Prof. Rivelino – Matemática Básica
2.
Equações Polinomiais do 2° Grau
Ache o valor de “p” em cada uma das equações, de
modo que uma das raízes seja nula.
Definição
a) -2x 2 + 3x - (p-1) = 0
1
b) -x 2 + 9x - (3p - ) = 0
5
c) x 2 - x + 2p - 4 = 0
É toda equação redutível a forma:
ax 2 + bx + c = 0 com a ≠ 0
Fórmula resolutiva
3.
Dada a equação ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0),
multiplicar ambos os membros por 4a:
4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0
vamos
a) 3x 2 - 2x + 5m = 0, e uma das raízes seja 1;
b) x 2 + 9x + 2m = 0, e uma das raízes seja 3;
Adicionando b 2 aos dois membros, temos:
c) x 2 - 12x + m = 0, e uma das raízes seja 2;
4a 2 x 2 + 4abx + 4ac + b 2 = b 2
4.
Subtraindo 4ac, fica:
4a x + 4abx + b = b − 4ac
2 2
2
Descubra o valor de “m” em cada uma das
equações, de modo que:
Discutir as raízes das equações:
2
a) x 2 - 9x + 20 = 0
Fatorando o primeiro membro e indicando o segundo
membro pela letra Δ (delta) do alfabeto grego, obtemos:
b) x 2 - x - 20 = 0
c) x 2 + 3x + 4 = 0
(2ax + b) 2 = Δ
d) x 2 - 4x + 4 = 0
Se Δ ≥ 0, temos:
2ax + b = Δ
5.
Sem resolver a equação 3x 2 - 5x + 2 = 0, calcular a
soma e o produto das raízes.
6.
Calcular a média aritmética das raízes das
equações:
Isolando o x:
x=
−b ± Δ
2a
a) x 2 + 4x - 21 = 0
• Essa fórmula é conhecida por fórmula de Bhaskara
(matemático indiano, século XII).
b) x 2 - 8x + 15 = 0
c) 2x 2 - 3x + 1 = 0
• Δ = b 2 − 4ac é chamado discriminante da equação.
Estudo das raízes em R
• Δ > 0 ⇒ duas raízes reais e distintas
• Δ = 0 ⇒ duas raízes reais e iguais
• Δ < 0 ⇒ não existe raízes em R
7.
Sendo a e b as raízes da equação x 2 + 5x + 2 = 0,
calcule o valor de (a+2).(b+2).
8.
Calcular a soma dos quadrados das raízes das
seguintes equações:
Relações entre coeficientes e raízes
b
c
S = x1 + x2 = −
S = x1 . x2 =
a
a
a) x 2 + 6x - 16 = 0
b) x 2 + 3x - 28 = 0
Observação:
A partir das raízes, podemos “montar” uma equação do
segundo grau.
bx c
ax 2 + bx + c = 0 (÷a) → x 2 +
+ = 0 → x 2 − Sx + P = 0
a a
c) 2x 2 - 5x + 2 = 0
9.
Calcular a soma dos quadrados dos inversos das
raízes das seguintes equações:
a) x 2 + 2x - 8 = 0
EXERCÍCIOS
1.
b) 6x 2 - 5x + 1 = 0
Calcule o valor de “k” em cada uma das equações,
de modo que as raízes sejam simétricas.
a) -x 2 - (3k - 1)x + 16 = 0
b) -x 2 - (k -
1
)x + 4 = 0
2
c) 3x 2 + (2k - 6)x - 12 = 0
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a ∈ \ de modo que a equação
x 2 + ax + 1 = 0 admita raiz dupla.
10. Determine
11. Sendo a e b raízes da equação 2x 2 + 3x + m = 4,
então, se
1
1
3
+ = , o valor de m é:
a
b
2
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18. Formar a equação do 2° grau que admite 5 e 9
como raízes.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
19. Calcular dois números cuja soma é 11 e o produto
28.
12. (UECE) Sejam x1 e x 2 as raízes da equação
3x - kx - 1 = 0. Se (x1 ) + (x 2 ) = 1, então k
2
2
2
2
é
20. Para que valor de k a equação x 2 - 16x + k = 0
admite uma raiz igual ao triplo da outra?
igual:
21. (FAOC-SP) A equação x 2 - 3x + k = 0 tem como
raízes -1 e α. Os valores de “k” e “α” são,
respectivamente:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
a) 2 e -4
b) 2 e 4
13. Para
que
valor
de
m
a
equação
raízes
recíprocas?
(números recíprocos são a mesma coisa que
2x 2 - 3x + m + 3 = 0 admite
números inversos, por exemplo, 5 e
22. (PUC-SP) As raízes da equação x 2 - ax + b = 0 são
1 e 2. Então, é verdade que:
1
).
5
14. (UFC) Seja k uma das raízes da equação
1999x 2 - 2000x + 1999 = 0, Então o valor de
1999. (k +
1
) é igual a:
K
b) a 2 - b 2 = 1
d) 2a + a 2 = b
e) a 2 - 3a = -b
23. (Funesp) Consideremos a equação x 2 + ax + b = 0.
Sabendo que 4 e -5 são as raízes dessa equação,
então:
r
uma
das
raízes
da
equação:
1
2x - 10x + 2 = 0. Calcule o valor de 2.(r + ).
r
2
1
2
b) 10
a)
d) zero
16. Se x1 e x 2 são as raízes da equação x 2 - 8x + 10,
então calcule:
a) x1 + x 2
d) (x1 + 3) . (x 2 + 3)
b ) x1 . x 2
e) ( x1 ) + ( x 2 )
1
1
+
x1
x2
a) a = 1 , b = 7
b) a = 1 , b = -20
c) a = 3 , b = -20
d) a = -20 , b = -20
e) a = 1 , b = 1
24. (UECE) Sejam x1 e x 2 as raízes da equação
x 2 - kx + k - 1 = 0. Se x1 + x1 . x 2 + x 2 = 13, então k
é igual a:
c) 1
c)
a) a 2 + b 2 = a + 5b
c) a 2 = b 2 + 10
a) 0
b) 1
c) 1999
d) 2000
15. Seja
c) -4 e 4
d) -4 e -4
e) n.d.a
2
f)
( x1 )
3
2
+ ( x2 )
3
17. (FEI-SP) Na equação x 2 + 3x + a = 0, uma das
raízes é o dobro da outra. Calcule o valor de a.
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a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
25. Um grupo de meninos resolveu comprar uma bola
que custava R$ 2.400,00. Como dois deles
desistiram, cada um teve que dar mais R$ 40,00.
Determine o número de meninos.
a) 12
b) 10
c) 09
d) 08
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26. Resolva o sistema de equações, sendo U = \ x \ .
⎧⎪ x 2 + y 2 = 34
⎨
⎪⎩ x + y = 8
a) ∅
b) {(1,7) , (7 , 1)}
c) {(6 , 2) , (2 , 6)}
d) {(5 , 3) , (3 , 5)}
27. Sejam x, y, z e w números reais positivos que
satisfazem ao sistema. Calcule x.y.z.w
⎧y . z . w
=1
⎪ x
⎪
⎪x . z . w = 2
⎪⎪ y
⎨
⎪x . y . w = 3
⎪
z
⎪
⎪x . y . z = 6
⎪⎩ w
a) 36
b) 8
c) 6
d) 1
28. Resolva os sistemas de equações, sendo U = \x\ .
⎧ x 2 + y 2 = 25
⎪
1
⎨x-y
⎪x + y = 7
⎩
a) {(4 , 3) , (-4 , -3)}
b) {(1 , 2) , (2 , 1)}
c) ∅
d) n.r.a
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