GEOMETRIA ESPACIAL
1) Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o formato
de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6cm, 8cm e 10cm e cuja altura é 10cm.
Tal peça deve ser vazada de maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente as
suas faces laterais, conforme mostra a figura. O raio da perfuração da peça e igual a:
a) 1cm
b) 2cm
c) 3cm
d) 4cm
e) 5cm
2) Um arquiteto está fazendo um projeto de iluminação de ambiente e necessita saber a altura que deverá
instalar a luminária ilustrada na figura. Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área circular de
28,26m2, considerando  = 3,14, a altura h será igual a:
a) 3m
b) 4m
c) 5m
d) 9m
e) 16m
3) Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se
encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma leiteira cilíndrica e copinhos
plásticos, também cilíndricos. Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a quantidade
mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona Maria
deverá:
a) Encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo.
b) Encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo.
c) Encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.
d) Encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.
e) Encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.
4) Para construir uma manilha de esgoto, um cilindro com 2m de diâmetro e 4m de altura (de espessura
desprezível), foi envolvido homogeneamente por uma camada de concreto, contendo 20cm de espessura.
Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R$10,00 e tomando 3,1 como valor aproximado de , então
o preço dessa manilha e igual a:
a) R$ 230,40 b) R$ 124,00 c) R$104,16 d) R$ 54,56
e) R$ 49,60
5) Na figura, está representada uma torre de quatro andares construída com cubos congruentes empilhados,
sendo sua base formada por dez cubos.
Calcule o número de cubos que formam a base de outra torre, com 100 andares, construída com cubos iguais
e procedimento idêntico.
6) Um cone circular reto está inscrito em um paralelepípedo reto retângulo, de base
quadrada, como mostra a figura.
A razão b a entre as dimensões do paralelepípedo é 3/2 e o volume do cone é π.
Determine o comprimento g da geratriz do cone.
7) A figura abaixo representa um cilindro circunscrito a uma esfera.
Se V1 é o volume da esfera e V2 é o volume do cilindro, então a razão
a) 1/3.
V1
é
V2  V1
b) 1/2.
c) 1.
d) 2.
e) 3.
8) Duas esferas de raio r foram colocadas dentro de um cilindro circular reto com altura 4r, raio de base r e
espessura desprezível, como na figura abaixo.
Nessas condições, a razão entre o volume do cilindro não ocupado pelas esferas e o volume das esferas é
a) 1/5.
b) 1/4.
c) 1/3.
d) 1/2.
e) 2/3.
9) Um reservatório tem forma de um cilindro circular reto com duas semiesferas acopladas em suas
extremidades, conforme representado na figura abaixo.
O diâmetro da base e a altura do cilindro medem, cada um, 4dm. Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo
da capacidade do reservatório, em litros, é
a) 50.
b) 60.
c) 70.
d) 80.
e) 90.
RESPOSTAS GEOMETRIA ESPACIAL
1) Solução:
A base do prisma é um triângulo retângulo, pois as dimensões são 6, 8, 10 (múltiplo de 3, 4 e 5).
4
Temos (6 − 𝑅) + (8 − 𝑅) = 10 → 14 − 2𝑅 = 10 → 14 − 10 = 2𝑅 → 4 = 2𝑅 → 2 = 𝑅 → 2 = 𝑅
2) Solução:
Se a área a ser iluminada mede 28,26m2 e r é o raio da área circular iluminada, então:
28,26
𝜋𝑟 2 = 28,26 → 𝑟 = √ 3,14 = √9 = 3𝑚
A altura será calculada na relação de Pitágoras ℎ = √52 − 32 = √25 − 9 = √16 = 4𝑚
3) Solução:
Primeiramente, vamos calcular o volume da leiteira cujo formato é de um cilindro.
Volume = Área da base x altura = (.r2).(20) = (.42).(20) 320cm3.
Calculando o volume do copinho, temos: (22.).4 = 16cm3.
O volume de 20 copinhos cheios pela metade vale: (16).(0,5).(20) = 160cm3. Este é o volume de água
necessário. Reparem que ele corresponde à metade do volume da leiteira.
4) Solução:
Volume do concreto é V, logo:
V = Volume do cilindro maior – volume do cilindro menor
V =.(1,2)2.(4) - .(12).(4) = V = 1,76  = (1,76).(3,1) = V= 5,456m3.
O preço da manilha será (5,456).(R$10,00) = R$ 54,56.
5) Solução:
Observe que o número de cubos em cada andar, partindo do mais alto, é o resultado da soma do total de cubos
do andar anterior com o número indicador do andar atual. Logo, com 5 andares a base teria (1 + 2 + 3 + 4 + 5)
= 15 cubos. Essa soma representa a soma de uma Progressão Aritmética de razão 1. Calculando o número de
cubos da base para 100 andares, temos:
𝐵𝑎𝑠𝑒: 𝑆100 = 1 + 2 + 3 + 4 … + 100 =
(1+100)
2
. 100 = (101). (55) = 5050
6) Solução:
𝑏 3
3𝑎
= →𝑏=
𝑎 2
2
1 𝑎 2
3𝑎
𝜋 ( ) 𝑏 = 𝜋 → 𝑎2 𝑏 = 12 → 𝑎2
= 12 → 3𝑎3 = 24 → 𝑎3 = 8 → 𝑎 = 2
3 2
2
𝑏=
3.2 6
= =3
2
2
𝑎 2
𝑔2 = 𝑏 2 + ( )
2
2 2
𝑔 = 3 + ( ) → 𝑔2 = 9 + 1 → 𝑔 = √10
2
2
2
7) Solução:
O volume V1 nós já sabemos que é
4 r 3
. Para o cilindro, nós sabemos que o raio de base é r e que a altura
3
é 2r. Logo, o volume V2 é  r 2  2r  2 r 3 . Substituindo na fórmula pedida, teremos
4 r 3
V1


V2  V1
3
1
2 r 3 
4 r 3
3

4 r 3
3

2
3
2 r 3
Letra D
8) Solução:
Primeiramente vamos calcular o volume do cilindro inteiro. Sabemos que o raio da base é r e a altura é 4r.
Então o volume é  r 2  4r  4 r 3 . O volume ocupado pelas esferas é 2 
8 r 3
4 r 3
=
. Queremos calcular o
3
3
volume não ocupado pelas esferas dividido pelo volume das esferas, ou seja:
Vtotal  Vesferas
Vesferas

8 r 3
  4 r 3 

3

3

  3  4 r  3  1
 8 r 3
3
2
8 r 3

Letra D
9) Solução:
Como o diâmetro da base é 4 dm, então os raios da base e, consequentemente das semiesferas, é 2 dm. O
volume que queremos é a soma dos volumes do cilindro e das duas semiesferas (que juntas, formam uma
esfera). O volume do cilindro é 4  4  16 e o volume das duas semiesferas é
4  8 32
. Somando os dois

3
3
volumes e substituindo  por 3,15, teremos:
32
80
 16 
 80  1,05  84 dm³. Na verdade, se substituíssemos  pelo seu valor real, teríamos um pouco
3
3
menos que 84. Assim, o número mais próximo de 84 nas alternativas é 80.
Letra D