Curso Wellington – Matemática –Progressões Geométricas – Prof Hilton Franco
1. Após o nascimento do filho, o pai comprometeu-se a depositar mensalmente, em uma
caderneta de poupança, os valores de R$ 1,00, R$ 2,00, R$ 4,00 e assim sucessivamente, até
o mês em que o valor do depósito atingisse R$ 2.048,00. No mês seguinte o pai recomeçaria
os depósitos como de início e assim o faria até o 21º aniversário do filho. Não tendo ocorrido
falha de depósito ao longo do período, e sabendo-se que 210 = 1.024, o montante total dos
depósitos, em reais, feitos em caderneta de poupança foi de
a) 42.947,50.
b) 49.142,00.
c) 57.330,00.
d) 85.995,00.
e) 114.660,00.
2.
Em uma Progressão Geométrica estritamente crescente com razão igual ao triplo do
primeiro termo e na qual, o quarto termo é igual a 16875, é correto afirmar que
a) o terceiro termo é igual a nove vezes o primeiro termo.
b) a soma dos três primeiros termos é igual a 241 vezes o primeiro termo.
c) o segundo termo é igual a 9 vezes o quadrado do primeiro termo.
d) a soma do primeiro e do terceiro termo é igual a 25 vezes o segundo termo.
e) os termos também estão em progressão aritmética.
3.
O
quarto
termo
de
uma
progressão
geométrica
descrita
pela
sequência
an = ( −3 ) , com n ∈ ¥ *, é
−n
a)
b)
c)
d)
e)
1
.
27
1
.
81
1
−
.
243
1
− .
27
1
− .
81
4. Um colégio promoveu uma Olimpíada Interna de Matemática cuja prova consistiu de dez
questões, numeradas de um a dez, que poderiam ser resolvidas em qualquer ordem e que
foram pontuadas de acordo com as seguintes regras:
a cada questão não resolvida, resolvida de forma parcial ou totalmente incorreta foi
atribuído valor 0;
à resolução correta da questão um foi atribuído o valor 1;
à resolução correta da questão dois foi atribuído o valor 2;
à resolução correta da questão três foi atribuído o valor 4;
à resolução correta da questão quatro foi atribuído o valor 8, e assim sucessivamente, até a
questão dez.
Nessas condições, pode-se afirmar que um participante da Olimpíada que obteve um total de
213 pontos resolveu corretamente
a) seis questões, das quais apenas uma é de numeração ímpar.
b) seis questões, das quais apenas uma é de numeração par.
c) cinco questões, das quais apenas uma é de numeração ímpar.
d) cinco questões, das quais apenas uma é de numeração par.
e) três questões de numeração par e três questões de numeração ímpar.
5.
3
Considere a equação algébrica ∑ ( x − ak )
k =1
4 −k
= 0 . Sabendo que x = 0 é uma das raízes e
que (a1, a2, a3) é uma progressão geométrica com a1 = 2 e soma 6, pode-se afirmar que
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a) a soma de todas as raízes é 5.
b) o produto de todas as raízes é 21.
c) a única raiz real é maior que zero.
d) a soma das raízes não reais é 10.
e) todas as raízes são reais.
6. Não sendo paga quantia alguma relativa a um empréstimo feito por uma pessoa, serão a
ele incorporados juros compostos de 2,5% a.m.
Assim, o montante desse empréstimo, considerado mês a mês, crescerá segundo uma
progressão
a) aritmética de razão 0,25 .
b) geométrica de razão 1,025 .
c) aritmética de razão 1,205 .
d) geométrica de razão 10,25 .
e) aritmética de razão 12,05 .
7. Observe a sequência de figuras
ABCD é um quadrado, cujo lado mede x cm. Ligando os pontos médios dos lados desse
quadrado, obtém-se o quadrado MNPQ. Realizando esse procedimento indefinidamente, a
soma das áreas de todos os quadrados sombreados dessa sequência é igual a 64 2 cm2. A
área do quadrado sombreado da décima figura dessa sequência, em centímetros quadrados, é
igual a
2
a)
.
16
2
.
4
c) 2.
d) 4 2.
e) 8 2.
b)
8. Três números formam uma progressão geométrica de razão 3. Subtraindo 8 unidades do
terceiro número, obteremos uma progressão aritmética cuja soma dos termos é
a) 16.
b) 18.
c) 22.
d) 24.
e) 26.
9.
Se a e b são números reais positivos tais que a sequência (a, 6, b) é uma progressão
aritmética e a sequência (a, 11, b) é uma progressão geométrica, então o produto de a e b é:
a) 6.
b) 10.
c) 11.
d) 66.
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e) nda.
10.
De um dos lados de uma avenida retilínea, estão dispostos alguns postes nos ponto
P1,P2 ,...,P,i
i ∈¥ .
Do outro lado dessa mesma avenida, estão dispostas algumas árvores nos pontos
A1, A 2 ,..., A j , j ∈ ¥ . Sabe-se que:
- P1P2 = 3 dam
- P1Pi = 63 dam
(
)
- P1P2 ,P2P3 ,... é uma progressão aritmética finita de razão 3.
- A1A j = P1Pi
(
)
- A1A 2 , A 2 A 3 ,... é uma progressão geométrica finita de razão 2.
- i= j
Com base nessas informações, é correto afirmar que a maior distância entre duas árvores
consecutivas é, em dam, igual a
a) 63
b) 32
c) 18
d) 16
11.
Você tem um dinheiro a receber em pagamentos mensais. Se você recebesse
R$ 100,00 no primeiro pagamento e, a partir do segundo pagamento, você recebesse
R$ 150,00 a mais do que no pagamento anterior, receberia todo o dinheiro em 9 pagamentos.
Porém, se o valor do primeiro pagamento fosse mantido, mas, a partir do segundo pagamento,
você recebesse o dobro do que recebeu no mês anterior, em quantos pagamentos receberia
todo o dinheiro?
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12
12. A sequência de termos positivos (a1, a2, a3,... an, ...) é uma progressão geométrica de
razão igual a q .
Podemos afirmar que a sequência (loga1 , loga2 , loga3 , ... logan ...) é:
a) Uma progressão aritmética de razão q .
b) Uma progressão geométrica de razão q .
c) Uma progressão aritmética de razão log q .
d) Uma progressão geométrica de razão log q .
e) Uma progressão aritmética de razão (loga1 - logq ).
13. Um menino, de posse de uma porção de grãos de arroz, brincando com um tabuleiro de
xadrez, colocou um grão na primeira casa, dois grãos na segunda casa, quatro grãos na
terceira casa, oito grãos na quarta casa e continuou procedendo desta forma até que os grãos
acabaram, em algum momento, enquanto ele preenchia a décima casa. A partir dessas
informações, podemos afirmar que a quantidade mínima de grãos de arroz que o menino
utilizou na brincadeira é
a) 480
b) 511
c) 512
d) 1023
e) 1024
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14. A natureza tem sua própria maneira de manter o equilíbrio. Se uma comunidade fica
grande demais, é, muitas vezes, reduzida por falta de comida, por predadores, seca, doença ou
incêndios.
Uma certa reserva florestal sofreu um incêndio. Na primeira hora, teve 1 km 2 e, a cada hora
subsequente, foi destruído pelo fogo o triplo da área em relação à hora anterior. Supondo que
esse processo se mantenha, quantos km2 da reserva serão queimados decorridas k horas do
início do incêndio?
a)
3k − 1
2
b) 3k
c) 3k-1
3k
2
3k +1 − 1
e)
2
d)
15. Na sequência 1, 3, 7,15..., cada termo, a partir do segundo, é obtido adicionando-se uma
unidade ao dobro do termo anterior. O 13º termo dessa sequência é
a) 211-1.
b) 211+1.
c) 212-1.
d) 212+1.
e) 213-1.
16.
Com o objetivo de criticar os processos infinitos, utilizados em demonstrações
matemáticas de sua época, o filósofo Zenão de Eleia (século V a.C.) propôs o paradoxo de
Aquiles e a tartaruga, um dos paradoxos mais famosos do mundo matemático.
Existem vários enunciados do paradoxo de Zenão. O escritor argentino Jorge Luis Borges o
apresenta da seguinte maneira:
Aquiles, símbolo de rapidez, tem de alcançar a tartaruga, símbolo de morosidade. Aquiles corre
dez vezes mais rápido que a tartaruga e lhe dá dez metros de vantagem. Aquiles corre esses
dez metros, a tartaruga corre um; Aquiles corre esse metro, a tartaruga corre um decímetro;
Aquiles corre esse decímetro, a tartaruga corre um centímetro; Aquiles corre esse centímetro,
a tartaruga um milímetro; Aquiles corre esse milímetro, a tartaruga um décimo de milímetro, e
assim infinitamente, de modo que Aquiles pode correr para sempre, sem alcançá-la.
Fazendo a conversão para metros, a distância percorrida por Aquiles nessa fábula é igual a
d = 10 + 1 +
∞
1
1
+ 2 + ... = 10 +
10 10
n=0
∑( )
1
10
n
.
É correto afirmar que:
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a) d = + ∞
b) d = 11,11
91
c) d =
9
d) d = 12
100
e) d =
9
17. Na manhã de segunda-feira uma empresa começou sua produção de iogurte do seguinte
modo: adicionou a um litro de iogurte, já pronto, três litros de leite. Após 24 horas, havia 4 litros
de iogurte, que foram novamente misturados a uma parte proporcional de leite para dar
sequencia à produção. Se a empresa continuou esse processo, então, na manhã de sextafeira, o total de litros de iogurte obtidos foi de
a) 45
b) 46
c) 28
d) 29
18. Lança-se uma bola, verticalmente de cima para baixo, da altura de 4 metros. Após cada
choque com o solo, ela recupera apenas ½ da altura anterior.
A soma de todos os deslocamentos (medidos verticalmente) efetuados pela bola até o
momento de repouso é:
a) 12 m
b) 6 m
c) 8 m
d) 4 m
e) 16 m
19. Uma bola de boliche de 2 kg foi arremessada em uma pista plana. A tabela abaixo registra
a velocidade e a energia cinética da bola ao passar por três pontos dessa pista: A, B e C.
Pontos
Velocidade
Energia cinética
(m/s)
(J)
A
V1
E1
B
V2
E2
C
V3
E3
Se (E1, E2 , E3 ) é uma progressão geométrica
1
de razão , a razão da progressão geométrica
2
(V1, V2 , V3 ) está indicada em:
a) 1
b) 2
c)
d)
2
2
1
2
20. Considere o padrão de construção representado pelos desenhos a seguir.
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Na Etapa 1, há um único quadrado com lado 10. Na Etapa 2, esse quadrado foi dividido em
quatro quadrados congruentes, sendo um deles retirado, como indica a figura. Na etapa 3 e
nas seguintes, o mesmo processo é repetido em cada um dos quadrados da etapa anterior.
Nessas condições, a área restante na Etapa 6 será de
5
1
a) 100   .
4
6
1
b) 100   .
3
 
5
1
c) 100   .
3
6
3
d) 100   .
4
5
3
e) 100   .
4
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Gabarito:
Resposta
[D]
da
questão
1:
questão
2:
(1,2,4,8,.. 2048)
Considerando a P.G., temos:
2048 = 1.2 n-1
2n -1 = 211
n = 12 (12 meses = 1 ano)
Soma dos montantes S =
1.(212 − 1)
= 4095 (por ano)
2 −1
No 21o aniversário, termos: 21 . 4095 = 85.995,00.
Resposta
[B]
da
Considerando o primeiro termo igual a x e a razão igual a 3x, temos:
(
2
3
4
5
P.G. x,3x ,9x ,27x ,81x ,...
)
27x 4 = 16.875
X= 5 ( P.G. crescente)
Temos a PG de razão 15 e primeiro termo 5 ( 5, 75, 1125 , 16.875, ... )
Logo, a resposta b é a correta 5 + 75 + 1125 = 241.5.
Resposta
[B]
a4 = (-3)-4 =
Resposta
[D]
da
questão
3:
da
questão
4:
1
1
=
4
81
( −3)
O valor de cada uma das questões, em ordem crescente, é: 20 , 21, 22 , 23 , 24 , 25 , 26 , 27 , 28 e
29.
Portanto, se um participante obteve 213 pontos, então ele acertou as questões 1, 3, 5, 7 e 8.
Resposta
[A]
da
questão
5:
2 + 2q + 2q2 = 6 ⇔ q2 + q – 2 = 0, logo q = -2 ou q = 1
Para q = 1 temos:
(x-2)3 + (x – 2)2 + (x – 2) = 0 não apresenta o zero como raiz.
Para q = -2 temos:
(x – 2)3 + ( x+4)2 + (x – 8) = 0 ⇔ x3 -5x2 + 21x = 0 ⇔ x.(x2 – 5x + 21 ) = 0
5 ± i. 59
Resolvendo a equação, temos x = 0 ou x -=
2
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Portanto, a soma de todas as raízes será 5.
Resposta
[B]
da
questão
6:
Se C é o capital emprestado, n é o número de meses após a concessão e a taxa de juros é
2,5% = 0,025 a.m., segue que o montante é dado por C ⋅ (1 + 0,025)n = C ⋅ (1,025)n .
Portanto, o montante desse empréstimo, considerado mês a mês, crescerá segundo uma
progressão geométrica de razão 1,025.
Resposta
[A]
da
A sequência é uma P.G. infinita de razão q =
questão
7:
1
, vamos considerar A1 seu primeiro termos e A10
2
seu décimo termo.
A1
1
= 64 2 ⇔ A1 = .64 2 = 32 2
1
2
1−
2
10 −1
 1
Logo, A 10 = 32 2.  
2
Resposta
[B]
=
2
16
da
questão
8:
Se (a, b, c) é uma progressão geométrica de razão 3, então (a, b, c) = (a, 3a, 9a).
Por outro lado, de acordo com o enunciado, temos que (a, 3a, 9a − 8) é uma progressão
aritmética. Logo, sabendo que o termo central é a média aritmética dos extremos, vem que
a + 9a − 8
3a =
⇔ 5a − 4 = 3a ⇔ a = 2.
2
Portanto, a soma pedida é a + 3a + 9a − 8 = 13a − 8 = 13 ⋅ 2 − 8 = 18.
Resposta
[C]
da
questão
9:
Se (a, 11, b) é uma progressão geométrica, então a ⋅ b = ( 11)2 = 11.
Resposta
[B]
da
questão
10:
ai = 3 + (n − 1).3 = 3n
( 3 + 3n ) n
2
= 63 ⇔ n = 6
Sabemos que o número de postes é igual ao número de árvores.
Portanto, na PG temos:
a1(26 − 1)
= 63 ⇔ a1 = 1
2 −1
Temos então a figura:
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Logo, a maior distância entre duas árvores será 32m.
Resposta
[B]
da
questão
11:
questão
12:
Considerando a P.A (100. 250, 400, ...), temos:
a9 = 100 +8.150 = 1300
S9 =
(100 + 1300).9
= 6.300
2
Considerando agora a P.G. ( 100, 200, 400, ...), temos:
( 2 − 1) = 6300
100.
n
2 −1
n
2 − 1 = 63
2n = 64
n=6
Portanto, receberia o dinheiro em 6 meses.
Resposta
[C]
da
(loga1, loga2 , loga3 , K , logan , K) =
(loga1, loga1q, loga1q2 , K , loga1qn−1, K) =
(loga1, loga1 + logq, loga1 + 2logq, K , loga1 + (n − 1)logq, K).
Como
(loga1 + logq) − loga1 = (loga1 + 2logq) − (loga1 + logq) = K = logq,
segue que (loga1, loga2 , loga3 , K , logan , K) é uma PA de razão logq.
Resposta
[C]
da
questão
13:
A quantidade de grãos colocados pelo menino em cada casa constitui uma progressão
geométrica cujo primeiro termo é 1 e cuja razão vale 2. Logo, segue que a quantidade de
grãos colocados até a nona casa foi de
1⋅
29 − 1
= 511.
2 −1
Como os grãos só acabaram na décima casa, temos que a quantidade mínima de grãos que o
menino utilizou na brincadeira é 511 + 1 = 512.
Resposta
[A]
da
questão
14:
(1,3,9, ...) temos uma P.G de razão 3. A soma das áreas na hora k será:
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S=
1.(3k − 1) 3k − 1
.
=
3 −1
2
Resposta
[E]
da
questão
15:
questão
16:
questão
17:
questão
18:
questão
19:
O termo geral da sequência é an = 2n – 1
Logo a13 = 213 -1
Resposta
[E]
d = 10 + 1 +
da
∞
1
1
+
+ ... = 10 +
10 102
n=0
∑( )
1
10
n
.
PG infinita de razão 1/10
10
10 100
=
=
1
9
d=
9
1−
10 10
Resposta
[C]
da
Terça ----------------- 1 + 3 = 4 L de iogurte.
Quarta ----------------4 + 3.4 = 16 L de iogurte.
Quinta ----------------16 + 3.16 = 64 L de iogurte.
Sexta ------------------64 + 64.3 = 256 L = 28 L de iogurte.
Resposta
[A]
da
S = 4 + 2 + 2 + 1 + 1 + ½ +1/2 + ...
S = 4 + 4 + 2 + 1 + ½ + ...( P.G. infinita de razão ½)
4
1 (soma dos termos da P.G. Infinita)
S=4+
1−
2
S=4+8
S = 12m
Resposta
[C]
da
mV 2
Sabendo que a energia cinética de um corpo de massa m e velocidade V é dada por
,
2
segue que:
2V12
= V12 ,
2
2V22
E2 =
= V22
2
e
2V 2
E3 = 3 = V32 .
2
E1 =
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Como (E1, E2 , E3 ) é uma PG de razão
E2 =
E1 V12
=
2
2
e E3 =
1
, temos que:
2
E2 V12
=
.
2
4
Assim,
V2
2V1
V22 = 1 ⇒ V2 =
2
2
e
V2
V
V3 2 = 1 ⇒ V2 = 1 .
4
2
Em que:
V3 V2
=
⇔
V2 V1
V1
2 =
2V1
2
2V1
2 = 2,
V1
2
ou seja, (V1, V2 , V3 ) é uma PG de razão
Resposta
[E]
2
.
2
da
questão
20:
Na primeira etapa: 10.10 = 100
Na segunda etapa: (3/4).100
Na terceira etapa: (3/4). (3/4).100 = (3/4)2.100
Temos, então uma P.G. de razão q = ¾
Portanto o sexto termos será (3/4)5. 100
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Resumo das questões selecionadas nesta atividade
Data de elaboração:
Nome do arquivo:
13/10/2011 às 23:10
pGeometrica
Legenda:
Q/Prova = número da questão na prova
Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro®
Q/prova
Q/DB
Matéria
Fonte
Tipo
1..................100548.............Matemática.........Unesp/2011............................Múltipla escolha
2..................104567.............Matemática.........Upe/2011................................Múltipla escolha
3..................101507.............Matemática.........Uftm/2011...............................Múltipla escolha
4..................105303.............Matemática.........Uesc/2011...............................Múltipla escolha
5..................101529.............Matemática.........Ita/2011...................................Múltipla escolha
6..................105339.............Matemática.........Uesc/2011...............................Múltipla escolha
7..................102041.............Matemática.........Ifsp/2011.................................Múltipla escolha
8..................105420.............Matemática.........Ufrs/2011................................Múltipla escolha
9..................102815.............Matemática.........G1 - ifal/2011..........................Múltipla escolha
10................106448.............Matemática.........Epcar (Afa)/2011.....................Múltipla escolha
11................103191.............Matemática.........Uel/2011.................................Múltipla escolha
12................100045.............Matemática.........Fgv/2011.................................Múltipla escolha
13................106671.............Matemática.........Espcex (Aman)/2011..............Múltipla escolha
14................104245.............Matemática.........Ufsm/2011..............................Múltipla escolha
15................91127...............Matemática.........Ufrgs/2010..............................Múltipla escolha
16................91299...............Matemática.........Uff/2010..................................Múltipla escolha
17................93026...............Matemática.........G1 - cftmg/2010......................Múltipla escolha
18................96745...............Matemática.........Unemat/2010..........................Múltipla escolha
19................97344...............Matemática.........Uerj/2010................................Múltipla escolha
20................91126...............Matemática.........Ufrgs/2010..............................Múltipla escolha
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