Lógica
Proposicional
Lógica Proposicional


Até agora estudamos a Lógica de maneira
informal.
A Lógica formal é o estudo de formas de
argumento, isto é, regras de raciocínio
comum em vários argumentos.
Formas de Argumento
Exemplos:
1.
. Hoje é segunda-feira ou sexta-feira.
. Hoje não é segunda-feira.
 Hoje é sexta-feira.
2.
. Rembrandt pintou a Mona Lisa ou Michelângelo
a pintou.
. Não foi Rembrandt quem a pintou.
 Michelângelo pintou a Mona Lisa.
3.
. Ele é menor de 18 anos ou é um irresponsável.
. Ele não é menor de 18 anos.
 Ele é um irresponsável.
Formas de Argumento

Os 3 argumentos são da seguinte forma:
. P ou Q
. Não é o caso que é P
Q

As letras P e Q representam sentenças
declarativas: (símbolos sentenciais).
P pode representar: Hoje é segunda-feira.
Q pode representar: Hoje é sexta-feira.
Formas de Argumento



Com essa representação para P e Q,
simbolizamos o argumento 1 do exemplo.
Os argumentos 1, 2 e 3 são variantes
gramaticais ou instâncias dessa mesma
forma.
Esta forma de argumento (ou regra) é
conhecida como silogismo disjuntivo.
Formas de Argumento

A lógica trata de formas de argumentos que
consistem de letras sentenciais combinadas
com as expressões:






Não é o caso que
E
Ou
Se ... Então
Se e somente se
negação
conjunção
disjunção
condicional
bicondicional
Essas expressões são chamadas de
operadores ou conectivos lógicos.
Formas de Argumento
Conectivo Não é o caso que

Essa epressão prefixa uma sentença para formar
uma nova sentença, a negação da primeira.
Exemplo: ‘Não é o caso que ele é fumante‘
é a negação da sentença
‘Ele é fumante'.

Variações gramaticais dessa negação:
´Ele é não-fumante’,
´Ele não é fumante’
´Ele não fuma’.
Formas de Argumento
Conectivo E

Uma composição constituindo-se de duas
sentenças ligadas por 'e' chama-se
conjunção.
Exemplo: Chove e faz calor

A conjunção também pode ser expressa por
palavras como: 'mas', 'todavia', 'embora',
'contudo', ...
Chove mas faz calor
Formas de Argumento
Conectivo Ou

Um enunciado composto consistindo de
duas sentenças ligadas por 'ou' chamase disjunção.
Exemplo: Chove ou faz calor
Formas de Argumento
Conectivo Se ... então



Enunciados do tipo se... então ... chamam-se
condicionais.
O enunciado subsequente ao 'se' chama-se o
antecedente e o subsequente ao 'então'
chama-se o conseqüente.
Forma do condicional:
Se antecedente então consequente
Ex: Se sinto frio então visto o casaco
Formas de Argumento
Conectivo Se ... então

Se antecedente então consequente



O antecedente é condição suficiente para
ocorrência do consequente
O consequente é condição necessária para
ocorrência do antecedente
Se o antecedente for verdadeiro, o
consequente também tem,
necessariamente que ser verdadeiro
Formas de Argumento
Conectivo Se ... então

Exemplo:
Se é Juiz então é advogado e aprovado na OAB

o fato de ser juiz é suficiente para ser advogado

para alguém ser juiz é necessário que seja advogado e
aprovado na OAB, mas não são suficientes

Além dessas condições, também é necessário ter dois
anos de experiência e ser aprovado em concurso

As quatro condições são necessárias para ser juiz. Neste
caso, as 4 condições são suficientes para ser um juiz.

Formas de Argumento
Conectivo Se ... então
Exemplo: Que condições são necessárias
para um aluno ser aprovado em lógica?

Se o aluno foi aprovado então
assistiu aula,
estudou,
fez muitos exercícios de lógica
teve um bom método de estudo
......
Formas de Argumento
Conectivo Se ... então

Exemplo:
Se tem fumaça tem fogo
ou
O fogo é uma condição necessária para a fumaça

Exemplo:
Se chover então molha a rua


é suficiente chover para você deduzir que a
rua fica molhada
o fato da rua ficar molhada não garante que
choveu
Formas de Argumento
Conectivo Se ... então

Uma proposição condicional também
pode ser expressa na ordem inversa.
Visto o casaco se sentir frio
mantém a semântica de
Se sentir frio, visto o casaco
Se sentir frio então visto o casaco
Formas de Argumento
Conectivo Se ... então

Variações gramaticais da condicional:







Se P então Q
P implica em Q; P, logo Q
P só se Q; P somente se Q
P apenas se Q; P só quando Q
Q se P ; Q segue de P
P é condição suficiente para Q
Q é condição necessária para P
Formas de Argumento
Conectivo Se e somente se

Os enunciados formados com a expressão
...se e somente se... são chamados
bicondicionais.
Exemplo:
T é um triângulo se e somente se T é um
polígono de três lados
Formas de Argumento
Conectivo Se e somente se






Um bicondicional pode ser considerado uma
conjunção de dois condicionais:
1.
2.
3.
4.
P se e somente se Q
P se Q e P somente se Q
Se Q então P e P somente se Q
Se Q então P e Se P então Q
que equivale a:
5. Se P então Q e Se Q então P
Formas de Argumento
Formalização


Para facilitar o reconhecimento e comparação
de formas de argumento, cada operador
lógico é representado por um símbolo:
 Não é o caso que: ~ ou ┐
 E: ^ ou &
 Ou: v
 Se ... então:

 Se e somente se:

Ordem de prioridade: ~ , ^, v,  , 
Formas de Argumento
Formalização

Com os símbolos lógicos e os símbolos sentenciais, o
Silogismo Disjuntivo é representado (simbolizado) na
Forma Padrão:
. PvQ
. ~P
 Q
Ou
{ P v Q , ~P} ├ Q
Formas de Argumento
Formalização
{ P v Q , ~P} ├ Q

O traço de asserção (afirmação), ├ ,
significa dizer que Q é deduzido
(provado) apenas dos enunciados
(premissas) P v Q e ~P.
Formas de Argumento
Formalização



A linguagem consistindo das letras
sentenciais e dos operadores lógicos
juntamente com as regras a serem
empregadas, chama-se a Lógica Proposicional
ou Cálculo Proposicional.
A palavra Cálculo é empregada no sentido de
avaliação ou raciocínio e não no sentido de
diferenciação ou integração
O objetivo fundamental do Cálculo/Lógica é
provar a validade de certas formas de
argumento.
Formas de Argumento
Formalização



Uma forma de argumento é válida se todas
as suas instâncias são válidas.
Uma forma de argumento é inválida se pelo
menos uma de suas instâncias é inválida.
Uma instância de uma forma de argumento
(um argumento particular) é válida somente
quando é impossível que a sua conclusão seja
falsa enquanto suas premissas são
verdadeiras. Caso contrário ela é inválida.
Formas de Argumento
Formalização

Mesmo para uma forma de argumento válida,
nem todas as instâncias são corretas.
Exemplo:
O argumento da Mona Lisa (exemplo 2) tem a
forma válida mas é incorreto
‘ Rembrandt pintou a Mona Lisa ou Michelângelo a
pintou’ é uma premissa Falsa.

O Silogismo disjuntivo é uma forma de
argumento válida, pois para qualquer instância
ocorre que: se as premissas forem verdadeiras,
a conclusão será verdadeira.
Formas de Argumento
Formalização


Observe a seguinte forma de argumento:
. Se P então Q.
. Q.
P
Ou: {P Q, Q} |-- P
Essa forma é inválida, pois a seguinte instância é
notoriamente inválida:
Se você está dançando na Lua então você está
vivo.
Você está vivo.
Você está dançando na Lua.
Formas de Argumento
Formalização

Exemplo de formalização: Simbolize o
argumento que segue e o represente na
Forma Padrão.
A proposta de auxílio está no correio. Se os
árbitros a receberem até sexta-feira, eles a
analisarão. Portanto, eles a analisarão porque
se a proposta estiver no correio, eles a
receberão até sexta-feira. (C, S, A)
Solução:

A proposta de auxílio está no correio. Se os
árbitros a receberem até sexta-feira, eles a
analisarão. Portanto, eles a analisarão porque
se a proposta estiver no correio, eles a
receberão até sexta-feira.
C: A proposta de auxílio está no correio.
S: Os árbitros recebem a proposta até Sexta-feira.
A: Os árbitros analisarão a proposta.
.
.
.
□
C
SA
CS
A
{C, SA, CS} |-- A
Formas de Argumento
1[A
proposta de auxílio está no correio]. 2[Se os
árbitros a receberem até sexta-feira, eles a
analisarão]. Portanto, 3[eles a analisarão]
porque 4[se a proposta estiver no correio,
eles a receberão até sexta-feira].
1+ 2 + 4

3
A Forma Padrão representa a estrutura do
argumento.
Fórmula bem formada – wff –
well-formed formula



Qualquer letra sentencial é uma wff.
Se Φ é uma wff, então
~Φ também o é.
Se Φ e Ψ são wff, então
(Φ &Ψ), (Φ v Ψ), (Φ Ψ), (Φ Ψ)
também o são.
Exercícios:
1) Quais das expressões seguintes são
fórmulas (wff's) e quais não são:
a) ~~~R
b) (~R)
c) PQ
d) ~(PQ)
e) ~(~P ^ ~Q)
Exercício:

Formalize os seguintes argumentos usando as
letras sentenciais indicadas. Utilize os indicadores
de inferência para facilitar.
a) Se Deus existe, então a vida tem significado.
Deus existe. Portanto, a vida tem significado.
(P,Q)
c) Como hoje não é Quinta-feira, deve ser Sextafeira. Hoje é Quinta-feira ou Sexta-feira. (Q,S)
d) Hoje é um fim de semana se somente se hoje
é Sábado ou Domingo. Portanto, hoje é um fim
de semana, desde que hoje é Sábado. (F,S,D)