FACULDADE DE TECNOLOGIA / UNICAMP
FT / UNICAMP – CAMPUS 1 - LIMEIRA - SP
ST 301 TOPOGRAFIA I
2013
Prof. Hiroshi Paulo Yoshizane
[email protected]
[email protected]
SITE: www.professorhiroshi.com.br
FaceBook: hiroshi.yoshizane.1
ST 301 – Turmas A – B - C
PLANILHA DE CÁLCULO ANALÍTICO TOPOGRÁFICO
¨ EXERCÍCIO MODELO ¨
BASE PARA APRENDIZADO INICIAL COM ERRO LINEAR DE
MAIOR AMPLITUDE PARA MELHOR FIXAÇÃO
DADOS DE CAMPO FICTÍCIO
DADOS DE CAMPO MONTADO DE FORMA QUE O DISCENTE VISUALIZE A AMPLITUDE
DE FECHAMENTO LINEAR
PRIMEIRO PASSO ¨ SOMATÓRIOS¨
Executar a soma dos ângulos lidos, e verificar o sentido do caminhamento da poligonal
Executar a soma das distâncias para obter o perímetro da poligonal
SEGUNDO PASSO ¨CORREÇÃO ANGULAR¨
SOMATÓRIO DOS ÂNGULOS = 540°00’37” = Indica um erro de 37” à mais.
Deve-se corrigir o erro proporcionalmente à distância entre as estações.
Fórmula da correção ¨C.A. (
ε):
erro angular / perímetro
ε = 000°00’37” / 2.854,872 ↔ ε = 0,0103° / 2.854,872 ↔ ε = 0,000005002
O valor ¨ε¨, é o fator multiplicativo para cada ângulo lido
Para a visada E1 – E2 = 53°23’11” ↔ 775,371 x 0,000005002 = 0,0003° = 000°00’01”
assim, a leitura E1 – E2 passará a ser : 53°23’11” – 0°00’01” = 53°23’10”
OBS: A operação matemática é subtração, devido à soma dos ângulos internos lidos
serem superior ou seja, era para ser 540°00’00” e resultou 540°00’37”
ÂNGULOS INTERNOS CORRIGIDOS
Os ângulos internos
foram corrigidos, de
forma proporcional
às distâncias entre as
bases da poligonal
∑ ai = 180° x (5 – 2 ) =
∑ ai = 180° x (3) = 540°00’00”
OUTRA FORMA DE DISTRIBUIÇÃO DO ERRO ANGULAR
ε = coeficiente de correção
Para erros angulares acima:
{[( 1
-ε)x
distancia corresponde da linha visada]
ângulo da linha visada = ângulo corrigido
- distancia desta linha visada} -
Para erros angulares abaixo:
{[( 1 + ε ) x distancia corresponde da linha visada] - distancia desta linha visada} +
ângulo da linha visada = ângulo corrigido
PRIMEIRO PASSO ¨ SOMATÓRIOS¨
Executar a soma dos ângulos lidos, e verificar o sentido do caminhamento da poligonal
Executar a soma das distâncias para obter o perímetro da poligonal
SEGUNDO PASSO ¨CORREÇÃO ANGULAR¨
SOMATÓRIO DOS ÂNGULOS = 540°00’37” = Indica um erro de 37” à mais
Deve-se corrigir o erro proporcionalmente à distância entre as estações.
Fórmula da correção ¨C.A. (
ε):
erro angular / perímetro
ε = 000°00’37” / 2.854,872 ↔ ε = 0,0103° / 2.854,872 ↔ ε = 0,000005002
Para erros angulares acima ou à mais :
ε
{[( 1 - ) x distancia corresponde da linha visada]
ângulo da linha visada = ângulo corrigido
- distancia desta linha visada} -
( 1 – 0,000005002 ) = 0,999994998
( 0,999994998 x 775,371) = 775,367 – 775,371 = 0,0038784° = 00°00’14”
E1-E2 = ( 56°23’11” – 00°00’14” ) = ¨ 56°22’57” ÂNGULO CORRIGIDO¨
E2 – E3
( 1 – 0,000005002 ) = 0,999994998
( 0,999994998 X 221,528 ) = 221,527
221,528 – 221,527 = 0,0011° = 00°00’04”
E2-E3 = ( 92°18’32” – 00°00’04” ) = ¨ 92°18’28” ÂNGULO CORRIGIDO¨
E3 – E4
( 1 – 0,000005002 ) = 0,999994998
( 0,999994998 X 371,213 ) = 371,211
371,213 – 371,211 = 0,0020° = 00°00’07”
E3-E4 = ( 121°06’09” – 00°00’07”) = ¨ 121°06’02” ÂNGULO CORRIGIDO¨
E4 – E5
( 1 – 0,000005002 ) = 0,999994998
( 0,999994998 X 212,221 ) = 212,220
212,221 – 212,220 = 0,0010° = 00°00’04”
E4-E5 = ( 136°04’29” – 00°00’04”) = ¨ 136°04’25” ÂNGULO CORRIGIDO¨
E5 – E1
( 1 – 0,000005002 ) = 0,999994998
( 0,999994998 X 474,539 ) = 474,537
474,539 – 474,537 = 0,0024° = 00°00’08”
E5-E1 = ( 134°08’16” – 00°00’08”) = ¨ 134°08’08” ÂNGULO CORRIGIDO¨
ÂNGULOS INTERNOS CORRIGIDOS
Os ângulos internos
foram corrigidos, de
forma proporcional
às distâncias entre as
bases da poligonal
∑ ai = 180° x (5 – 2 ) =
∑ ai = 180° x (3) = 540°00’00”
CÁLCULO DOS AZIMUTES
AZIMUTE : É o ângulo referenciado ao NORTE ¨ordenadas-eixo Y ¨
A referencia NORTE é obtida através de BUSSOLAS, através da
determinação do NORTE VERDADEIRO (obtida através de visadas
ao SOL em horas diferentes num mesmo dia, fazendo-se do uso de
equipamentos apropriados como máscara de lente), ou através de
visadas em estrelas de 1ª ordem, através de GPS geodésico, com
georeferenciamento das bases ou por transporte de coordenadas
(marcos geodésicos).
CÁLCULO DOS AZIMUTES
Para este curso ST-301, a partida de referência azimutal, será
através da BÚSSOLA.
SEQUÊNCIA ANALÍTICA DA PLANILHA EXEMPLO:
Na planilha, há uma visada de E1 - E2, com o valor angular
azimutal de 27°35’18”, obtidas em campo.
Para a sequência analítica, deve-se transformar os respectivos
ângulos internos corrigidos em azimute.
CÁLCULO DOS AZIMUTES
Para esse procedimento, é importante visualizar e entender o
esquema abaixo:
AZIMUTE
VANTE
E1 – E2
AZIMUTE RÉ
E2 – E1
CÁLCULO DOS AZIMUTES
OBS:
Os azimutes sequentes, devem ser sempre referenciados ao
azimute imediatamente anterior, seguindo esse raciocínio:
( Azimute da linha anterior + 180°00’00” ) + ângulo interno da
linha visada que deseja-se calcular.
Se na soma final o ângulo exceder a 360°00’00”, deve-se
simplesmente subtrair o valor 360°00’00”
AZIMUTES CALCULADOS
CÁLCULO DAS PROJEÇÕES ( COORDENADAS
PARCIAIS
)
As projeções parciais devem ser calculadas seguindo de forma
sequente, isto é:
seno do azimute da linha x distância da linha =
projeção X
cosseno do azimute da linha x distância da linha = projeção Y
PLANILHA GERAL
OS CÁLCULOS INICIAIS DESENVOLVIDOS
CORREÇÃO DAS PROJEÇÕES
As projeções parciais devem ser equalizadas
∑ projeção X (+)
∑ projeção Y (+)
= ∑ projeção X (-)
= ∑ projeção Y (-)
Na planilha deve ser verificado fazendo-se o somatório
de cada coluna das projeções parciais respectivamente
PLANILHA GERAL
OS CÁLCULOS INICIAIS DESENVOLVIDOS
∆X
∆Y
VERIFICAÇÃO DO ERRO DE FECHAMENTO LINEAR
É o erro relativo às projeções parciais das abscissas ( ∆X )
É também relativo às projeções parciais das ordenadas ( ∆Y )
EL =
x² + y²
(PITÁGORAS)
Proj. parcial X0 Proj. parcial X<0
X0
X<0
X=| X0 | - |X<0 |
X
Proj. parcial Y0
Proj. parcial Y<0
Y0
Y<0
Y=| y0 | - |Y<0 |
Y
∑ projeção X (+)
∑ projeção X (-)
=
=
│587,6550 │
│579,0014│
│ ∆X = 8,6536 │
∑ projeção Y (+)
∑ projeção Y (-)
=
=
│797,6257│
│798,7232│
│∆Y = 1,0975 │
OS CÁLCULOS
DEVEM SER EM
MÓDULO
∑ projeção X (+)
∑ projeção X (-)
= │587,6550 │
= │579,0014│
│ ∆X = 8,6536 │
∑ projeção Y (+)
∑ projeção Y (-)
= │797,6257│
= │798,7232│
│∆Y = 1,0975 │
½
Cálculo do erro linear: EL = (x² + y² )
E.L. = ( 8,6536 ² ) + ( 1,0975 ² )
½
=
(PITÁGORAS)
2,9535
PRECISÃO LINEAR ¨P.L.¨
A precisão linear mostra uma proporcionalidade por metro do erro linear
cometido no levantamento topográfico.
Assim, quanto maior a relação de 1 metro medido em campo refletindo no
perímetro maior é a confiabilidade e precisão do levantamento.
Exemplo: P.L. = 1 : 1000,0000 equivale a um erro de 1 metro á cada 1000
metros medidos;
P.L. = 1 : 10.000,0000 equivale a um erro de 1 metro á cada 10.000
metros medidos;
CÁLCULO DA PRECISÃO LINEAR ¨P.L.¨ DO EXERCÍCIO MODELO
FORMULA :
Perímetro = 2.054,8720 metros ( ∑ das distâncias entre as bases )
P.L. = Perímetro / EL
P.L. = 2.054,8720 / 2,9535
P.L = 1 : 695,7511m = 1 metro a cada 695,7511m.
TOLERÂNCIAS
DO ERRO
LINEAR ADMISSÍVEIS
1- DISTÂNCIA HORIZONTAL OBTIDA POR ESTADIMETRIA :
O ERRO LINEAR (E.L.) DEVE SER MAIOR QUE 1m : 2.000m
2- DISTÂNCIA HORIZONTAL OBTIDA POR TRENA DE FIBRA :
O ERRO LINEAR (E.L.) DEVE SER MAIOR QUE 1m : 3.500m
3- DISTÂNCIA HORIZONTAL OBTIDA POR TRENA DE AÇO :
O ERRO LINEAR (E.L.) DEVE SER MAIOR QUE 5.000m
4- DISTÂNCIA OBTIDA ELETRONICAMENTE :
O ERRO LINEAR (E.L.) DEVE SER MAIOR QUE 10.000m
¨ NO EXERCÍCIO MODELO EM CURSO¨
OBJETIVO:
BASE PARA APRENDIZADO INICIAL COM ERRO LINEAR DE MAIOR AMPLITUDE PARA
MELHOR FIXAÇÃO
REFERÊNCIAS:
DADOS DE CAMPO FICTÍCIO
Os dados de campo foram montados para que o discente visualize melhor a amplitude do
erro de fechamento angular e linear
OBS: Em trabalhos profissionais, o resultado obtido indica
como um péssimo trabalho de campo, e indica fazer
novamente os trabalhos de campo !
¨ PARECE UM TRABALHO COM DISTÂNCIAS MEDIDAS À PASSO HUMANO ! ¨
SEQUÊNCIA ANALÍTICA
APÓS A CORREÇÃO ANGULAR, DEVE-SE PARTIR PARA A CORREÇÃO LINEAR QUE
SERÃO INSTRUÍDAS DE DUAS FORMAS ANALÍTICAS !
OBS: NÃO HÁ COMO PROSSEGUIR OS CÁLCULOS ANALÍTICOS SEM AS
CORREÇÕES LINEARES !
A MATEMÁTICA NÃO ACEITA ARRANJOS ALEATÓRIOS !
CÁLCULO DAS CONSTANTES DA CORREÇÃO DO ERRO LINEAR
Kx e Ky =
Constantes majorativo e minorativo para
equalizar os valores das projeções X e Y.
x
 Kx = -----------------------------------------| x  0 + X < 0 |
y
 Ky = -----------------------------------------| y  0 + y < 0 |
COEFICIENTE LINEAR DAS PROJEÇÕES
X
|x|
Kx = -----------------------------------------| x  0 + x < 0 |
 MAJORAÇÃO : ( 1 + Kx ) . CADA PROJ. DA COLUNA MENOR
 MINORAÇÃO : ( 1 - Kx ) . CADA PROJ. DA COLUNA MAIOR
CORREÇÃO DO COEFICIENTE LINEAR DAS PROJEÇÕES
|y|
Ky = -----------------------------------------| y  0 + y < 0 |
 MAJORAÇÃO : ( 1 + Ky ) . CADA PROJ. DA COLUNA MENOR
 MINORAÇÃO : ( 1 - Ky ) . CADA PROJ. DA COLUNA MAIOR
Y
CÁLCULO COEFICIENTE LINEAR DAS PROJEÇÕES
¨X¨ PARA O EXERCÍCIO MODELO
|x|
Kx = -----------------------------------------| x  0 + x < 0 |
|x = 8,6536|
Kx = -----------------------------------------| x  0 = 587,6550 + x < 0 = 579,0014 |
8,6536
Kx = ------------------------------------------ =
1.166,6564
0,007417437
CÁLCULO COEFICIENTE LINEAR DAS PROJEÇÕES
¨X¨ PARA O EXERCÍCIO MODELO
 MAJORAÇÃO : ( 1 + Kx ) . CADA PROJ. DA COLUNA MENOR
 MAJORAÇÃO : 1,007417437
x CADA PROJ. DA COLUNA MENOR
 MINORAÇÃO : ( 1 - Kx ) . CADA PROJ. DA COLUNA MAIOR
 MINORAÇÃO : 0,992582563 x CADA PROJ. DA COLUNA MAIOR
 OBS IMPORTANTE:
 Deve-se sempre utilizar a memória da calculadora para que haja a equalização
CÁLCULO COEFICIENTE LINEAR DAS PROJEÇÕES
¨Y¨ PARA O EXERCÍCIO MODELO
|y|
Ky = -----------------------------------------| y  0 + y < 0 |
|y = 1,0975
Ky = -----------------------------------------------------------------------------------------| y  0 = 797,6257 + y < 0 = 798,7232 |
8,6536
Ky = ------------------------------------------ =
1.596,3489
0,000687506
CÁLCULO COEFICIENTE LINEAR DAS PROJEÇÕES
¨Y¨ PARA O EXERCÍCIO MODELO
 MAJORAÇÃO : ( 1 + Ky ) . CADA PROJ. DA COLUNA MENOR
 MAJORAÇÃO : 1,000687506
x CADA PROJ. DA COLUNA MENOR
 MINORAÇÃO : ( 1 - Ky ) . CADA PROJ. DA COLUNA MAIOR
 MINORAÇÃO : 0,999312494 x CADA PROJ. DA COLUNA MAIOR
 OBS IMPORTANTE:
 Deve-se sempre utilizar a memória da calculadora para que haja a equalização
CÁLCULO DA CORREÇÃO LINEAR DO EXERCÍCIO MODELO
muita
atenção
neste
tópico !
Linha de
observação
Coluna a ser
minorada
Coluna a ser
majorada
Coluna a ser
majorada
Coluna a ser
minorada
Multiplicar os três
valores por:
0,999312494
Multiplicar por:
0,992582563
Multiplicar os dois
valores por:
1,000687506
Multiplicar os três
valores por:
Multiplicar por:
0,992582563
1,007417437
COORDENADAS PARCIAIS CORRIGIDAS ANALÍTICAMENTE
OUTRA FORMA DE CORREÇÃO LINEAR
COMPENSAÇÃO PROPORCIONAL ÀS PROJEÇÕES
ESSA FORMA DE COMPENSAÇÃO É FEITA PROPORCIONALMENTE
AOS VALORES DAS COORDENADAS PARCIAIS OU PROJEÇÕES LINEARES
DE PONTO À PONTO.
FÓRMULA:
∑ X(+) + ∑X(-)
PROJEÇÃO X
-
∆X
Vx
Regra de três
simples
ONDE Vx = VALOR DA PROJEÇÃO CORRIGIDA
│587,6550 + 579,0014│
E1-E2 =359,0864
-
8,6536
Vx = -2,6635
ONDE Vx = VALOR DA PROJEÇÃO CORRIGIDA = 587,6550 – 2,6635 = 584,9915
OUTRA FORMA DE CORREÇÃO LINEAR
COMPENSAÇÃO PROPORCIONAL ÀS PROJEÇÕES
ESSA FORMA DE COMPENSAÇÃO É FEITA PROPORCIONALMENTE
AOS VALORES DAS COORDENADAS PARCIAIS OU PROJEÇÕES LINEARES
DE PONTO À PONTO.
∑ Y(+) + ∑Y(-)
PROJEÇÃO Y
FÓRMULA:
-
∆Y
Vy
ONDE Vy = VALOR DA PROJEÇÃO CORRIGIDA
│797,6257 + 798,7232│
E1-E2 =687,2097
-
1,0975
Vy = +0,4725
ONDE Vx = VALOR DA PROJEÇÃO CORRIGIDA = 687,2097+0,4725 = 687,6822
CÁLCULO GERAL DAS VISADAS
COMPENSAÇÃO PROPORCIONAL ÀS
PROJEÇÕES
E1X – E2X : (359,0864 X 8,6536) / 1.166,6540 = -2,6635 → PROJ.CORRIG. = 359,0864 -2,6635
→ +356,4229
E1Y – E2Y : (687,2097 X 1,0975) / 1.596,3489 = +0,4725 → PROJ.CORRIG. = 110,4160 + 0,0759
→ +687,6822
E2X – E3X : (192,0494 X 8,6536) / 1.166,6540 = +1,4245 → PROJ.CORRIG. = 192,0494 +1,4245
→ -193,4739
E2Y – E3Y : (110,4160 X 1,0975) / 1.596,3489 = +0,0759 → PROJ.CORRIG. = 110,4160 + 0,0759
→ +110,4919
E3X – E4X : (324,6597 X 8,6536) / 1.166,6540 = +2,4081 → PROJ.CORRIG. = 324,6597 +2,4081
→ -327,0678
E3Y – E4Y : (179,9865 X 1,0975) / 1.596,3489 = -0,1237 → PROJ.CORRIG. = 179,9865 – 0,1237
→ -179,8628
E4X – E5X : ( 62,2923 X 8,6536) / 1.166,6540 = +0,4621 → PROJ.CORRIG. = 62,2923 +0,4621
→ -62,7544
E4Y – E5Y : (202,8717 X 1,0975) / 1.596,3489 = -0,1395 → PROJ.CORRIG. = 202,8717 – 0,1395
→ -202,7322
E5X – E1X : (228,5686 X 8,6536) / 1.166,654 = -1,6954 → PROJ.CORRIG. = 228,5686 -1,6954
→ +226,8732
E5Y – E1Y : (415,8650 X 1,0975) / 1.596,3489 = - 0,2859 → PROJ.CORRIG. = 415,8650 – 0,2859
→ -415,5791
CÁLCULO DAS COORDENADAS TOTAIS
1º PASSO :
Adotar valores para as coordenadas ¨X ¨e ¨Y¨ da estação base ¨E1¨
2º PASSO : Fazer a SOMA ALGÉBRICA sequencial das projeções corrigidas.
Coordenada E1 + proj. corrig. E1-E2 = Coordenada Total de E2
Coordenada E2 + proj. corrig. E2-E3 = Coordenada Total de E3
Coordenada E5+proj.corrig.E1 = Coordenada Total de E1
OBS: As coordenadas da Estação E1 ( inicial ), devem coincidir
numericamente quando na soma de suas projeções.
CÁLCULO DAS COORDENADAS TOTAIS
ADOTANDO-SE COMO COORDENADAS TOTAIS COM :
XE1= 5000,0000
Existem situações em que os valores destas coordenadas atribuídas,
não podem ser aplicadas, quando a base inicial já tem valores de
YE1= 4000,0000
amarração, como exemplo as coordenadas UTM, ou locais
Coordenada X de E1 + proj. corrig. E1 - E2 = Coordenada Total de E2
Coordenada Y de E1 + proj. corrig. E1 - E2 = Coordenada Total de E2
XE2 = 5000,0000 + 356,4229 = Coordenada Total X de E2 = 5356,4229
YE2 = 6000,0000 + 687,6822 = Coordenada Total Y de E2 = 6687,6822
Adota-se valores acima de 1000,0000, para que não ocorram situações onde os valores dessas
coordenadas assumam valores negativos, quais podem induzir a grandes erros pela não
observação do sinal ¨negativo¨ nas operações de cálculos.
DADOS DAS COORDENADAS PARCIAIS CORRIGIDAS E
COORDENADAS TOTAIS
COORDENADAS TOTAIS
ESTES SÃO OS
VALORES DAS
COORDENADAS
TOTAIS
E2
E3
E4
E5
E1
CÁLCULO DA ÁREA DA POLIGONAL BASE
O VALOR DA ÁREA DA
POLIGONAL BASE É
DETERMINÁVEL
ATRAVES DA EQUAÇÃO
DE GAUSS
VALORES DE X . Y
Trata-se de cálculo
de determinante
163.686.049,9
VALORES DE Y . X
Trata-se de cálculo de determinante
163.209.736,9
VALORES FINAIS DE (X . Y) E (Y . X )
CÁLCULO DA ÁREA
ÁREA =
 |(X total . Y total) -  (Y total . X total)|
2
 Obs. O cálculo de área é através da determinante de Gauss
CÁLCULO DA ÁREA
│ (X total . Y total)│ - │ (Y total . X total)│
ÁREA =
2
Área final = │163.686.049,9 │- │163.209.736,9│ / 2
ÁREA TOTAL DA POLIGONAL BASE
Área final = │163.686.049,9 │- │163.209.736,9│ / 2 =
238.156,50 m²
F I M!
A S S I M
C O N C L U I – S E
O S
C A L C U L O S
D A P O L I G O N A L
B A S E
O PRÓXIMO PASSO É CALCULO DAS COORDENADAS
DOS DETALHES CADASTRAIS
ISSO SERÁ FEITO NA PRÓXIMA APRESENTAÇÃO
FIM !
Autor: PROFESSOR HIROSHI PAULO YOSHIZANE
31 DE MARÇO DE 2013
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