FUNÇÃO
EXPONENCIAL
Função exponencial
Microbiologia.
de
uma
Em
colônia
condições
dobra
ideais
sempre
no
o
número
mesmo
de
período
bactérias
de
tempo.
A colônia gerada mantém as mesmas características da original e
também duplica em número no mesmo período de tempo. Sabendo
que determinada colônia, iniciada por uma única bactéria, dobra a
cada 20 minutos, quantas bactérias existirão depois de 2 horas e 40
minutos?
Esquematizando a situação, temos:
Quantidade de
períodos de 20 min
Número de
bactérias
0 min
0
20 = 1
20 min
1
21 = 2
40 min
2
22 = 4
60 min
3
23 = 8
..
.
..
.
..
.
Tempo
2h40 min
8
20x min
x
28
= 256
2x
Logo, após 2 horas e 40
minutos, haverá 256
bactérias. Após x períodos de
20 minutos, o número de
bactérias será dado por 2x.
Definição de função exponencial
Uma função f: ℝ  ℝ é chamada de função exponencial de base a
quando existe um número real a, com a > 0 e a ≠ 1, tal que f(x) = ax,
para todo x  ℝ.
Exemplos
a)
b)
c)
Observação
Além da função exponencial, existem funções que podem ser obtidas a
partir dela. Por exemplo:
f(x) = 32x + 1
g(x) = 5 ∙ 4x
h(x) = 2x – 1
Gráfico da função exponencial
f(x) = 2x
x
f(x)
–2
–1
0
1
1
2
2
4
D(f) =
3
8
Im(f) =
Gráfico da função exponencial
g(x) =
x
g(x)
–3
8
–2
4
–1
2
0
1
1
2
D(f) =
Im(f) =
Características da função exponencial
 Para qualquer função exponencial f(x) = ax, temos:
Domínio: D(f) =
Imagem: Im(f) =
 O gráfico de f intercepta o eixo y no ponto (0, 1) e não cruza nem
encosta no eixo x.
Crescimento e decrescimento da função exponencial
Função crescente (a > 1)
x2 > x1  f(x2) > f(x1)
Função decrescente
(0 < a < 1)
x2 > x1  f(x2) < f(x1)
Exercício resolvido
R1. Observe o gráfico da função f dada por f(x) = a ∙ 3–x + b e
determine os valores de a e b.
Resolução
Os pontos (–1, 1) e (0, –1) pertencem ao gráfico de f.
Para x = –1, temos: f(–1) = 1
Então: 1 = a ∙ 3–(–1) + b  1 = a ∙ 3 + b (I)
Para x = 0, temos: f(0) = –1
Então: –1 = a ∙ 3–(0) + b  –1 = a ∙ 1 + b (II)
Resolvendo o sistema formado por (I) e (II), obtemos
a = 1 e b = –2
Portanto, f(x) = 3–x – 2, ou seja: f(x) =
Equação exponencial
Toda equação que tem a incógnita no expoente é chamada de equação
exponencial.
Exemplos
a)
c)
b)
d)
Resolução de equações exponenciais
Algumas equações exponenciais podem ser resolvidas escrevendo-se
ambos os membros da igualdade como potências de mesma base a
(com a > 0 e a ≠ 1) e aplicando-se a propriedade:
Resolução de equações exponenciais
Exemplos
a) Vamos resolver a equação exponencial
.
Para isso seguimos alguns passos:
1o) Escrevemos ambos os membros da igualdade como potências de mesma base:
2o) Aplicamos a propriedade:
Portanto: S =
Resolução de equações exponenciais
Exemplos
b) Vamos resolver a equação exponencial (2x)x + 1 = 64.
2+x
(2x)x + 1 = 64  2x
= 26
Logo: x2 + x = 6  x2 + x – 6 = 0 
 x = 2 ou x = –3
Portanto: S =
Resolução de equações usando artifícios
Exemplos
a) Vamos resolver a equação 4x + 4 ∙ 2x = 5.
1o) Usando as propriedades da potenciação, fazemos uma transformação na equação para
identificar um termo comum: 4x + 4 ∙ 2x = 5  (22)x + 4 ∙ 2x – 5 = 0  (2x)2 + 4 ∙ 2x – 5 = 0
2o) Consideramos 2x = y e resolvemos a equação obtida:
y2 + 4y – 5 = 0  y = 1 ou y = –5
3o) Substituímos em 2x = y os valores encontrados: 2x = 1  2x = 20  x = 0
2x = –5 (não existe x real tal que 2x = –5)
Logo, o único valor de x que satisfaz a equação 4x + 4 ∙ 2x = 5 é
x = 0; portanto: S = {0}
ou
Resolução de equações usando artifícios
Exemplos
b) Agora, vamos resolver a equação exponencial 32x + 4 ∙ 3x – 3x + 1 = 0.
1o) Usando as propriedades da potenciação, temos:
32x + 4 ∙ 3x – 3x + 1 = 0  (3x)2 + 4 ∙ 3x – 3 ∙ 3x = 0
2o) Consideramos 3x = y:
y2 + 4y – 3y = 0  y2 + y = 0  y = 0 ou y = –1
3o) Substituímos em 3x = y os valores encontrados:
3x = 0 ou 3x = –1 (como 3x é sempre positivo, não existe x
real que satisfaça tais equações); portanto: S = 
Sistema de equações exponenciais
Exemplo
Vamos calcular x e y no sistema de equações:
1o) Desenvolvemos cada uma das equações:
2x ∙ 4y =
7x
+y
 2x ∙ (22)y = 2–1  2x + 2y = 2–1  x + 2y = –1 (I)
= 1  7x + y = 70  x + y = 0 (II)
2o) Consideramos, então, o sistema formado por (I) e (II):
3o) Como (I) e (II) são equações que decorrem das equações iniciais, a solução desse
sistema é solução do sistema original. Portanto, a solução do sistema é: S = {(1, –1)}
Exercício resolvido
1. Determine o ponto de intersecção dos gráficos das funções
e
Resolução
Para que os gráficos tenham um ponto em comum, deve existir um
valor de x de modo que as imagens desse valor pelas duas funções
coincidam, ou seja, f(x) = g(x). Assim:
 2–x – 1 = 22x + 2  –x – 1 = 2x + 2 
 3x = –3  x = –1. Logo, para x = –1, temos:
Portanto, o ponto de intersecção dos gráficos das funções f e g é (–1, 1).
Inequação exponencial
Toda inequação que tem a incógnita no expoente é chamada de
inequação exponencial.
Exemplos
a) 3 < 27
c)
b) 2–3 ≥ 5
d)
Resolução de inequações exponenciais
Exemplos
a) Vamos resolver a inequação exponencial 5x + 12 < 25
1o) Escrevemos ambos os membros da inequação como potências de
mesma base:
5x + 12 < 25  5x + 12 < 52
2o) Como a base é maior que 1, a relação de desigualdade entre as
potências se mantém entre os expoentes:
5x + 12 < 52  x + 12 < 2  x < –10
Portanto: S =
Resolução de inequações exponenciais
Exemplos
b) Agora, vamos determinar o conjunto solução da inequação
Portanto: S =
Note que, utilizando propriedades das potências, poderíamos também
trabalhar com uma inequação com base maior que 1:
Exercício resolvido
2. Resolva a inequação
.
Resolução
Resolvendo a equação do 2o grau
–x2 + 5x – 6 = 0, obtemos x = 2 ou x = 3
Então, para –x2 + 5x – 6  0,
temos o intervalo ao lado:
Portanto: S =
Exercício resolvido
3. Determinar o conjunto solução da inequação 2x < 23 < 22x .
Resolução
Quando a inequação tem mais de uma desigualdade,
analisamos cada uma separadamente:
2x < 23  x < 3 (I)
23 < 22x  3 < 2x  x >
(II)
As duas desigualdades devem ser simultaneamente satisfeitas:
e
.
Portanto: S =
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FUNÇÃO EXPONENCIAL