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Medidas de dispersão.
Para preparar uma festa anual são necessários
alguns dias. O Sr. António, que faz parte da
comissão de festas há já alguns anos, anotou,
em dez anos consecutivos, os dias necessários
para os preparativos.
Os dados são os seguintes:
Indique os valores extremos, isto é, os valores máximo e
mínimo.
Chama-se amplitude de um conjunto de dados à diferença
entre o maior e o menor desses valores.
Calcule a amplitude do conjunto de dados.
Amplitude de um conjunto de dados
Duas das medidas da variabilidade de um conjunto de dados
são a amplitude e a amplitude interquartil.
O que é
amplitude?
Chama-se amplitude e representase por R (Range) de um conjunto
de dados, x1 , x´2, … , xi, … , xn , à
diferença entre o máximo e o
mínimo do conjunto de dados.
Se os dados estão agrupados em
classes, faz-se uma estimativa
para a amplitude calculando a
diferença entre o limite superior da
última classe e o limite inferior da
primeira.
Amplitude interquartil
Vejamos:
A amplitude interquartil é outra medida de
variabilidade que vamos estudar para
além da amplitude (R) .
Ao contrário da amplitude, a amplitude
interquartil (IQR) é uma medida
resistente.
Já que é definida à custa de medidas
resistentes que são os quartis e é
representada pela diferença entre o 3.° e
o 1.° quartil.
Amplitude interquartis
Amplitude interquartis é a diferença entre o 3.o quartil e
o 1.o quartil, isto é, igual a 3.o quartil – 1.o quartil
Desvio médio
Existem duas expressões para representar
Aavariância
é geralmente
variância.não
Ambas
são obtidas a partir da
utilizada
como
medida de
soma dos
quadrados
dos desvios
dispersão
mas éà omédia.
suporte
para
o
relativamente
São
elas:
cálculo do desvio-padrão.
ou
Quando se utiliza
s2??
δ
Quando x1 , x2 , … , xn
representam uma amostra.
população.
A interpretação do significado da variância, em
situações concretas, levanta problemas. Por
exemplo, se estivermos a estudar a altura de
um grupo de pessoas em centímetros, a média
das alturas ainda se exprime em centímetros,
mas a variância exprime-se em centímetros
quadrados.
O desvio-padrão representa-se por s
ou s conforme a variância seja s2 ou
δ2 e é igual à raiz quadrada positiva
da variância.
Propriedades do desvio-padrão
1. O desvio-padrão é sempre não negativo.
2. Quanto maior for o desvio-padrão maior
será a dispersão dos dados em relação
à média.
3. Se o desvio-padrão é igual a zero é
porque não existe variabilidade, isto é, os
dados são todos iguais.
O processo de cálculo do desvio-padrão
para dados agrupados em classes ou em
tabelas de frequência é o mesmo que para
os dados simples.
Utilizar a calculadora gráfica para determinar o desviopadrão
Pode provar-se, tal como se verifica no exemplo anterior, que:
Ao adicionarmos a cada dado a
constante k , a média vem
adicionada dessa constante e o
desvio-padrão não se altera.
Utilizar a calculadora gráfica para determinar o desviopadrão
Pode provar-se, tal como se verifica no exemplo anterior, que:
Ao multiplicar cada dado por uma
constante diferente de zero, k ,
a média e o desvio-padrão vêm
multiplicados por essa constante.
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Essencial
O ESSENCIAL
Define-se amplitude e representa-se
por R (Range) como sendo a diferença
entre os valores maior e menor das
observações. Por exemplo:
O ESSENCIAL
A amplitude interquartis = Q3 - Q1 .
Por exemplo:
amplitude interquartis = 184 - 163 = 21
O ESSENCIAL
Sendo x1 , x2 , … , xn os n valores observados
de uma variável quantitativa x a sua média,
chama-se desvio médio, e representa-se por
d , ao valor assim obtido:
Para dados simples:
Para dados agrupados
em tabelas de frequências:
Se os dados estão agrupados em classes, xi e fi são, respectivamente, o
ponto médio e a frequência absoluta da classe i ; k é o número de classes.
O ESSENCIAL
Define-se variância, e representa-se por s2 ,
como sendo a medida que se obtém
adicionando os quadrados dos desvios das
observações da amostra, relativamente à
sua média, e dividindo pelo número de
observações da amostra menos 1 .
O ESSENCIAL
A variância envolve a soma de quadrados.
Assim, para obter uma medida da
variabilidade ou dispersão com as mesmas
unidades que os dados da amostra, calculase a raiz quadrada positiva da variância e
obtém-se o desvio-padrão.
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Medidas de dispersão.