Design Industrial - UBI
Matemática Aplicada ao Design
2º Teste
Duração: 1h 40m
–
2011-06-07
Escreva o seu nome, número e versão de teste em cada folha que entregar.
– Apresente todos os cálculos que efectuar.
VERSÃO A
1. Considere o triângulo XYZ com ∠X = 60º ∠Z = 45º , XY = 10
2.
a)
[0,5]
Esboce o triângulo e determine o ∠Y .
b)
[1,5]
Utilizando a regra do seno, calcule o comprimento dos lados XZ e YZ.
[1,5]
Um foco de luz espalha luz num ângulo de 45º, até uma distância de 10 m. Determine a
área iluminada.
3. Considere o seguinte objecto:
4.
a)
[1,5]
Calcule o volume. Apresente o resultado em m3.
b)
[1,5]
Calcule a área da superfície. Apresente o resultado em m2.
[2,0]
Calcule a área da superfície da seguinte pirâmide com altura perpendicular, AB, de 13
cm. Apresente o resultado em cm2.
1
5.
[1,0]
Considere a seguinte equação da circunferência. Determine o seu centro e raio.
x 2 + ( y + 1) 2 − 36 = 0
6.
[1,5]
Um automóvel tem a massa de 1000 kg. Um modelo do carro é feito na escala de 1 para
60. Determine a massa do modelo supondo que o automóvel e o modelo são feitos do
mesmo material.
7.
[1,5]
Calcule a primeira derivada, y’, da seguinte expressão:
y = 2x 4 +
2
+ ln (3 x) + sen(5 x)
x3
8. As forças F1= 5 N, de 30º com a horizontal, e F2= 3 N, de 60º com a horizontal, actuam
num ponto.
a)
[0,5]
Esboce a força resultante F1 + F2.
b)
[2,0]
Por cálculos, determine F1 + F2. Ou seja, determine a componente horizontal e
a componente vertical, magnitude e uma expressão para a direcção.
9. Considere os vectores:
a)
[1,0]
b)
[1,0]
r
r
v = (1, − 2, 3) w = (−2, 4, 5)
rr
Calcule o produto escalar v .w .
r r
Calcule o produto vectorial v × w .
a+b a
= =φ
a
b
10. a)
[1,5]
Deduza o valor da média dourada, φ , a partir da seguinte equação:
b)
[1,5]
No modulador de Le Corbusier os termos da série vermelha são determinados pela
média aritmética dos respectivos termos da série azul. Mostre que o termo da série
vermelha, d, é a média aritmética dos respectivos termos da série azul
Θ
30º
45º
60º
75º
sen θ
0,50
0,71
0,87
0,97
cos θ
0,87
0,71
0,50
0,26
tan θ
0,58
1
1,73
3,73
2
2d 2d
,
2
φ
φ
Design Industrial - UBI
Matemática Aplicada ao Design
2º Teste
Duração: 1h 40m
–
2011-06-07
Escreva o seu nome, número e versão de teste em cada folha que entregar.
– Apresente todos os cálculos que efectuar.
VERSÃO B
1. Considere o triângulo XYZ com ∠X = 60º ∠Z = 45º , XY = 20
2.
a)
[0,5]
Esboce o triângulo e determine o ∠Y .
b)
[1,5]
Utilizando a regra do seno, calcule o comprimento dos lados XZ e YZ.
[1,5]
Um foco de luz espalha luz num ângulo de 30º, até uma distância de 10 m. Determine a
área iluminada.
3. Considere o seguinte objecto:
4.
a)
[1,5]
Calcule o volume. Apresente o resultado em m3.
b)
[1,5]
Calcule a área da superfície. Apresente o resultado em m2.
[2,0]
Calcule a área da superfície da seguinte pirâmide com altura perpendicular, AB, de 15
cm. Apresente o resultado em cm2.
1
5.
[1,0]
Considere a seguinte equação da circunferência. Determine o seu centro e raio.
x 2 + ( y + 2) 2 − 25 = 0
6.
[1,5]
Um automóvel tem a massa de 1200 kg. Um modelo do carro é feito na escala de 1 para
40. Determine a massa do modelo supondo que o automóvel e o modelo são feitos do
mesmo material.
7.
[1,5]
Calcule a primeira derivada, y’, da seguinte expressão:
y = 3x 5 +
3
+ ln (4 x) + sen(4 x)
x3
8. As forças F1= 6 N, de 30º com a horizontal, e F2= 4 N, de 60º com a horizontal, actuam
num ponto.
a)
[0,5]
Esboce a força resultante F1 + F2.
b)
[2,0]
Por cálculos, determine F1 + F2. Ou seja, determine a componente horizontal e
a componente vertical, magnitude e uma expressão para a direcção.
9. Considere os vectores:
a)
[1,0]
b)
[1,0]
r
r
v = (2, − 2, 3) w = (5, 4,−2)
rr
Calcule o produto escalar v .w .
r r
Calcule o produto vectorial v × w .
a+b a
= =φ
a
b
10. a)
[1,5]
Deduza o valor da média dourada, φ , a partir da seguinte equação:
b)
[1,5]
No modulador de Le Corbusier os termos da série vermelha são determinados pela
média aritmética dos respectivos termos da série azul. Mostre que o termo da série
vermelha, d, é a média aritmética dos respectivos termos da série azul
Θ
30º
45º
60º
75º
sen θ
0,50
0,71
0,87
0,97
cos θ
0,87
0,71
0,50
0,26
tan θ
0,58
1
1,73
3,73
2
2d 2d
,
2
φ
φ