SEGUNDA LISTA DE EXERCÍCIOS
Fundamentos da Matemática II
MATEMÁTICA — DCET — UESC
Humberto José Bortolossi
Retas Paralelas
(Entregar todos os exercı́cios até o dia 20/04/2004)
[01] Na figura (1), o ponto B é ponto médio dos segmentos AC e DE. Mostre
que os triângulos ∆ABD e ∆CBE são congruentes.
D
C
B
A
E
Figura 1: Um exercı́cio sobre congruência de triângulos.
[02] Um triângulo é dito isósceles se tem dois lados com medidas iguais.
Estes lados são denominados laterais e o terceiro lado é denominado
base do triângulo isósceles.
(a) Seja ∆ABC um triângulo com base BC, como na figura (2). Use
o critério LAL de congruência de triângulos para mostrar que os
triângulos ∆ABC e ∆ACB são congruentes (sim, você está comparando o triângulo com ele mesmo!). Conclua que os ângulos da
base ∠ABC e ∠ACB são congruentes.
(b) Use o critério ALA para mostrar que se dois ângulos internos de
um triângulo são congruentes, então este triângulo é isósceles. Dica:
como no item anterior, compare o triângulo com ele mesmo!
[03] Na figura (3), as retas r e s são paralelas e x + y = 60◦ . Determine os
valores de w, z, a, b, c e d.
1
A
B
C
Figura 2: Em triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes.
t
z
y
c
b
x
r
w
s
a
d
Figura 3: Um exercı́cio sobre retas paralelas.
2
[04] Sabendo que as retas r e s são paralelas, determine o valor de a nas
quatro situações indicadas na figura (4).
t
t
60±
a
r
r
3x
a
x
s
(a)
s
(b)
t
t
60±
a
2x
x
u
r
x ¡10±
a
s
r
s
2x +10
(c)
±
(d)
Figura 4: Um exercı́cio sobre retas paralelas.
[05] Sabendo que as retas r, s e v são paralelas, determine o valor de a na
situação indicada na figura (5).
t
v
2x +20±
a
r
x + 40±
Figura 5: Um exercı́cio sobre retas paralelas.
3
s
[06] O objetivo deste exercı́cio é o de demonstrar que a soma dos ângulos
internos de um triângulo é igual a 180◦ admitindo, para isto, o Postulado
de Playfair: por um ponto dado fora de uma reta, passa uma única reta
paralela à reta dada. Considere o triângulo ∆ABC na figura (6). Pelo
vértice A, trace uma reta r paralela ao lado BC do triângulo ∆ABC
(construção possı́vel pelo Postulado de Playfair).
A
x
r
y
a
b
c
B
C
Figura 6: A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180◦ .
(a) Tem-se x = b e y = c. Por quê?
(b) Conclua que a soma a+b+c dos ângulos internos do triângulo ∆ABC
é igual a 180◦ .
[07] Dado um triângulo ∆ABC, lembramos que os ângulos ∠ABC, ∠BCA
e ∠CAB são denominados ângulos internos ou simplesmente ângulos
do triângulo. Os suplementos destes ângulos são chamados de ângulos
externos do triângulo. Por exemplo, na figura (7), o ângulo ∠BAD é
um ângulo externo adjacente ao ângulo interno ∠CAB.
A
a
z
b
B
C
D
Figura 7: A medida de um ângulo externo de um triângulo é igual a soma
das medidas dos ângulos internos que não lhe são adjacentes.
4
Use o resultado do exercı́cio [06] para mostrar que a medida de um
ângulo externo de um triângulo é igual a soma das medidas dos ângulos
internos que não lhe são adjacentes.
[08] Lembramos que um triângulo equilátero é um triângulo cujos lados têm
medidas iguais.
(a) Use um dos critérios de congruência de triângulos para demonstrar
que os ângulos internos de um triângulo equilátero são congruentes.
(b) Use o resultado do exercı́cio [06] para mostrar que cada ângulo
interno de um triângulo equilátero mede 60◦ .
Texto composto em LATEX2e, HJB, 12/04/2004.
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