PROGRESSÕES
GEOMÉTRICAS
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GEOMÉTRICAS
Uma progressão geométrica é uma sucessão em que cada termo
se obtém multiplicando o anterior por um número fixo chamado
razão, que se representa pela letra r.
Assim, se (an) é uma progressão geométrica, verifica-se
an1
an1  an  r 
 r , n 
an
Exercício: como reconhecer uma progressão geométrica
Para nos assegurarmos que uma sucessão é uma progressão
geométrica temos que comprovar o quociente entre cada termo e o
anterior é sempre o mesmo. Esta comprovação elementar dá-nos
também o valor da razão da progressão.
1) É 5, 15, 45, 135, 405, ... uma progressão geométrica?
2) E a sucessão de termo geral un=2n ?
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 Se a razão de uma progressão geométrica é
maior que um, a progressão é crescente, ou
seja, cada termo é maior que o anterior.
 Se a razão de uma progressão geométrica
está compreendida entre zero e um, a
progressão é decrescente, ou seja, cada
termo é menor que o anterior.
 Se a razão de uma progressão geométrica é
igual a um, a progressão é constante, ou
seja, tem todos os termos iguais.
 Se a razão de uma progressão geométrica é
menor que zero, os seus termos são
alternadamente positivos e negativos.
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Termo geral de uma progressão geométrica
A fórmula do termo geral de uma progressão geométrica (an) encontra-se
observando que:
a2 = a1 · r
a3 = a2 · r = (a1 · r) · r = a1 · r2
a4 = a3 · r = (a1 · r2) · r = a1 · r3
a5 = a4 · r = (a1 · r3) · r = a1 · r4
Note-se que, em todos os casos, cada termo é o produto de duas
quantidades:
- A primeira é sempre a1
- A segunda é uma potência de base r e exponente um certo número, que
se obtém subtraindo uma unidade ao índice.
A expressão do termo geral é: an  a1  rn1
Esta fórmula pode ser adaptada e obtém-se: an  ak  rnk
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Exercício: Escreve a expressão do termo geral das p.g.
em que:
4) v
1) u1 = 10 e un+1 = 4un
2) u1 = 36 e u3 = 4
n
16
3)
4
O
-2
-8
-32
n
Soma de n termos
consecutivos de uma p.g.
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A LENDA DO JOGO DE XADREZ
Diz a lenda que um antigo Xá da
Pérsia ficou tão impressionado
com o jogo de xadrez, que
ordenou ao seu inventor que
pedisse a recompensa que
desejasse.
O inventor (provavelmente um
matemático experiente...) pediu
um grão de trigo pela primeira
casa do tabuleiro de xadrez, dois
grãos pela segunda casa, quatro
pela terceira, oito pela quarta, e
assim sucessivamente, até se
percorrerem todas as casas do
tabuleiro.
Conta-se que o imperador ficou
estupefacto, tendo até
considerado, que era afrontoso o
pedido do inventor por se tratar
de coisa tão insignificante!
Contudo, o inventor manteve o
pedido e insistiu que lhe bastava
vê-lo concretizado...
Quantos grãos de trigo pediu,
afinal, o inventor do jogo de
xadrez?
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Resolução:
1 2
4
8 16 32 64 128
S64  1  2  22  23  ...  262  263
 1  2 1  2  22  23  ...  262 
Ora,
1  2  22  23  ...  261  262  S64  263
Donde:
S64  1  2  S64  263   S64  1  2S64  264
 S64  264  1
18 446 744 073 709 551 615 grãos de trigo
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A soma de n termos consecutivos de uma progressão geométrica é
dada por
1  rn
Sn  u1 
1 r
com r  1
Sendo n o número de termos considerados e u1 o primeiro termo e r
a razão.
Exercício:
n 1
 1
u

Se uma p.g. tem o termo geral n   , calcula a soma dos seus
2
primeiros 21 termos .
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Zenão de Eleia, filósofo sofista que viveu no séc. V a.C., formulou alguns
paradoxos com os quais pretendia contestar as concepções da Escola
Pitagórica segundo as quais, por exemplo, o tempo era uma soma de
instantes e o movimento uma soma de deslocamentos.
Um paradoxo célebre, devido a Zenão, é o chamado “Paradoxo de Aquiles
e da tartaruga”.
Aquiles corre para apanhar uma tartaruga
mas nunca chegará a alcançá-la porque,
quando atingir o lugar onde estava a
tartaruga, já ela lá não estará porque
entretanto se deslocou; e esta situação
repete-se indeterminadamente…
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Este raciocínio de Zenão, parecendo intocável, conduz uma conclusão que
a realidade mostra ser falsa. Confirmemos matematicamente essa
falsidade:
Suponhamos que Aquiles se desloca dez vezes mais depressa que a
tartaruga e que esta partiu com um avanço inicial de 100 metros.
A distância (em metros) a percorrer por Aquiles é, então:
100  10  1 
1
1

 ... 
10 100
n
 1
1  
100 1000
10
lim    100 

1
9
9
1
10
10
Por outro lado,
a tartaruga
percorre (em
metros):
10  1 
1
1

 ... 
10 100
n
 1
1  
10 100
10
lim    10 

1
9
9
1
10
10
100
conclui-se que Aquiles alcança a tartaruga
9
9
depois de percorridos 1000 metros.
9
Como 1000
é igual 100 
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Só o conceito de limite permite esclarecer (25 séculos mais tarde!...) os
paradoxos de Zenão cuja solução exige o cálculo da soma de todos os
termos de uma progressão geométrica.