1a Lista de Exercício – Estatística 2015
1. Exemplifique, através de um histograma (gráfico de barras), uma v.a. discreta X cujos valores
possíveis são inteiros variando de 0 a 10 de modo que moda(X) = mediana(X) = média(X), e
outra Y com as mesmas características de X, de modo que moda(Y) > mediana(Y) >
média(Y).
2. Uma máquina produz peças cujo comprimento é de 20 cm em média, com desvio padrão de 3
cm. Se 3 peças selecionadas aleatoriamente fossem colocadas lado a lado como a seguir:
a) Qual seria a média e desvio padrão do comprimento total destas 3 peças juntas?
b) Se apenas uma peça fosse selecionada e usada 3 vezes para demarcar a mesma distância,
qual seria a média e o desvio padrão neste caso?
3. A variância de uma v.a. pode ser zero? Exemplifique. Por que a variância não pode ter
valores negativos? Se a v.a. expressa a área de uma figura geométrica em metros quadrados,
qual a unidade da variância e do desvio padrão desta v.a.?
4. Suponha que a v.a. X possua os valores –1, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 e 21 todos
igualmente prováveis. Qual a média e variância de X? Se dois valores de X fossem escolhidos
ao acaso (independentemente) e fosse obtida a diferença entre eles, qual seria o mínimo, o
máximo, a média e a variância dessa diferença?
5. Deseja-se estudar mudanças de uso da terra através de uma seqüência temporal de 3 imagens.
Para tanto, optou-se pelo uso da Transformação por Componentes Principais. Um
determinado autor sugere que as imagens utilizadas nessa transformação devam ter a mesma
variância. Suponha que as imagens analisadas A, B e C possuam média igual a 180, 130 e
170, e variância 30, 45 e 67, respectivamente. Que transformação linear você sugere a fim de
que as imagens B e C passem a ter a mesma variância de A? Caso se desejasse ter a mesma
média e variância para as três imagens, qual a transformação sugerida? Use a imagem A como
referência.
6. Numa imagem de 8 bits (256 níveis de cinza – de 0 a 255), uma determinada classe de uso
possui a seguinte distribuição de valores:
Valor
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Freqüência
1
1
3
5
7
7
10
20
50
36
Valor
18
19
20
21
22
23
24
25
26
Freqüência
21
15
10
5
3
2
2
1
1
Qual a transformação linear (Y=aX+b) sugerida de forma que 98% dos valores mais frequentes
dessa classe estejam entre 10 e 245? Calcule a média e a variância dessa classe após esta
transformação, considerando 2 situações diferentes: a) Y é do tipo real (- < Y < +) e b) Y é do
tipo inteiro 8 bits (0  Y  255)
7. Uma área qualquer pode ser dividida em 3 áreas disjuntas, sendo 30% de floresta, 65% de
cerrado e 5% de água.
a) Uma v.a. definida como o número de pontos com água em 10 pontos amostrados pode ser
considerada uma v.a. com distribuição binomial mesmo tendo 3 classes envolvidas no
processo? Explique.
b) Se 10 pontos fossem selecionados ao acaso (com reposição) nesta área, qual a
probabilidade de que exatamente 5 pontos sejam de água?
c) Se 1000 pontos fossem selecionados ao acaso (com reposição), qual a probabilidade de
que pelo menos 320 pontos sejam de floresta?
8. Uma variável X tem média igual a 100 e variância igual a 16. Outra variável Y tem média
igual a 110 e variância igual a 25. Considerando que ambas têm distribuição normal, calcule:
a) P(98 < X < 110)
b) P(X = 100)
c) P(X > 200)
d) P(Y > 110)
e) P(X-100 > 3)
f) P(2X > Y+95)
9. Por que o estimador de um parâmetro é considerado uma variável aleatória? Qual o
significado do termo “não tendencioso” aplicado ao estimador? Qual é a diferença entre
parâmetro, estimador e estimativa?
10. Uma pessoa me disse que para se garantir que a média amostral tenha distribuição normal,
deveria ser checado e confirmado que a população original (a partir da qual foi retirada a
amostra) tenha também uma distribuição normal. Comente esta afirmação.
11. Se eu dispusesse de diversos estimadores para um mesmo parâmetro, qual deveria ser o
critério para se escolher o melhor?
12. Amostras de uma mesma cultura foram retiradas em cinco diferentes regiões de uma imagem
de satélite. Os valores das variâncias amostrais (s2), e dos tamanhos das amostras (n) foram:
s2 40 30 20 42 50
n 11 20 10 31 13
Construa um intervalo de confiança de 95% para a 2 combinando-se estas variâncias amostrais
(Dica: a soma de qui-quadrados também é uma qui-quadrado). Caso se soubesse que as médias
amostrais das 5 amostras retiradas foram, respectivamente, 10, 11, 13, 9 e 10, qual seria o melhor
estimador para 2? Construa um intervalo de confiança de 95% com este novo estimador. Este
IC deveria ser mais estreito que o anterior? Comente.
13. Uma pessoa construiu o intervalo de confiança de 99% para média e variância populacionais.
No entanto, a pessoa observou que seus IC eram muito amplos. De que forma ela poderia
obter IC mais estreitos conservando-se o mesmo nível de confiança?
14. Como posso saber se o intervalo de confiança para a média deve utilizar um valor z ou t? Por
que os intervalos de confiança baseados na distribuição normal padrão (z) são mais estreitos
que aqueles obtidos a partir da distribuição t de Student?
15. Por que o intervalo de confiança para a variância é assimétrico e sempre positivo?