Capı́tulo 11
Exp. 10 - RESSONÂNCIA
ELÉTRICA
11.1
OBJETIVOS
Estudo das oscilações elétricas forçadas em circuitos ressonantes em série e em paralelo.
11.2
PARTE TEÓRICA
Muitos sistemas fı́sicos estáticos e estáveis, quando momentaneamente perturbados por um
agente externo, retornam à posição de equilı́brio oscilando com uma frequência natural
de oscilação também chamada de frequência de oscilação livre. Se não houvesse formas
de dissipação de energia (atrito, por exemplo) o sistema oscilaria indefinidamente com
uma frequência natural fo e amplitude constante. A presença de elementos dissipativos
normalmente reduz a frequência de oscilação natural original para um novo valor f 0 e faz
com que a amplitude da oscilação diminua com o passar do tempo. Quando a perturbação é
persistente e periódica com uma frequência própria f , a experiência mostra que, após certo
intervalo de tempo com uma oscilação irregular, o sistema acaba por acompanhar o ritmo
imposto pelo agente externo e entra em oscilação regular com a mesma frequência f . Isto
caracteriza o que chamamos de oscilação forçada em regime permanente.
O sistema fı́sico que pretendemos estudar é um circuito elétrico constituı́do por um
resistor, um indutor e um capacitor que podem ser arranjados em série ou em paralelo.
Esse arranjo será excitado por uma fonte ou gerador e estamos interessados em estudar o
comportamento dos sinais elétricos de tensão e de corrente elétrica como uma resposta à
excitação.
11.2.1
As fontes de sinais elétricos
As fontes que excitarão o circuito elétrico podem ser do tipo fonte de tensão ou então
fonte de corrente. Uma fonte de tensão ideal é aquela que impõe um determinado valor de
tensão ou d.d.p. ao elemento de circuito que a ela esteja conectado. Essa tensão pode ser
constante ou variável no tempo e seu valor é conhecido. A corrente elétrica que atravessará
119
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DFES-I. FÍSICA-UFBA-Rev. 2013.1
o elemento aparecerá como consequência e seu valor dependerá do valor da tensão da fonte e
das propriedades elétricas do elemento. As fontes de energia eletroquı́micas como as pilhas
e baterias bem como as fontes eletromecânicas como os alternadores e geradores de energia
convencionais se comportam, com boa aproximação, como fontes de tensão dentro de uma
determinada faixa de valores de corrente. Uma bateria de automóvel de 12 V, nova, é uma
excelente fonte de tensão para correntes entre 0 e 50 A por exemplo. Já uma pilha de 1,5 V,
tamanho D, de carvão e utilizada em lanternas pode ser considerada uma fonte de tensão
até que a corrente atinja 0,1 A aproximadamente.
Uma fonte de corrente ideal é aquela que impõe o valor da corrente qualquer que seja o
elemento de circuito a ela conectado. A tensão ou a d.d.p. é uma consequência e depende do
valor da corrente e das propriedades do elemento de circuito. A escolha entre uma excitação
na forma de fonte de tensão ou fonte de corrente é uma questão de mera conveniência para
facilitar a análise e o entendimento do funcionamento de um circuito.
Uma fonte de corrente pode ser implementada a partir de uma fonte de tensão e um
resistor com valor de resistência elevado quando comparado ao valor da resistência equivalente do elemento de circuito sob estudo. Considere, por exemplo, que a resistência do
elemento de circuito sob estudo possa variar de 5 a 10 Ω e que esse elemento esteja em série
com um resistor cuja resistência vale 1000 Ω e uma fonte de tensão igual a 12 V, veja a
figura (Fig. 11.1).
R = 1000 W
e =12 V
R’ = 5 - 10 W
Figura 11.1: Circuito composto por uma fonte de tensão alternada e um outro elemento de
circuito.
A corrente i no circuito vale
i=
o valor mı́nimo será
imin =
ε
R + R0
12
= 11, 88 mA
1000 + 10
e o valor máximo será
12
= 11, 94 mA.
1000 + 5
Ou seja, apesar da resistência R0 duplicar o valor, a corrente permanece aproximadamente
constante em i = 11, 9 mA. Assim, a fonte de tensão em série com o resistor (R = 1000Ω)
funciona como uma fonte de corrente para essa variação de R 0 .
imin =
11.2.2
Circuito RLC em série
Consideremos a associação em série de um indutor, um capacitor, um resistor e uma fonte
de tensão como na figura (Fig. 11.2).
121
11.2. PARTE TEÓRICA
i(t)
L
vL(t)
vF(t)
vR(t)
R
vC(t)
C
Figura 11.2: Circuito RLC em série.
Suponhamos que a fonte seja ligada em t = 0 de modo que
vF (t) = 0,
para t < 0
vF (t) = v0 cos(ωt),
para t ≥ 0
e procuremos determinar o comportamento da corrente i(t) ao longo do tempo com a
condição inicial i = 0 para t = 0.
A lei das malhas aplicada ao circuito resulta em
vL (t) + vR (t) + vC (t) = vF (t)
ou
Z
di(t)
1
+ Ri(t) +
i(t)dt = v0 cos(ωt),
dt
C
Derivando com relação ao tempo e rearrumando fica
L
(11.1)
para t ≥ 0.
(11.2)
d2 i(t) R di(t)
1
ωv0
+
+
i(t) = −
sen(ωt)
(11.3)
2
dt
L dt
LC
L
A solução geral dessa equação possui dois termos ou parcelas, um termo transitório e
um termo permanente. O termo transitório decai exponencialmente no tempo e desaparece
rapidamente tornando-se desprezı́vel, tipicamente, após alguns µs ou ms. O termo permanente é um termo oscilatório cuja amplitude é constante no tempo e pode ser escrito
como
v0
i(t) =
cos(ωt + φ(ω))
(11.4)
Z(ω)
onde
s
2
1
2
Z(ω) = R + ωL −
(11.5)
ωC
e
1
−1 ωL − ωC
φ(ω) = − tan
.
(11.6)
R
Z(ω) é a impedância e φ(ω) é a diferença de fase entre a corrente e a tensão. Essas
grandezas estão relacionadas pelo triângulo mostrado na figura (Fig. 11.3).
Observe que tanto a impedância quanto a diferença de fase são funções da frequência
angular ω. O termo ωL é chamado de reatância indutiva, XL e o termo 1/(ωC) é chamado
de reatância capacitiva, XC . Observe que se considerarmos variável, o comportamento de
XL é o inverso do comportamento de XC . Quando XL cresce, XC decresce e vice-versa.
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R
-f
wL-1/(wC)
Z
Figura 11.3: Circuito RLC em série.
11.2.3
Estudo da variação da impedância
O circuito em estudo está sendo excitado por uma fonte de tensão (causa), portanto a
corrente será uma consequência. Consideremos que a frequência da fonte possa ser variada
a vontade mantendo a amplitude da tensão num valor fixo. Para ω variando entre zero e
infinito, a impedância varia de infinito até um valor mı́nimo quando Z = R e volta para o
infinito como mostra a figura (Fig. 11.4) para R = 1 ohm, L = 1 henry e C = 1 farad.
Z (W )
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 w (rad/s)
Figura 11.4: Variação da impedância série com a frequência angular ω.
O mı́nimo ocorre quando
1
ωL =
ωC
ou ω =
r
1
LC
(11.7)
que é igual à frequência angular do oscilador livre sem resistência. Nessa situação, a
diferença de fase é nula, ou seja, a tensão está em fase com a corrente e o circuito comportase como um circuito puramente resistivo.
A amplitude da corrente é inversamente proporcional à impedância,
v0
i0 =
(11.8)
Z(ω)
e lembre-se que a amplitude da tensão v0 é mantida constante, logo, a amplitude da corrente
passa por um máximo quando Z é mı́nimo. Veja a figura (Fig. 11.5) para R = 1 ohm, L =
1 henry, C = 1 farad e v0 = 5 volts.
123
11.2. PARTE TEÓRICA
io (A)
7
6
5
vo/R
4
3
2
1
1
2
3
4
6
5
7
8
9
w (rad/s)
Figura 11.5: Variação da amplitude da corrente i0 com a frequência angular ω.
Dizemos então que o circuito entra em ressonância nessa situação de máximo para a
amplitude da corrente. Em outras palavras, o gerador ou fonte “ajuda”o sistema a oscilar
quando sua frequência é igual à frequência natural do oscilador livre sem resistência.
A aparência ou forma da curva de ressonância depende do valor da resistência R. Resistências altas tornam a curva baixa, larga e assimétrica enquanto que resistências baixas
tornam a curva alta, estreita e quase simétrica. A qualidade de um oscilador pode ser medida pela forma da curva de ressonância através de um coeficiente chamado de coeficiente
de qualidade “Q”. Esse coeficiente é definido pela relação entre o valor de qualquer das
reatâncias na ressonância e a resistência.
1
Q=
ω0 L
= ω0 C
R
R
(11.9)
Valores pequenos de resistência (R << ωo L) produzem altos coeficientes de qualidade
(Q >> 1). Valores tı́picos situam-se entre 5 e 50 para bobinas e capacitores comuns sendo
R associado às perdas ôhmicas desses elementos.
O coeficiente de qualidade pode ser determinado diretamente da curva de ressonância
pela medida da frequência de ressonância
fo e da largura da curva, ∆f , quando a curva cai
√
ao valor máximo dividido por 2, como mostrado na figura √
(Fig. 11.6). Vejamos: o valor
máximo da amplitude da corrente é v0 /R; para cair a v0 /(R 2) deveremos ter, de acordo
com a equação (11.8), que
v0
v0
√ =p
2
R 2
R + (XL − XC )2
p
∴ 2R2 = R2 + R2 + (XL − XC )2
∴ (XL − XC )2 = R2
ou
|XL − XC | = R.
Existem duas frequências em que isso ocorre, na primeira
1
− ω1 L = R
ω1 C
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io
v0 /R
0,707 v0 /R
f1
f0
f
f2
Figura 11.6: Largura da curva de ressonância.
∴ −ω12 L +
1
= ω1 R
C
(11.10)
na segunda,
ω2 L −
1
=R
ω2 C
∴ ω22 L −
1
= ω2 R.
C
(11.11)
Somando (11.10) e (11.11) fica
(ω22 − ω12 )L = (ω2 + ω1 )R
∴ (ω2 − ω1 )(ω2 + ω1 )L = (ω2 + ω1 )R
∴ ω2 − ω 1 =
R
L
dividindo por ω0 fica
ω2 − ω 1
R
=
ω0
ω0 L
ou multiplicando por 2π
Q=
f0
.
∆f
(11.12)
Em resumo, para determinar o coeficiente de qualidade basta medir a frequência √
de
ressonância e dividir pelo intervalo de frequências em que a amplitude cai do fator 1/ 2
(ou 0,707).
Outra observação importante é que para essas duas frequências a tensão e a corrente
encontram-se em quadratura (φ = ±π/4 rad). Isso pode ser facilmente verificado pela
substituição das equações (11.10) e (11.11) na equação (11.10) que resulta em
φ = ± tan−1 (1)
ou
φ=±
π
rad.
4
(11.13)
125
11.2. PARTE TEÓRICA
i(t)
iR(t)
r
Fonte de
corrente
iL(t)
iC(t)
C
L
Figura 11.7: Circuito RLC em paralelo.
11.2.4
Circuito RLC em paralelo
Tomemos agora um indutor, um capacitor e um resistor conectados em paralelo e excitados
por uma fonte de corrente como na figura (Fig. 11.7).
Consideremos que
i(t) = 0
para t < 0
i(t) = i0 cos(ωt) para t ≥ 0
A lei dos nós aplicada ao circuito resulta em
i(t) = ir (t) + iC (t) + iL (t)
com
vr (t)
,
ir (t) =
R
dvC (t)
iC (t) = C
,
dt
(11.14)
1
iL (t) =
L
e
Z
vL (t)dt
vr (t) = vC (t) = vL (t) = v(t).
Ou seja,
i0 cos(ωt) =
v(t)
dv(t)
1
+C
+
R
dt
L
Derivando com relação ao tempo e rearrumando fica
Z
v(t)dt.
d2 v( t)
1 dv(t)
1
+
+
v(t) = −ωi0 sen(ωt)
dt2
rC dt
LC
(11.15)
(11.16)
Novamente, a solução geral dessa equação possui um termo transitório e um termo
permanente. Concentremos-nos na solução permanente
v(t) = Z|| (ω)i0 sen(ωt + θ)
onde
é a impedância paralela e
1
Z|| (ω) = q
1 2
r
−1
θ = − tan
+ ωC −
ωC −
1
r
1
ωL
(11.17)
1 2
ωL
(11.18)
.
(11.19)
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A amplitude da tensão, v0 = Z|| i0 , é, nesse caso, uma consequência pois o circuito é
excitado por uma fonte de corrente cuja amplitude i0 é constante e conhecida. Observe que
nas expressões de Z|| e θ , equações (11.18) e (11.19), aparecem os inversos da resistência e
das reatâncias.
Estudo da variação da impedância
Se considerarmos a frequência angular da fonte de corrente variando de zero a infinito
mantendo a amplitude da corrente constante, verificaremos facilmente que a impedância
paralela varia de zero a um valor máximo, Z||max = r, quando ωC = 1/(ωL) e volta a zero
como mostrado na figura (Fig. 11.8) para r = 8 ohms, L = 1 henry e C = 1 farad.
Z|| (W)
8
r
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
w (rad/s)
Figura 11.8: Variação da impedância paralela com a frequência angular ω.
Veja que o comportamento da impedância paralela é o inverso da impedância série com
o máximo ocorrendo na mesma frequência do mı́nimo da impedância série, ou seja, em
r
1
ω0 =
LC
Consequentemente, a amplitude da tensão também passa pelo valor máximo, v 0 = ri0 ,
desde que a amplitude da corrente permaneça constante. Veja a figura (Fig. 11.9) com
i0 = 2 ampéres e os mesmos valores para os demais componentes.
Se o circuito tivesse sido excitado por uma fonte de tensão ao invés de uma fonte de
corrente, obterı́amos o mesmo resultado para a impedância paralela e terı́amos um mı́nimo
na amplitude da corrente.
A forma da curva de ressonância para o circuito paralelo também depende do valor da
resistência, contudo, o comportamento é o inverso do que ocorre no circuito série. Um
aumento na resistência r faz com que a curva de ressonância torne-se alta, estreita e quase
simétrica enquanto que uma diminuição nessa resistência faz com que a curva torne-se baixa,
larga e assimétrica.
127
11.2. PARTE TEÓRICA
v0 (V)
ri0
16
14
12
10
8
6
4
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
w (rad/s)
Figura 11.9: Variação da amplitude da tensão com a frequência angular ω no circuito RLC
paralelo.
Quando a resistência é alta, o coeficiente de qualidade do circuito paralelo pode ser
definido de modo inverso ao do circuito série
r
Q|| =
(11.20)
ω0 L
e pode ser determinado graficamente pelo mesmo processo, pela relação entre a frequência
de ressonância e a largura da curva quando a amplitude da tensão cai com o fator 0,707
como na figura (Fig. 11.10)
f0
Q|| =
.
(11.21)
∆f
11.2.5
Representação das perdas do indutor e do capacitor
Nos circuitos em série e em paralelo que apresentamos os elementos de circuito foram considerados ideais. Na realidade, os indutores e os capacitores apresentam perdas, dissipando
um pouco de energia. As perdas podem ser representadas, de modo aproximado, por resistores em série ou em paralelo com os elementos de circuito (indutor e capacitor) o que
for mais conveniente. No circuito do experimento, o indutor real pode ser representado por
um indutor ideal em série com um resistor como na figura (Fig. 11.11).
A transformação da representação das perdas em série para a representação em paralelo
pode ser feita impondo-se que os coeficientes de qualidade sejam os mesmos nas vizinhanças
da ressonância.
r
ω0 L
1
r
=
,
ω0 =
ω0 L
R
LC
L
∴r=
.
(11.22)
RC
128
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vo
i0 R
0,707 i0 R
f1
f0
f
f2
Figura 11.10: Variação da amplitude da tensão com a frequência angular ω no circuito RLC
paralelo.
L
Indutor real
R
=
Figura 11.11: Representação de um indutor real.
Os circuitos mostrados na figura (Fig. 11.12) são equivalentes se a equação (11.22) for
obedecida e desprezarmos as perdas no capacitor.
L
r
L
C
C
R
Figura 11.12: Equivalência entre circuitos RLC.
O comportamento transitório em um circuito RLC em paralelo pode ser melhor compreendido se a excitação do circuito for feita na forma de um degrau de corrente, ou seja,
uma fonte de corrente constante no tempo é ligada em t = 0 impondo um valor de corrente
I ao circuito paralelo. Figura (Fig. 11.13).
i(t) = 0 para t < 0
i(t) = I
para t ≥ 0.
A equação do circuito é semelhante à equação (11.15) com a função de excitação substituı́da por um valor constante I. Derivando com relação ao tempo fica
d2 v(t)
1 dv(t)
1
+
+
v(t) = 0.
2
dt
rC dt
LC
(11.23)
129
11.2. PARTE TEÓRICA
i(t)
I
r
i(t)
o
L
C
t
Figura 11.13: Equivalência entre circuitos RLC.
Essa equação tem uma solução oscilatória amortecida se a resistência r não for muito
pequena
s
2
I − 1 t
1
1
ω0 =
v(t) = 0 e 2rC sen(ω 0 t),
−
.
(11.24)
ωC
LC
2rC
Veja a representação gráfica dessa tensão na figura (Fig. 11.14). Onde a amplitude a(t)
v(t)
a(t)
t
Figura 11.14: Tensão oscilatória amortecida.
variável no tempo é dada por
a(t) =
I − 1 t
e 2rC .
ω0 C
Para valores de r elevados tais que
1
2rC
2
1
<<
,
LC
1
∴ r >>
2
r
L
C
(11.25)
a frequência é aproximadamente igual à frequência natural que é a própria frequência de
ressonância. Desse modo, a resistência paralela pode ser transformada em resistência série
enquanto houver oscilação.
130
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O fator de qualidade Q aparece no decaimento exponencial pois,
r=
r
1
ω0 C
1
= rω0 C.
ω0
∴ e− 2rC t = e− 2Q t
Portanto, esse fator pode ser diretamente determinado pela medida da amplitude dos
picos da oscilação amortecida: sendo To o intervalo de tempo entre picos sucessivos, A1 a
amplitude do primeiro pico e An a amplitude do n-ésimo pico, teremos de acordo com a
figura (Fig. 11.15) que
ω0
2π
ω0 =
An = A1 e− 2Q (n−1)T0 ,
T0
∴Q=
(n − 1)π
.
A1
ln A
n
(11.26)
v(t)
A1
(n-1) T0
An
t
Figura 11.15: Tensão oscilatória amortecida.
Observe que a tensão oscila amortecendo ao redor de v = 0 nesse circuito ideal. Em um
indutor real, existe sempre um valor de resistência associado à resistência do fio, R F , ainda
que pequena e essa resistência contribui para o valor final da tensão. Em outras palavras,
a tensão oscila ao redor de um pequeno valor diferente de zero,
vf inal =
11.2.6
r
RF I.
r + RF
Teoria da medida
Realizaremos um estudo experimental em um circuito ressonante em série e em paralelo.
131
11.2. PARTE TEÓRICA
No circuito RLC em série operando no regime permanente, estamos interessados em
observar o comportamento da impedância em função da frequência. Como não podemos
medir a impedância de modo direto utilizando um osciloscópio, pois esse instrumento só
mede tensão, utilizaremos o artifı́cio de passar uma corrente senoidal com amplitude constante através do indutor e do capacitor reais (com a resistência R representando as perdas).
Como a amplitude da tensão na associação em série desses elementos é diretamente proporcional ao produto da impedância pela amplitude da corrente, a observação da variação
dessa amplitude de tensão refletirá a variação da impedância. Sendo assim, o circuito será
excitado por uma fonte de corrente. Não dispomos dessa fonte na forma de um instrumento
pronto para uso, mas podemos implementá-la a partir da fonte de tensão associando em
série um resistor com valor de resistência R 0 elevado quando comparado com os valores
das outras resistências do circuito. Utilizaremos R 0 = 10 kΩ. Veja a figura (Fig. 11.16).
Nesse circuito, manteremos aproximadamente constante a amplitude da corrente mantendo
constante a amplitude da tensão do gerador e variaremos a frequência em uma ampla faixa
de valores passando pela frequência de ressonância.
R’
C
i(t)
L
RF
Para o
osciloscópio
Figura 11.16: Circuito RLC série para o estudo da impedância.
A resistência RF que representa as perdas ôhmicas do fio do indutor na representação
em série é bastante pequena, da ordem 1 Ω, de modo que, com a introdução em série um
resistor de valor elevado (R0 = 10 kΩ) essa resistência RF será desprezı́vel. Além disso, a
resistência interna da fonte também será muito pequena quando comparada com R 0 e esta
será a resistência que limitará o valor da corrente na situação de ressonância. Isso é muito
importante para o bom funcionamento do gerador, pois se a corrente fosse de valor elevado,
poderia haver distorção na forma do sinal (senoidal) e o gerador não se comportaria como
fonte de tensão.
A tensão desenvolvida nos extremos da associação RF LC será levada à entrada vertical do osciloscópio. Amplitude da tensão de saı́da do gerador será mantida constante
enquanto a frequência será variada em uma ampla faixa de valores, de 100 Hz a 3000 Hz
aproximadamente.
No circuito RLC em paralelo operando no regime permanente estamos interessados
em observar o comportamento da impedância em função da frequência quando o circuito
é excitado com uma fonte de corrente. Para observar o comportamento da impedância,
observaremos o comportamento da tensão e implementaremos a fonte de corrente como no
caso anterior. Veja a figura (Fig. 11.17). Nesse circuito, manteremos aproximadamente
constante a amplitude da corrente mantendo constante a amplitude da tensão do gerador
e variaremos a frequência em uma ampla faixa de valores passando pela frequência de
ressonância.
132
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R’
i(t)
r
C
L
Para o
osciloscópio
Figura 11.17: Circuito RLC paralelo para o estudo da impedância.
No estudo do circuito RLC em paralelo operando no regime transitório estudaremos
o comportamento da tensão como resposta a um degrau de corrente. Isso ocorre num
intervalo de tempo muito curto, alguns milésimos de segundo. Para podermos observar o
sinal com um osciloscópio analógico é necessário repetir essa excitação periodicamente com
uma frequência mais alta que 20 Hz para obtermos uma persistência visual. Para isso,
utilizaremos uma excitação na forma de um sinal quadrado como mostrado na figura (Fig.
11.18).
R’
i(t)
r
C
L
Para o
osciloscópio
Figura 11.18: Circuito RLC paralelo para o estudo do regime transitório.
Da mesma forma que no circuito anterior, a fonte de tensão e o resistor com resistência
R0 formam a fonte de corrente.
11.3
PARTE EXPERIMENTAL
11.3.1
Lista de material
Identifique os materiais e equipamentos sobre a mesa:
• Uma bobina de fio e núcleo de ferro laminado ou ferrite,
• gerador de sinais,
• osciloscópio de dois canais,
• capacitor de valor conhecido,
133
11.3. PARTE EXPERIMENTAL
• resistores de valores conhecidos (1,2 kΩ, 10 kΩ),
• placa de ligações e fios .
11.3.2
Circuito RLC em série
Antes de realizar qualquer medida é necessário fazer o ajuste da simetria do sinal do gerador
de sinais. Para isso conecte os terminais de saı́da do gerador diretamente com os terminais
de entrada do canal 1 do osciloscópio. Ligue o gerador de sinais, selecione a função quadrada,
ajuste a frequência em torno de 100 Hz e a amplitude num valor médio. Ligue o osciloscópio
e aguarde um minuto para o aquecimento. Ajuste o osciloscópio para visualizar o sinal
quadrado. Em caso de dúvida veja o roteiro do experimento OSCILOSCÓPIO DE RAIOS
CATÓDICOS-I. Estando o sinal quadrado imobilizado no centro da tela e com um perı́odo
visı́vel, ajuste o gerador (botão DADJ) para que a duração do semi-ciclo positivo seja
exatamente igual à duração do semi-ciclo negativo, ou seja, o traço superior do sinal tem
que ter o mesmo comprimento do traço inferior. Esse ajuste tem que ser feito com muito
critério.
Selecione a função senoidal no gerador e observe se a senoide está perfeitamente simétrica.
Varra a frequência do sinal senoidal de 100 Hz a 1500 Hz e verifique se a amplitude do
sinal permanece constante. Se não permanecer constante será necessário ajustá-la durante
o decorrer do experimento.
Não desligue o gerador durante todo o experimento, apenas desconecte os fios tomando
o cuidado para não colocá-los em curto-circuito.
Monte o circuito da figura (Fig. 11.19), mas não conecte ainda o gerador de sinais.
Chame o professor ou o monitor para conferir as ligações.
Fio vermelho
do CH1
R’ = 10 kW
Osciloscópio
C
L
Fio preto
do CH1
Figura 11.19: Circuito RLC série conectado ao osciloscópio.
Se tudo estiver correto, conecte o gerador e ajuste-o para 200 Hz. Ajuste o osciloscópio
para visualizar alguns perı́odos da senoide na tela de modo que a senoide não ultrapasse
os limites verticais da tela. Varie a frequência do gerador para encontrar a situação de
ressonância caracterizada pelo mı́nimo de amplitude do sinal. Determine a frequência de
ressonância lendo o valor mostrado no gerador e confirme esse valor fazendo a medida na
tela do osciloscópio (aumente bastante a sensibilidade vertical para essa medida).
134
N. B. de Oliveira —
DFES-I. FÍSICA-UFBA-Rev. 2013.1
Agora, você vai levantar pontos para traçar a curva de ressonância. Ajuste a frequência
do gerador na metade da frequência de ressonância. Ajuste a amplitude do gerador em conjunto com a sensibilidade vertical do osciloscópio para que a senoide ocupe toda e extensão
vertical da tela do osciloscópio. Se houver distorção na senoide, diminua a amplitude do
gerador e aumente a sensibilidade. Varie a frequência do gerador da metade até o dobro
da frequência de ressonância medindo o valor pico a pico do sinal senoidal correspondente
a cada frequência. Escolha os pontos de modo inteligente, pois a variação não é linear.
Tome pelo menos doze pontos de medida e construa uma tabela onde conste a frequência e
a tensão pico a pico. É sempre conveniente deslocar verticalmente o sinal na tela para que
o pico inferior da senoide toque a linha mais inferior da gratı́cula para realizar a medida da
tensão. Durante as medidas a amplitude do sinal do gerador deve permanecer constante,
se for necessário altere apenas a sensibilidade do osciloscópio, o tempo de varredura e o
posicionamento vertical.
Introduza o núcleo de ferro no indutor e meça apenas a nova frequência de ressonância.
Não levantaremos pontos para uma nova curva de ressonância. Após a medida retire o
núcleo de ferro.
Anote os valores exatos da capacitância e da resistência em uso.
11.3.3
Circuito RLC em paralelo
Monte o circuito da figura (Fig. 11.20) e chame o professor ou o monitor antes de conectar
o gerador para verificar as ligações.
Fio vermelho
do CH1
R’
R’’
R’ = 10 kW
R’’ = 1,2 kW
C
Osciloscópio
L
Fio preto
do CH1
Figura 11.20: Circuito RLC paralelo conectado ao osciloscópio.
Observe que as perdas no indutor foram aumentadas artificialmente pela introdução de
um resistor com resistência R00 = 1, 2 kΩ para tornar mais fácil a execução da experiência.
Novamente, variando a frequência do gerador de sinais determine e anote a frequência
de ressonância correspondente ao máximo da amplitude da tensão. Confirme o valor da
frequência medindo com o osciloscópio além do valor indicado no gerador.
Ajuste a sensibilidade vertical do osciloscópio juntamente com a amplitude do gerador para que a amplitude da senoide ocupe toda a extensão vertical da gratı́cula da
tela na situação de ressonância. Varie a frequência do gerador da metade até o dobro
da frequência de ressonância medindo o valor pico a pico do sinal senoidal correspondente
135
11.3. PARTE EXPERIMENTAL
a cada frequência. Determine pelo menos doze pontos de medida escolhendo-os de modo
inteligente.
Introduza o núcleo de ferro e repita apenas a medida da frequência de ressonância. Ao
terminar a medida retire o núcleo de ferro, mas não desmonte o circuito.
11.3.4
Transitório no circuito RLC paralelo
Para estudar o regime transitório utilizaremos o mesmo circuito anterior e o excitaremos
com um sinal quadrado de baixa frequência entre 30 Hz e 40 Hz. Nessa frequência o oscilador
RLC terá tempo suficiente para oscilar e relaxar completamente durante cada semi-ciclo
do sinal quadrado. Além disso, a frequência é suficientemente alta para obtermos uma boa
persistência visual.
Para visualizar o sinal quadrado produzido pelo gerador e sincronizar o osciloscópio
utilizaremos também o canal 2 do osciloscópio. Os terminais desse canal deverão ser conectados diretamente aos terminais de saı́da do gerador tomando o cuidado para que o fio preto
desse canal esteja eletricamente conectado ao mesmo ponto do fio preto do canal 1. Veja a
figura (Fig. 11.21).
Fio vermelho
do CH2
Fio vermelho
do CH1
R’
Osciloscópio
CH1 CH2
R’’
Gerador de
sinal quadrado
R’ = 10 kW
R’’ = 1,2 kW
C
L
Fios pretos
de CH1 e CH2
Figura 11.21: Circuito RLC paralelo com excitação quadrada e conectado ao osciloscópio.
Inicialmente, selecione sinal quadrado no gerador, ajuste a frequência num valor entre
30 Hz e 40 Hz com amplitude média. Selecione apenas o canal 2 (CH2) no osciloscópio
tomando o cuidado de colocar a chave de entrada desse canal na posição DC, isto retira o
capacitor de entrada interno que poderia deformar o sinal quadrado de baixa frequência.
Sincronize o osciloscópio apenas pelo próprio canal 2.
Ajuste a varredura, a sensibilidade do canal 2 e os posicionamentos para visualizar o
sinal quadrado no centro da tela, um ou dois perı́odos, começando no lado esquerdo. Se for
necessário ajuste o botão de nı́vel de sincronismo (LEVEL).
Agora, selecione também o canal 1 (CH1) colocando a chave de entrada desse canal
também na posição DC. Você deverá estar vendo os dois canais simultaneamente. Aumente
bastante a sensibilidade vertical desse canal e posicione o sinal no meio da tela. Você deverá
perceber um sinal transitório na borda esquerda de um pequeno sinal quadrado. Aumente
a sensibilidade para visualizá-lo melhor.
Se você prestar bem atenção perceberá que, se o primeiro transitório começa oscilando
para cima, o segundo transitório, na outra borda do sinal quadrado, começa oscilando para
136
N. B. de Oliveira —
DFES-I. FÍSICA-UFBA-Rev. 2013.1
baixo e vice-versa. Isso é devido à transição de nı́vel do sinal quadrado. Pense a respeito
disso.
Você pode selecionar apenas o canal 1 para visualização se o canal 2 estiver atrapalhando,
pressione apenas a tecla CH1 em VERTICAL MODE na parte superior do painel. Mantenha
a fonte de sincronismo no canal 2.
Ajuste a frequência do gerador para que cada transitório tenha tempo bastante para se
extinguir, mas não exagere, pois, se a frequência ficar muito baixa a figura piscará na tela.
Agora, concentre-se em apenas um dos transitórios, pode ser o primeiro no lado esquerdo, e ajuste a varredura e o posicionamento para que apenas ele fique visı́vel na tela. A
oscilação amortecida deve terminar em cima do traço horizontal do centro da tela. Ajuste
a sensibilidade vertical e a amplitude do gerador, simultaneamente, para obter a máxima
excursão do primeiro pico até a linha limite vertical da tela.
• a) Retire o resistor R00 = 1, 2 kΩ que está em paralelo com o indutor e observe o
que acontece anotando o resultado. Se for necessário altere a sensibilidade vertical,
a varredura e até mesmo a frequência do gerador para visualizar melhor o efeito da
retirada do resistor. Se estiver disponı́vel, introduza um resistor de 270 Ω no lugar de
R00 , observe e anote o resultado. Retire o resistor. A seguir, todas as medidas serão
executadas sem a presença desse resistor.
• b) Meça a frequência natural das oscilações livres amortecidas com o osciloscópio. Use
a maior precisão possı́vel da tela do osciloscópio expandindo ao máximo um ciclo da
oscilação. Certifique-se que o sinal está bem centralizado na tela.
• c) Observe o que acontece quando introduzimos inteiramente o núcleo de ferro no
indutor. Meça novamente a frequência natural.
• d) Retire o núcleo, reajuste o osciloscópio e reposicione o sinal oscilatório amortecido
para que o término da oscilação ocorra na linha inferior da tela do osciloscópio. Você
só visualizará a parte superior do sinal. Ajuste a sensibilidade vertical e a amplitude
do gerador para que o primeiro pico do sinal alcance a linha superior da tela. Tenha
certeza que a oscilação continua terminando na linha inferior, reajuste se necessário.
Conte alguns picos até cair abaixo de uma divisão e meça a amplitude desse n-ésimo
pico. Veja a figura (Fig. 11.2) como referência.
• e) Volte os ajustes do osciloscópio para uma posição “normal”que permita ver a
varredura, desligue e desmonte o circuito.
11.4
TRABALHOS COMPLEMENTARES
1. Das medidas executadas no circuito RLC em série, item 11.3.2, determine o valor da
indutância sem núcleo e com núcleo. Explique a ação do núcleo. Trace a curva de
ressonância, amplitude da tensão versus logaritmo na base dez da frequência. Você
pode utilizar papel lin-log, papel lin-lin e calcular o logaritmo ou utilizar qualquer
programa para traçado de gráfico. Em qualquer caso apresente o gráfico em tamanho
A4 ou próximo disso.
2. Compare a frequência de ressonância em série, item 11.3.2 com a frequência de ressonância em paralelo, item 11.3.3. Qual é a conclusão? Trace a curva de ressonância
137
11.5. BIBLIOGRAFIA
para o circuito em paralelo, amplitude da tensão versus logaritmo na base dez da
frequência. Compare com a curva do item anterior e discuta.
3. A partir da curva precedente estime o coeficiente de qualidade total do circuito completo. Lembramos que o circuito RLC em paralelo pode ser considerado, perto da
ressonância, como equivalente ao da figura (Fig. 11.22) onde r representa as perdas
no indutor e L e C são elementos ideais. No nosso caso, introduzimos propositadamente em paralelo o resistor R00 = 1, 2 kΩ que é muito menor que r de modo que a
ação de r pode ser desprezada.
R’
R’’
r
C
L
R’ = 10 kW R’’ = 1,2 kW
Figura 11.22: Circuito RLC paralelo conectado ao osciloscópio.
4. Compare as frequências naturais medidas no regime transitório, item 11.3.4b e 11.3.4c
com as frequências de ressonância correspondentes.
5. Usando o diagrama da figura (Fig. 11.22) justifique o resultado observado no item
11.3.4a.
6. Através das medidas das amplitudes dos picos no regime transitório realizadas no
item 11.3.4 determine o coeficiente de qualidade desse circuito. Por que ele difere
do coeficiente calculado no item 11.4-3? Agora um desafio: você é capaz de corrigir
teoricamente esse valor e comparar o resultado com o valor calculado no item 11.4-3?
11.5
BIBLIOGRAFIA
[14], [20], [8], [22], [17]
Crı́ticas e sugestões, contate Prof. Newton B. Oliveira - [email protected]