LISTA 4 – Geometria Analítica Professor Eudes Fileti PARTE A ‐ ELIPSE 1) Deduzir a equação da elipse a partir da definição. 2) Obtenha uma equação da elipse cujos focos ( e Esboce o gráfico em cada caso. a)
3,0 e 3,0 ; 5,0 e 5,0 b)
√5, 0 e √5, 0 ; 3,0 e ) e vértices ( e ) são dados abaixo. 3,0 c)
√21, 0 ; 5,0 e 5,0 √21, 0 e d)
0,4 e 0,4 ; 0,5 e 0, 5 e)
0,3 e 0, 3 ; 0,5 e 0, 5 3) Use a definição de elipse e obtenha uma equação para a elipse para a qual os focos ( e ) e a soma das distâncias que separam um ponto da elipse aos focos são dados. 8 a)
2, 4 e 2, 4 ; 6 b)
3, 2 e 3, 2 ; c)
6, 1 e 6, 1 ; d)
2, 4 e 4 2, 4 ; 12 4) Em cada um dos casos abaixo achar as coordenadas dos vértices e focos, os comprimentos dos eixos maior e menor e a excentricidade. Esboce o gráfico. 4
36 b)
9
36 a) 9
4
c) 16
25
200 d)
3
6 √
Resp: a) 0, 3 ; 0, √5 ; b)
3, 0 ; √5, 0 ; √
c) 5, 0 ; 3, 0 ; ; 2
; 2
6 ; 2
4. ; 2
6 ; 2
4 10 ; 2
5) Achar a equação da elipse cujos focos são os pontos 8 2, 0 e sua excentricidade é 2, 0 e 1 . Resp.: 6) Achar a equação e a excentricidade da elipse que tem seu centro na origem, um de seus vértices é o ponto 0, 7 e passa pelo ponto √5,
. Resp.: 1 ; √
7) Uma elipse tem seu centro na origem é seu eixo maior coincide com o eixo dos . Achar sua equação sabendo que passa pelos pontos √6, 1 e 2, √2 . Resp.: 8) Achar a equação da elipse que passa pelo ponto √
1 , 3 , tem seu centro na origem, seu eixo menor coincide com o eixo dos e seu eixo maior é o dobro de seu eixo menor. Resp.: 1 9) Ache a equação da elipse que tem centro Resp.: 2,4 e é tangente aos eixos coordenados. 1 10) Encontre a equação cartesiana da elipse que tem um de seus vértices em 7
75 ponto 2, 3 . Resp.: 3
5,0 e passa pelo 11) Achar a equação da elipse cujo eixo menor coincide com o eixo 1 com tem centro 1,5 e focos 1, 8 e 1, 8 e a soma das distâncias dos focos a um ponto da elipse é 12. Resp.: 1 12) A Terra se move numa orbita elíptica em torno do Sol com o Sol sobre um dos focos desta elipse. Se a distância que separa a Terra do Sol é de 147000km e sua maior separação é de 150000km aproximadamente, a que distância o Sol está do outro foco? Qual a equação da trajetória da Terra? Qual a excentricidade desta trajetória? 13) Para cada caso abaixo simplificar a equação à forma reduzida da equação da elipse e determinar as coordenadas do centro, vértices, focos, e excentricidade. a)
4
6
16
21 0 1 ; Resp.: b) 4
c)
d) 9
9
4
4
32
10
8
,
37
18
40
109
32 0 3, 2 ; ,
5, 2 1, 2 ; √
0 0 PARTE B – HIPÉRBOLE 1) Deduzir a equação da hipérbole a partir da definição. 2) Em cada item abaixo, para a equação da hipérbole, ache as coordenadas dos vértices e focos, a excentricidade. Trace e discuta o gráfico. a) 9
4
36 b) 4
9
36 4
36 c) 9
4
4 d)
16
e) 9
144 2
8 0 f)
1 g)
4
1 h)
3) Obtenha a equação da hipérbole cujos focos e vértices e são dados abaixo. Trace o gráfico da equação obtida. 5,0 ,
5,0 ,
3,0 ,
3,0 a)
5,0 ,
5,0 ,
4,0 ,
4,0 b)
c)
0, √7 ,
0, √7 ,
0, √3 ,
0, √3 d)
0, √21 ,
0, √21 ,
0, √5 ,
0, √5 4) O centro de uma hipérbole está na origem e seu eixo transverso está sobre o eixo Y. Se um dos focos é o ponto 0,5 e a excentricidade é igual a 3, ache a equação da hipérbole. 5) Os vértices de uma hipérbole são 0,4 , 0, 4 , e sua excentricidade é igual a . Achar a equação da hipérbole e as coordenadas de seus focos. 6) Uma hipérbole tem seu centro na origem e seu eixo transverso sobre o eixo X. Achar a equação sabendo que sua excentricidade é √6 e que a curva passa pelo ponto 2,1 . 7) Achar a equação da hipérbole que passa pelos pontos 3, 2 e 7,6 , tem seu centro na origem e seu eixo transverso coincide com o eixo X. 8) Para cada caso abaixo, usando a definição de hipérbole, achar a equação da curva a partir dos dados fornecidos. a) Focos: 7,3 , 1,3 ; longitude do transverso 4. b) Vértices: 3,4 , 3, 2 ; excentricidade 2. 9) No exercício acima através da uma troca de coordenadas, coloque a equação na forma reduzida. 10) Achar e traçar as equações e as assíntotas da hipérbole 4
5
7. 9
12 0 com as assíntotas da hipérbole 11) Achar os pontos de intersecção da reta 2
4
9
11. 12) Achar a equação da hipérbole que passa pelo ponto 3, 1 , seu centro está na origem, seu eixo 3 2
transverso está sobre o eixo X, e uma de suas assíntotas é a 2
0. 13) Achar a equação da hipérbole que passa pelo ponto 2,3 , tem seu centro na origem, seu eixo transverso está sobre o eixo Y, e uma de suas assíntotas é a reta2
0. √7
14) Achar a distância do foco à direita da hipérbole 16
9
144 a qualquer uma de suas assíntotas. 15) Achar a equação da hipérbole que passa pelo ponto 2,3 tem seu centro na origem, seu eixo √7
transverso sobre o eixo Y e uma de suas assíntotas é a reta 2
Resp.: 0. 1 16) Achar a equação da hipérbole, com vértices em 0, 7 e excentricidade 7
343 Resp.: 9
Dada a equação da hipérbole excentricidade. Resp.: Vértices 2,0 ; Focos 4
. 4, achar as coordenadas dos vértices, focos e √5, 0 e excentricidade
√
. 17) Achar a equação da hipérbole cujos focos estão nos vértices da elipse: 1 e as diretrizes passam pelos focos desta elipse. Resp.: 1 18) Dada a equação da hipérbole: 1, encontrar as coordenadas do centro, vértice e foco, excentricidade e as equações das diretrizes e assíntotas. Resp.: Vértices 8,0 0,0 ; Focos 16,0 8,0 ; Equações das diretrizes: 16 8 ; Equações das assíntotas: : 2√2
4
0 : 2√2
4
3
3
0 . 19) Achar a equação da hipérbole que passa pelos pontos 3, 2 7,6 , tem seu centro na origem e seu eixo transverso coincide com o eixo X. Resp.: 4
5
16. 20) Em cada um dos itens abaixo determinar, o centro, o vértice, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas. Esboce o gráfico de cada hipérbole. 4
18
16
43 0 a) 9
b) 9
4
54
8
113 0 c) 9
36
6
63 0 21) Obter a equação reduzida resultante de uma translação de eixos, classificar, dar elementos e representar graficamente as equações: a)
4
4
24
36 0 b)
8
6
17 0 c)
2
8
15 0 25
90
50
25 d) 9
PARTE C ‐ PARÁBOLA 1) Deduzir a equação da parábola a partir da definição. 2) Obter a equação da parábola com vértice na origem com foco nos pontos dados abaixo. Para cada caso indique a reta diretriz. a)
0, 3 b)
2, 0
c)
1, 0 d)
0, 5
3) Para cada caso, calcule as coordenadas do foco e obtenha uma equação cartesiana da diretriz da parábola com vértice na origem e que passa pelos ponto e . a)
4, 2 4, 2 b)
5, 5
5, 5 c)
2, 4 2, 4 d)
6, 8
6, 8 4) Para cada caso abaixo achar as coordenadas do foco e a equação da reta diretriz. Esboce o gráfico. a)
12 b)
12
8
0 d)
2
0
c)
Resp.: a) 3,0 ; 3 . b) 0,3 ; 3 . c) 2,0 ; 2 5) A forma geral da equação cartesiana de uma parábola com eixo paralelo ao eixo dos y é: 0 com 0. Esta parábola tem concavidade para cima se 0 e concavidade para baixo se 0. Obtenha para cada caso abaixo uma equação nesta forma para a parábola que passa pelos pontos dados , , e . a)
1,1 c)
0, 1 ; 1, 6 ;
1,0 b)
0, 2 ; 1, 1 ;
0, 2 ; 1, 2 ;
1,13
d)
0, 5 ; 1, 2 ;
2,7
e)
0, 3 ; 1, 3 ; 2,1
f)
0, 6 ; 1, 1 ;
2, 14
6) Achar a equação da parábola de vértice na origem e reta diretriz : 5 0. Resp.: 20 7) Uma parábola, cujo vértice esta na origem e cujo eixo coincide com o eixo dos , passa pelo ponto 2,4 . Ache sua equação. Resp.: 8 8) Para cada caso abaixo, aplique a definição de parábola e encontre a equação a partir dos dados. a) Foco 3, 4 ; diretriz 1 0 Resp.: 4
8
24 0 1 0 Resp.: 6
12
33 0 b) Foco 3, 5 ; diretriz c) Vértice 2, 0 ; Foco 0, 0 Resp.: 16 0 8
d) Foco 1, 1 ; diretriz 5 0 Resp.: 2
14
6
21 0 9) Para as equações do exercício anterior, use uma transformação de coordenadas e encontre sua forma reduzida. Resp.: a) 4
0; b) 12
0; c) 8
0; d) 5√2
0 10) Para cada caso encontrar a forma reduzida da equação da parábola. 3
a) 4
48
20
71 0 Resp.: 12
4 b) 9
24
72
16 0 Resp.: 3
8
3 4
7 c)
d) 4
48
12
159 e)
11) Dada a equação da parábola 8
2
7 achar o vértice, o eixo, o foco e a diretriz. 8
1 Esboce a curva. Resp.: 1
12) Mostre que a tangente à parábola 4 em qualquer ponto ,
da curva tem a equação 2
. Sugestão: Escreva a equação cartesiana da reta e substitua na equação da parábola. Em seguida encontre o coeficiente angular da reta tangente levando em está sobre a parábola ou seja 4
. conta que o ponto ,
13) A partir do resultado anterior, ache as equações da tangente à cada parábola nos ponto dados. a)
4
0 ; 1, 2 Resp.: 1 0 2
b)
4
2
9 0 ; 6, 3 Resp.: 0 3 0 c)
6 5
11 ; 2, 1 Resp.: 2
4
0 com a reta 14) Determine o comprimento do segmento determinado pela parábola 2
3
0. Resp.: 4√5 PARTE D – EQUAÇÃO GERAL DA CÔNICA 1) Esbocar o gráfico da cônica: ,
,
,
,
,
,
,
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
3
16
7
16
7
2
6√2
2√2
2 0 4
3√3
1 0 4
1 0 4
24
9
38
34
71 0 5
2√3
14 2√3
10 2√3
29
108
260 0 6
28
12
28 0 3
8
2√3
0 2) Reduza as equações abaixo a forma mais simples através de uma translação e/ou uma rotação. 7
52
180 0 a) 32
b) 7
6√3
13
16 0 c)
11
5
37
52 0 d)
e)
f)
g)
h)
4
8
17
19
4
8√5
16√5
0 8√2
2
8√2
0 6
12
26
11 0 12
8
0 6
11
38
6
29 0 3) Reconheça as cônicas: a) 3
4
2
1 0 30
23 0 6
7
10
b)
4
6
2
2 0 c) 5
3
8
6
7 0 d) 2
4
6
3
e) 4
2 0 2
10
6
25 0 f)
4
4
2
4
1 0 g)
16
16
8
59 0 h) 16