Geometria Sólida
www.spexatas.com.br
grupoexatas.wordpress.com
Exercı́cios Dissertativos
1. (2003) Um recipiente, contendo água, tem a forma de um cilindro circular reto de altura h = 50cm e
raio r = 15cm. Este recipiente contém 1 litro de água a menos que sua capacidade total.
a) Calcule o volume de água contido no cilindro (use π = 3, 14).
b) Qual deve ser o raio R de uma esfera de ferro que, introduzida no cilindro e totalmente submersa,
faça transbordarem exatamente 2 litros de água?
2. (2005) A figura representa um lápis novo e sua parte apontada, sendo que D, o diâmetro do lápis,
mede 10 mm; d, o diâmetro da grafite, mede 2 mm e h, a altura do cilindro reto que representa a parte
apontada, mede 15 mm. A altura do cone reto, representando a parte da grafite que foi apontada,
mede s mm.
a) Calcule o volume do material (madeira e grafite) retirado do lápis.
b) Calcule o volume da grafite retirada.
Professor:Leonardo Carvalho
UNIFESP
contato:[email protected]
Geometria Sólida
www.spexatas.com.br
grupoexatas.wordpress.com
3. (2007) Quatro dos oito vértices de um cubo de aresta unitária são vértices de um tetraedro regular.
As arestas do tetraedro são diagonais das faces do cubo, conforme mostra a figura.
a) Obtenha a altura do tetraedro e verifique que ela é igual a dois terços da diagonal do cubo.
b) Obtenha a razão entre o volume do cubo e o volume do tetraedro.
4. (2008) Um poliedro é construı́do a partir de um cubo de aresta a > 0, cortando-se em cada um de
seus cantos uma pirâmide regular de base triangular equilateral (os três lados da base da pirâmide são
iguais). Denote por x, 0 < x ≤ a/2, a aresta lateral das pirâmides cortadas.
a) Dê o número de faces do poliedro construı́do.
b) Obtenha o valor de x, 0 < x ≤ a/2, para o qual o volume do poliedro construı́do fique igual a cinco
sextos
√ do volume do cubo original. A altura de cada pirâmide cortada, relativa à base equilateral,
é x/ 3.
5. (2006) Considere a equação x3 − Ax2 + Bx − C = 0, onde A, B e C são constantes reais. Admita essas
constantes escolhidas de modo que as três raı́zes da equação são as três dimensões, em centı́metros, de
um paralelepı́pedo reto-retângulo. Dado que o volume desse paralelepı́pedo é 9cm3 , que a soma das
áreas de todas as faces é 27cm2 e que a soma dos comprimentos de todas as arestas é 26cm, pede-se:
(a) os valores de A, B e C.
(b) a medida de uma diagonal (interna) do paralelepı́pedo.
Professor:Leonardo Carvalho
UNIFESP
contato:[email protected]
Geometria Sólida
www.spexatas.com.br
grupoexatas.wordpress.com
6. (2013) Na figura, ABCDEFGH é um paralelepı́pedo reto-retângulo, e PQRE é um tetraedro regular
de lado 6 cm, conforme indica a figura. Sabe-se ainda que:
• P e R pertencem, respectivamente, às faces ABCD e EFGH;
• Q pertence à aresta EH;
• T é baricentro do triângulo ERQ e pertence à diagonal EG da face EFGH;
d é um arco de circunferência de centro E.
• RF
d , em centı́metros.
(a) Calcule a medida do arco RF
(b) Calcule o volume do paralelepı́pedo ABCDEFGH, em cm3 .
Professor:Leonardo Carvalho
UNIFESP
contato:[email protected]
Geometria Sólida
www.spexatas.com.br
grupoexatas.wordpress.com
7. (2014) A figura indica uma pirâmide regular quadrangular reta cujas faces laterais são triângulos
equiláteros. A aresta da base dessa pirâmide mede 12 cm.
Duas formigas, F1 e F2 , partiram do ponto médio da aresta V A para o ponto médio da aresta V C,
sempre caminhando por faces, arestas, ou cruzando arestas. Dentre todos os caminhos possı́veis ligando
os dois pontos, a formiga F1 escolheu o mais curto deles. Já a formiga F2 escolheu o caminho mais
curto dentre todos que passam pela base ABCD da pirâmide. Calcule:
(a) a distância percorrida pela formiga F1 .
(b) a distância percorrida pela formiga F2 .
Professor:Leonardo Carvalho
UNIFESP
contato:[email protected]