Prisma e pirâmide
MA13 - Unidade 23
Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:
A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT
Prisma regular
Um prisma é reto quando suas arestas laterais forem
perpendiculares ao plano da base.
Prisma regular é um prisma reto cuja base é um polı́gono regular.
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Prisma e pirâmide
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Pirâmide (seções paralelas à base)
A figura abaixo mostra uma pirâmide de vértice V , altura H e base de
área A. Uma seção paralela à base dista h do vértice V e tem área A0 .
V
b
b
b
h
X′
b
A’
b
b
Y′
b
b
X
H
b
A
b
b
Y
Na figura acima, a razão de semelhança entre a seção e a base é
X 0Y 0
VX 0
h
=
= .
XY
VX
H
A razão entre as áreas de figuras semelhantes é o quadrado da razão de
semelhança. Então,
2
A0
h
=
A
H
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Teorema
Duas pirâmides de mesma base e mesma altura têm mesmo
volume.
V1
V2
b
b
A1
A2
b
b
h
b
H
b
b
A
b
b
A figura acima mostra duas pirâmides com mesma base de área A e com
altura H. Um plano paralelo à base distando h dos vértices V1 e V2
produziu seções de áreas A1 e A2 . Temos
2
A1
h
A2
=
=
A
H
A
Logo, A1 = A2 e, pelo princı́pio de Cavalieri, as duas pirâmides têm
mesmo volume.
Prisma e pirâmide
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Volume da pirâmide triangular
Um prisma triangular pode ser decomposto em três tetraedros de
mesmo volume. Observe a figura abaixo. Os tetraedros T1 , T2 e
T3 , juntos, formam o prisma triangular.
Procure justificar por que os três tetraedros possuem mesmo
volume.
Se o prisma triangular tem altura h e base de área A então seu
volume é Ah.
Logo, o volume de T3 é V = 13 Ah.
O volume da pirâmide triangular é a terça parte do produto da
área da base pela altura.
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Volume da pirâmide qualquer
O volume de qualquer pirâmide é a terça parte do produto da área
da base pela altura.
b
b
h
b
A3
b
b
b
A1
A2
b
b
O polı́gono da base pode ser dividido em triângulos. A pirâmide
fica dividida em pirâmides triangulares cujas bases têm áreas
A1 , A2 , . . . , An . O volume V da pirâmide é
1
1
1
1
1
A1 h + A2 h + . . . + An h = (A1 + A2 + An )h = Ah
V =
3
3
3
3
3
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Pirâmide regular
Uma pirâmide é regular quando a base é regular e a projeção do
vértice sobre o plano da base é o centro da base.
V
b
D
b
b
b
b
A
C
b
O
M
b
B
A figura acima mostra uma pirâmide quadrangular regular.
O ponto O é o centro da base.
OV é a altura da pirâmide.
As arestas laterais são iguais.
Se M é o ponto médio de uma das arestas da base, VM é o
apótema da pirâmide.
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