, com x, y ≥ 4. Se duas meninas se retirarem da
classe, o número de meninos na classe ficará igual ao
dobro do número de meninas.
a) Dê a expressão do número de meninos na classe em
função do número de meninas e, sabendo que não há
mais que 14 meninas na classe, determine quantos
meninos, no máximo, pode haver na classe.
b) A direção do colégio deseja formar duas comissões entre
os alunos da classe, uma com exatamente 3 meninas e
18. (Unifesp 2012) Por motivos técnicos, um reservatório
de água na forma de um cilindro circular reto (reservatório
1), completamente cheio, será totalmente esvaziado e sua
água será transferida para um segundo reservatório, que
está completamente vazio, com capacidade maior do que o
primeiro, também na forma de um cilindro circular reto
(reservatório 2). Admita que a altura interna h(t), em
metros, da água no reservatório 1, t horas a partir do
instante em que se iniciou o processo de esvaziamento,
pôde ser expressa pela função
h(t) =
15t − 120
t − 12
a) Determine quantas horas após o início do processo de
esvaziamento a altura interna da água no reservatório 1
atingiu 5 m e quanto tempo demorou para que esse
reservatório ficasse completamente vazio.
b) Sabendo que o diâmetro interno da base do reservatório
1 mede 6 m e o diâmetro interno da base do reservatório
2 mede 12 m, determine o volume de água que o
reservatório 1 continha inicialmente e a altura interna H,
em metros, que o nível da água atingiu no reservatório 2,
após o término do processo de esvaziamento do
reservatório 1.
19. (Unifesp 2012) Pesquisa feita por biólogos de uma
reserva florestal mostrou que a população de uma certa
espécie de animal está diminuindo a cada ano. A partir do
ano em que se iniciou a pesquisa, o número de exemplares
desses animais é dado aproximadamente pela função
f(t) = 750 × 2−(0,05)t , com t em anos, t ≥ 0 .
a) Determine, com base na função, em quantos anos a
população de animais estará reduzida à metade da
população inicial.
b) Considerando log2 3 = 1,6 e log2 5 = 2,3 , e supondo que
nada seja feito para conter o decrescimento da
população, determine em quantos anos, de acordo com a
função, haverá apenas 40 exemplares dessa espécie de
animal na reserva florestal.
20. (Unesp 2012) Identifique o lugar geométrico das
imagens dos números complexos Z, tais que
Z + 3 ⋅ Z = 12.
Dado: 201 ≅ 14,2.
26. (Unifesp 2011) No plano de Argand-Gauss (figura), o
ponto A é chamado afixo do número complexo z = x + yi,
cujo módulo (indicado por | z |) é a medida do segmento
OA e cujo argumento (indicado por θ ) é o menor ângulo
formado com OA, no sentido anti-horário, a partir do eixo
Re(z). O número complexo z = i é chamado “unidade
imaginária”.
21. (Fuvest 2012) O polinômio
p(x) = x 4 + ax3 + bx 2 + cx − 8 , em que a, b, c são números
reais, tem o número complexo 1 + i como raiz, bem como
duas raízes simétricas.
a) Determine a, b, c e as raízes de p(x).
b) Subtraia 1 de cada uma das raízes de p(x) e determine
todos os polinômios com coeficientes reais, de menor
grau, que possuam esses novos valores como raízes.
22. (Unifesp 2012) A função
 π

D(t) = 12 + (1,6) ⋅ cos 
(t + 10) 
 180

fornece uma aproximação da duração do dia (diferença em
horas entre o horário do pôr do sol e o horário do nascer do
sol) numa cidade do Sul do país, no dia t de 2010. A
variável inteira t, que representa o dia, varia de 1 a 365,
sendo t = 1 correspondente ao dia 1.º de janeiro e t = 365
correspondente ao dia 31 de dezembro. O argumento da
função cosseno é medido em radianos. Com base nessa
função, determine
a) a duração do dia 19.02.2010, expressando o resultado
em horas e minutos.
b) em quantos dias no ano de 2010 a duração do dia
naquela cidade foi menor ou igual a doze horas.
23. (Unesp 2012) O número de quatro algarismos 77XY,
onde X é o dígito das dezenas e Y o das unidades, é
divisível por 91. Determine os valores dos dígitos X e Y.
24. (Fuvest 2011) No plano cartesiano 0xy, considere a
parábola P de equação y = −4x 2 + 8x + 12 e a reta r de
equação y = 3x + 6. Determine:
a) Os pontos A e B, de intersecção da parábola P com o
eixo coordenado 0x, bem como o vértice V da parábola
P.
b) O ponto C, de abscissa positiva, que pertence à
intersecção de P com a reta r.
c) A área do quadrilátero de vértices A, B, C e V .
25. (Unesp 2011) Em todos os 25 finais de semana do
primeiro semestre de certo ano, Maira irá convidar duas de
suas amigas para ir à sua casa de praia, sendo que nunca
o mesmo par de amigas se repetirá durante esse período.
Respeitadas essas condições, determine o menor número
possível de amigas que ela poderá convidar.
a) Determinar os números reais x tais que z = (x + 2i)4 é
um número real.
b) Se uma das raízes quartas de um número complexo z é
o complexo z0 , cujo afixo é o ponto (0, a), a > 0,
determine | z | .
27. (Unesp 2011) A média aritmética dos elementos de um
conjunto formado por n valores numéricos diminui quatro
unidades quando o número 58 é retirado. Quando o número
57 é adicionado ao conjunto original, a média aritmética dos
elementos desse novo conjunto aumenta três unidades em
relação à média inicial. Qual o valor da soma dos elementos
originais do conjunto?
28. (Unifesp 2010) Um jovem possui dois despertadores.
Um deles funciona em 80% das vezes em que é colocado
para despertar e o outro em 70% das vezes. Tendo um
compromisso para daqui a alguns dias e preocupado com a
hora, o jovem pretende colocar os dois relógios para
despertar.
a) Qual é a probabilidade de que os dois relógios venham a
despertar na hora programada?
b) Qual é a probabilidade de que nenhum dos dois relógios
desperte na hora programada?
1
2 61
⋅5⋅
= 61.
2
5
Gabarito:
Resposta da questão 1:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 (dez primos positivos
menores que 30)
a) A = ( 3 ⋅ 2 ) /2 = 3.
A quantidade de números naturais, formados por 4 desses
fatores, será obtida através de uma combinação simples de
10 elementos tomados 4 a 4.
c)
C10,4 =
10!
10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7
=
= 210.
4!.6!
24
Resposta da questão 2:
a)
b) V = (1/3 ) ⋅ 3 ⋅ 4 = 4.
1
12
12 61
⋅ 61 ⋅ AQ = 4 ⇒ AQ =
=
.
3
61
61
Resposta da questão 4:
a)
3x + y − z = 0,20

2y + z = 0,55


z = 0,25

2y + 0,25 = 0,55 ⇒ y = 0,15
3x + 0,15 − 0,25 = 0,20 ⇒ x = 0,10
b)
Como z = 10%.
24% ≤ x + y + 10% ≤ 54% ⇒ 14% ≤ x + y ≤ 44%
temos então o sistema reprsentado no plano ao abaixo
Perímetro do quadrado de maior área: P1
Perímetro do quadrado de menor área: P2
 x + y ≤ 44%
 x + y ≥ 14%


 x ≥ 10%
 y ≥ 20%
P1 2x.q2 + 2.x.q 2x.q(q + 1)
=
=
=q
P2
2x + 2.x.q
2x(1 + q)
b) Se q = 2, as dimensões do paralelepípedo são: x, 2x e
4x, e sua área total será dada por:
2. ( x.2x + x.4x + 2x.4x ) = 252
28x 2 = 252
x2 = 9
x = 3
Portanto, as dimensões do paralelepípedo são 3, 6 e 12,
e seu volume V será dado por:
3
V = 3.6.12 = 156 m .
Resposta da questão 3:
Resposta da questão 5:
a) Reescrevendo o sistema, obtemos
 x 2 + y 2 − 2x ≥ 0
(x − 1)2 + (y − 0)2 ≥ 12


2
2
2 ,
⇔



3
1
3
 1
2
2 
(x − 1) +  y −
(x − 1) +  y −
 ≤
 ≤  
2
2 
4
2 




Logo, a área do triângulo BDE será dada por:
ou seja, a solução do sistema é a região do plano
limitada pelas circunferências de centros em (1, 0) e

3
1
 1,
 , com raios respectivamente iguais a 1 e .
 2 
2


x + 3y + 12 = 0
Fazendo y = 0, temos:
x + 12 = 0 ⇒ x = –12
Portanto, a reta intercepta o eixo x no ponto A(–12, 0) e o
centro C da circunferência de diâmetro AO será dado por
xc = (–12 + 0)/2 = –6
b) Considere a figura.
yc = (0 + 0)/2 = 0
Logo, o centro será C(–6, 0), o raio será r = 6 e a
equação dessa circunferência será dada por:
2
2
2
(x + 6) + y = 6
2
2
(x + 6) + y = 36.
Resposta da questão 7:
Determinando os pontos A e C através da resolução de um
sistema com as equações da parábola e da circunferência.
A área pedida corresponde à área do semicírculo de
1
centro O e raio igual a , subtraída da área do
2
segmento circular OBDC, ou seja,
2  2
π  1
1
⋅  − 
2 2
2
 x 2 + y 2 = 7
,

 y = x 2 − 1
A( 3,2) e C( − 3,2) (figura abaixo)
π  π π
3
π
⋅  − sen   = − +
3
3  8 6
4
=
6 3−π
u.a.
24
Resposta da questão 6:
a) 2 – p = 0 ⇒ p = 2
Fazendo p = 2, temos 5y + 16 + 4 = 0 ⇒ 5y = –20 ⇒ y
= –4.
Logo, a reta intercepta o eixo y no ponto (0, –4).
b)
Considerando, agora, o triângulo CDO:
tgα =
2
3
=
2 3
ˆ = 41° ⇒ AOC
ˆ = 82°
⇒ α = 49° ⇒ COD
3
ˆ
ˆ = AOC = 82° = 41° (ângulo inscrito)
ABC
2
2
Resposta da questão 8:
Determinando as dimensões do retângulo, temos:
2x.x = 320.000.
Resolvendo a equação, temos:
x = 400 e 2x = 800.
a) ΔATD ~ ΔABC :
b) AB =
x
20
=
⇒ x = 60 m.
900 300
( 300 )2 + ( 900 )2
= 300 10
Sendo t o tempo para o televérico ir de A até B, temos:
300 10 = 1,5.t ⇒ t = 200 10.
Resposta da questão 11:
Considere a figura.
a) Considerando A como a área de terra APP.
A = 2.A1 + 2.A 2 + 4.A 3
A = 2. ( 800.100 ) + 2. ( 400.100 ) + 4.
π.1002
4
A = 160.000 + 80.000 + 10.000 π
A = 10 0000(24 + π ) m2
b)
Os triângulos retângulos ODC e BAC são semelhantes.
Logo,
1
V (t ) = V0 2− t ⇒ 0,1.V0 = V0 2− t ⇒ 2− t = 10−1 ⇒ log2− t = log10−OC
⇒ OD
R −r r
=
⇔
=
R
s
BC BA
1
1
1
⇔ R ⋅ s − r ⋅ s = R ⋅r
⇒ −t.log2 = −1 ⇒ t =
⇒t
⇒ t 3 meses
log2
0,3
3
⇔ R ⋅ s = R ⋅ r + r ⋅ s.
Resposta: aproximadamente 3 meses e 10 dias.
Resposta da questão 9:
n = número inicial de trabalhadores.
10800
Cada trabalhador deveria receber
.
n
Como três desistiram e os demais receberam cada 600
reais a mais referente ao valor que caberia aos três
desistentes, temos a equação:
600.(n − 3) = 3 ⋅
c.q.d.
Resposta da questão 12:
10800
324
⇒ 6.(n − 3) =
⇒ 6n2 − 18n − 324 = 0
n
n
Resolvendo a equação acima, temos: n = 9 ou n = –6 (não
convém).
a) Portanto, 6 (9 – 3) trabalhadores realizaram o serviço.
10800
b) Cada um deles recebeu
= 1800 reais.
6
Resposta da questão 10:
a) Como o segmento DE é paralelo ao segmento AD,
podemos utilizar o teorema de Tales:
H 15
=
= 5.
h
3
b) H é a altura relativa ao lado AC.
Calculando a área do triângulo ABC pela fórmula de
Herão, temos:
p = (10 + 15 + 20)/2 = 45/2
A=
45  45
  45
  45

.
− 20  . 
− 15  . 
− 10 
2  2
 2
 2

A=
45 5 15 25
⋅ ⋅
⋅
2 2 2 2
A=
32.5.5.3.5.52
4
A=
3
C = 32 ⋅ 5 2 ⋅
5
3
5
⋅ 5,8
5
⋅ 5,8
1,7
≅ 153,5 cm.
= 9⋅
3.5.5. 15
4
=
Resposta da questão 15:
1
f ( x ) = cos x + ⋅ cos ( 2x )
2
1
f(x) = cos x + ⋅ cos2 x − sen2 x
2
1
f(x) = cos x + (cos2 x − 1 + cos2 x)
2
1
2
f(x) = cos x + cos x −
2
(
AC.H 75 15
=
2
4
10.H 75 15
=
2
4
H=
3
15 15
4
)
Temos uma função do segundo grau na variável cosx.
Resposta da questão 13:
a) Utilizando o teorema do resto, temos:
p (1) = 3
O valor do cosx para que f(x) seja mínimo será dado por:
1
1
cos x = −
⇒ cos x = −
2 ⋅1
2
Portanto, para
2
1 – 11.1 + k + 2 = 3
−8 + k = 3
k = 11
0 ≤ x ≤ 2π,a função f(x) assume valor mínimo para x =
2π
ou x =
3
2
b) Fazendo k = 4, temos P(x) = x – 11x + 6 com raízes a e
b, onde:
a + b = –(–11)/1 = 11 e a.b = 6/1 = 6
11π
1
π π
 (a + b).π 
sen  +  = sen 
 = sen 6 = − 2
a
b
a.b




Resposta da questão 14:
a) Para C = 35 cm,
35
2
3
L
2
3
C:L
= 7 :1 e
5 ≅ 2,2, obtemos
3
=
7
⇔ L = 52
1
⇔L=5 5
⇒ L ≅ 11cm.
b) Para L = 135 cm,
C
2
3
135
2
C : L3
Resposta
da
questão
16:
a) De acordo com o enunciado, temos que a expressão
do número de meninos na classe em função do número
de meninas é dada por y = 2 ⋅ (x − 2).
Como x ≤ 14, temos que y ≤ 2 ⋅ (14 − 2) ≤ 24, isto é, o
número máximo de meninos que pode haver na classe é
24.
b) De acordo com as informações, vem
 x   y   x   2x − 4 
 = ⇒ =

3 2 3  2 
⇒
x!
(2x − 4)!
=
( x − 3 )! ⋅ 3! (2x − 6)! ⋅ 2!
⇒
x ⋅ (x − 1) ⋅ (x − 2) 2 ⋅ (x − 2) ⋅ (2x − 5)
=
3⋅2
2
⇒ x 2 − 13x + 30 = 0
⇒ x = 10 ou x = 3.
= 5,8 : 1 e
3
5 ≅ 1,7, vem
2
5,8
=
⇔ C = (33 ⋅ 5)3 ⋅ 5,8
1
⇔ C = 32 ⋅ ( 3 5 )2 ⋅ 5,8
⇒ C ≅ 9 ⋅ (1,7)2 ⋅ 5,8
⇒ C ≅ 150,9 cm.
Observação: Devido à aproximação fornecida (com apenas
uma casa decimal), o item (b) admite um resultado distinto,
como se pode ver a seguir.
Portanto, como x ≥ 4, segue que o número de alunos da
classe é
x + y = x + 2 ⋅ (x − 2) = 10 + 2 ⋅ 8 = 26.
Resposta
da
questão
17:
a) A porcentagem de nadadores que tiveram lesões no
joelho
ou
no
pescoço
é
dada
por
25% + 20% − 5% = 40%.
Portanto,
0,4 ⋅ 200 = 80
nadadores tiveram lesões no joelho ou no pescoço.
b) Sejam os eventos O : “nadador teve dor no ombro” e C :
“nadador teve dor na coluna”.
Sabendo que os eventos são independentes, temos que
a probabilidade pedida é dada por
Considerando Z = x + yi, tem-se
P(O ∪ C) = P(O ∩ C)
Z + 3 ⋅ Z = 12.
= P(O) ⋅ P(C)
x 2 + y 2 + 3. x2 + y 2 = 12
= (1 − 0,8)(1 − 0,5)
= 0,2 ⋅ 0,5
(x 2 + y 2 ) + 6.(x 2 + y 2 ) + 9.(x2 + y 2 ) = 144
= 10%.
16.(x 2 + y 2 ) = 144
Resposta da questão 18:
a) Queremos calcular t, para o qual h(t) = 5 m. Desse
modo,
15t − 120
5=
⇔ t − 12 = 3t − 24 ⇔ t = 6 h.
t − 12
x2 + y 2 = 9.
Por outro lado, para que o reservatório 1 fique vazio,
deveremos ter h(t) = 0. Assim,
0=
15t − 120
⇔ 15t − 120 = 0 ⇔ t = 8 h.
t − 12
b) Para determinarmos a altura do reservatório 1 basta
calcularmos h(0). Logo,
h(0) =
15 ⋅ 0 − 120
= 10 m.
0 − 12
Se D = 6 m é o diâmetro interno do reservatório 1, segue
que o volume de água que esse reservatório continha
inicialmente é dado por
2
2
D
6
π ⋅   ⋅ h(0) = π ⋅   ⋅ 10 = 90 ⋅ π m3 = 9 ⋅ 104 ⋅ π L,
2
 
2
Portanto, como o raio interno da base do reservatório 2
12
mede
= 6 m, temos que a altura atingida pela água
2
nesse reservatório foi de
90 ⋅ π = π ⋅ 62 ⋅ H ⇔ H = 2,5 m.
O lugar geométrico é uma circunferência centrada na
origem do sistema cartesiano e com raio medindo 3
unidades.
Resposta da questão 21:
a) Como os coeficientes são reais, as raízes complexas
aparecem com suas respectivas conjugadas, então (1+i),
(1-i), r e – r são raízes de P(x)
Utilizando, agora, a relação do produto das raízes,
temos:
−8
(1 + i) ⋅ (1 − i) ⋅ r ⋅ ( −r) =
⇔ −2.r 2 = −8 ⇔ r = ±2
1
Portanto, as raízes de p(x) são (1+i), (1-i), 2 e -2
Escrevendo o polinômio na forma fatorada, temos:
Resposta
da
questão
19:
f(0)
a) Queremos calcular o valor de t para o qual f(t) =
.
2
Assim,
750 × 2−(0,05) ⋅ 0
⇔
2
= 2−1 ⇔
750 × 2−(0,05)t =
2−(0,05)t
−0,05t = −1 ⇔
t = 20 anos.
P ( x ) = 1. ( x − (1 + i ) ) .(x − (1 − i ) . ( x − 2 ) . ( x + 2 )
P ( x ) = x 4 − 2x3 − 2x 2 + 8x − 8
Logo, a = −2, c = −2
e
c = 8.
b) Subtraindo 1 de cada uma das raízes, temos;
1 − i − 1 = −i
1+ i − 1 = i
2 −1= 1
b) Queremos calcular o valor de t para o qual f(t) = 40.
Logo,
750 × 2−(0,05)t = 40 ⇔
2−(0,05)t −2 = 5 −2 ⋅ 3 −1 ⇔
log2 2−(0,05)t −2 = log2 5−2 ⋅ 3 −1 ⇔
−0,05t − 2 = −2 ⋅ log2 5 − log2 3 ⇒
−0,05t − 2 = −2 ⋅ 2,3 − 1,6 ⇔
−
t
= −4,2 ⇔
20
t = 84 anos.
Resposta da questão 20:
−2 − 1 = −3
Portanto,
q ( x ) = k. ( x − ( −i) ) . ( x − i) . ( x – 1) . ( x − ( −3 ) )
q ( x ) = k. x 2 + 1 . ( x − 1) . ( x + 3 )
(
)
Para k diferente de zero.
Resposta da questão 22:
a) O dia 19.02.2010 corresponde a t = 50. Logo, o
resultado pedido é dado por
 π

D(50) = 12 + 1,6 ⋅ cos 
(50 + 10) 
 180

π
= 12 + 1,6 ⋅ cos
3
= (12 + 0,8) h
= 12 h 48min.
b) Queremos calcular os valores de t para os quais
D(t) ≤ 12. Desse modo,
 π

 π

12 + (1,6) ⋅ cos 
(t + 10)  ≤ 12 ⇔ cos 
(t + 10)  ≤ 0
 180

 180

π
π
3π
⇒ ≤
(t + 10) ≤
2 180
2
⇔ 90 ≤ t + 10 ≤ 270
⇔ 80 ≤ t ≤ 260.
c) A = A1 + A 2 + A 3
2.16 (12 + 16 ) .1 1.12
+
+
2
2
2
A = 36
A=
Resposta da questão 25:
Utilizando a fórmula da combinação simples, temos:
Cn,2 ≥ 25
n!
≥ 25
2!.(n − 2)!
n(n − 1) ≥ 50
Portanto, a duração do dia naquela cidade foi menor do que
ou igual a doze horas em 260 − 80 + 1 = 181 dias.
Resposta da questão 23:
7800 = 91⋅ 85 + 65 (7800 não é divisível por 91)
Mas, 7800 – 65 = 7735 é divisível por 91, portanto X = 3 e Y
= 5.
Resposta da questão 24:
a) Fazendo y = 0, temos: 0 = −4x2 + 8x + 12
Resolvendo a equação, temos: x = -1 ou x = 3.
Logo, A(-1,0) e B(3,0)
−8

 x v = 2.( −4) = 1
Vértice da parábola 
 y = −4.12 − 8.1 + 1 = 16
 V
Logo, V = (1,16)
 y = −4x 2 + 8x + 12
b) Resolvendo o sistema 
 y = 3x + 6
−4x 2 + 8x + 12 = 3x + 6 ⇔ −4x 2 + 5x + 6 = 0 resolvendo a
equação, temos: x = 2
Considerando x = 2, temos y = 12.
Logo, C(2,12)
n2 − n − 50 ≥ 0
Resolvendo, temos:
n ≤ -6,6 ou n ≥ 7,6
Portanto, n = 8
Resposta da questão 26:
a)
 4
 4
4
 4
z = (x + 2i)4 =   ⋅ x 4 ⋅ (2i)0 +   ⋅ x3 ⋅ (2i)1 +   ⋅ x 2 ⋅ (2i)2 +   ⋅ x
0
1
2
 
 
 
3
 4
+   ⋅ x0 ⋅ (2i)4
 4
= x 4 − 24x 2 + 16 + (8x 3 − 32x)i.
Logo, z é real se, e somente se,
8x3 − 32x = 0 ⇔ 8x(x 2 − 4) = 0
⇔ 8x(x − 2)(x + 2) = 0
⇔ x = 0 ou x = −2 ou x = 2.
b) Como z0 é uma das raízes quartas de z, segue que
z = z04 . Portanto, | z | = | z04 | = | z0 |4 = ( 02 + a2 )4 = a4 .
Resposta da questão 27:
Vamos considerar n como o número de elementos e x a
média aritmética destes elementos.
nx − 58
= x − 4 ⇔ 4n + x = 62
n −1
nx + 57
= x − 3 ⇔ 3n +x = 54
n +1
4n + x = 62

 3n +x = 54
Resolvendo a equação, temos x = 30 e n = 8. Portanto, a
soma dos termos será 30,8 = 240.
Resposta da questão 28:
80 70
56
a)
.
=
= 56%
100 100 100
b)
20 30
6
.
=
= 6%
100 100 100