MATEMÁTICA
PRÉ-VESTIBULAR
LIVRO DO PROFESSOR
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© 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do
detentor dos direitos autorais.
I229
IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. —
Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]
660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
CDD 370.71
Disciplinas
Autores
Língua Portuguesa
Literatura
Matemática
Física
Química
Biologia
História
Geografia
Francis Madeira da S. Sales
Márcio F. Santiago Calixto
Rita de Fátima Bezerra
Fábio D’Ávila
Danton Pedro dos Santos
Feres Fares
Haroldo Costa Silva Filho
Jayme Andrade Neto
Renato Caldas Madeira
Rodrigo Piracicaba Costa
Cleber Ribeiro
Marco Antonio Noronha
Vitor M. Saquette
Edson Costa P. da Cruz
Fernanda Barbosa
Fernando Pimentel
Hélio Apostolo
Rogério Fernandes
Jefferson dos Santos da Silva
Marcelo Piccinini
Rafael F. de Menezes
Rogério de Sousa Gonçalves
Vanessa Silva
Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio
Felipe Silveira de Souza
Fernando Mousquer
Produção
Projeto e
Desenvolvimento Pedagógico
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Funções
trigonométricas,
equações e
inequações
trigonométricas
AP + AP’ =
AP’ = – AP AP’ = – x
É imediato que:
sen x = sen( – x)
cos x = – cos( – x)
tg x = sen x = sen x ( – x) = – tg ( – x)
cos x
– cos x ( – x)
A redução ao 1.° quadrante facilita o aluno à
reflexão e ao estudo sobre os âgulos agudos, partindo
somente da variação nos sinais.
Redução do 2.° ao 1.°
quadrante
cotg x = – cotg( – x)
sec x = – sec( – x)
cossec x = cossec( – x)
``
Exemplos:
2
2
= sen ( – ) = sen = 3
3
3
3
2
2
2
–1
cos
= – cos ( – ) = – cos =
3
3
3
2
1
sen 150º = sen(180º –150º) = sen 30º =
2
cos 150º = – cos(180º –150º) = – cos 30º = – 3
2
sen
EM_V_MAT_025
Seja um arco AP = x, com
que:
2
< x < , observe
AP’ = PA’
AP’ + PA’ =
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1
Redução do 3.º ao 1.º
quadrante
sec x = sec (2 – x)
cossec x = – cossec (2 – x)
Fórmulas
de adição e diferença
Conhecidas as funções trigonométricas de dois
arcos de medidas a e b, vamos obter fórmulas para
calcular as funções trigonométricas da soma (a + b)
e da diferença (a – b).
Cosseno da soma
Seja um arco AP = x, tal que < x < 3 e P’ o
2
ponto do ciclo, simétrico de P em relação ao centro.
Temos:
AP – AP’ =
x–
É imediato que:
sen x = – sen(x – )
cos x = – cos(x – )
tg x = sen x = – sen x (x – ) = tg (x – )
cos x
– cos x (x – )
cotg x = cotg(x – )
sec x = – sec(x – )
cossec x = – cossec(x – )
Redução do 4.º ao 1.º
quadrante
No ciclo, construímos dois arcos AC e BD que
possuem a mesma medida, portanto, as cordas
AC e BD são iguais.
As coordenadas dos pontos A, B, C e D em relação ao sistema cartesiano mOn são: A(1; 0),
B(cos a; sen a), C(cos(a + b); sen(a + b) e
D[cos(–b); sen(–b)] = D(cos b; –sen b).
Aplicando a fórmula da distância entre dois
pontos da geometria analítica, temos:
d2AC = (xC– xA)2+(yC– yA)2 =
= [cos(a + b) – 1]2 + [sen(a + b) – 0]2
= cos2(a + b) – 2 cos(a + b) + 1 sen2 (a + b) =
= 2 – 2 cos(a + b)
2
AP + PA = 2
x + AP’ = 2
PA = AP’
É imediato que:
sen x = – sen (2 – x)
cos x = cos (2 – x)
tg x = – tg (2 – x)
cotg x = – cotg (2 – x)
AP’ = 2 – x
d2BD = (xD– xB)2+(yD– yB)2 =
= (cos b – cos a)2 + (–sen b – sen a)2 =
= cos2 – 2 cos a . cos b + cos2 a + sen2 b +
+ 2 sen a . sen b + sen2 a = 2 – 2 cos a . cos b +
+ 2 sen a . sen b
d AC = dBD ⇒ 2 – 2cos(a+b) = 2 – 2cos a . cos b
+ 2sen a . sen b
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EM_V_MAT_025
3
Seja o arco AP = x, tal que 2 < x < 2 e P’ o
ponto do ciclo, simétrico de P em relação ao eixo dos
cossenos. Temos:
Tangente da diferença
então, vem a fórmula:
cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b
Cosseno da diferença
Analogamente, temos:
tg(a – b) = tg a – tg b
1+ tg a . tgb
com a, b e (a – b) diferente de
cos(a – b) = cos[a + (–b)] =
= cos a . cos(–b) – sen a . sen(–b)
então:
π kπ
+
2
Arco duplo
cos (a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b
Cos 2a
cos 2a = cos(a + a) = cos a, cos a – sen a . sen a
Seno da soma
então: cos 2a = cos2a – sen2a
sen(a + b) = cos[ π – (a + b)] =
2
π
cos[( – a)] = cos ( π – a) . cos b +
2
2
π
– a) . sen b
+ sen (
2
então:
Sen 2a
sen 2a = sen (a + a) = sen a . cos a + sen a .
cos a
então: sen 2a = 2 sen a . cos a
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
Seno da diferença
tg 2a = tg(a+a) = tg a + tg a
1– tg a . tg a
então:
Analogamente, temos:
sen (a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a
Tangente da soma
Desenvolvendo, encontramos:
tg(a+b) = tg a+tg b
1– tg a . tgb
EM_V_MAT_025
tg 2a = 2 tg a2
1 – tg a
Transformação em produto
tg(a+b) = sen(a+b)
cos(a+b)
a, b e (a+b) devem ser diferentes de
Tg 2a
π + kπ
2
O objetivo é transformar uma soma algébrica de
funções trigonométricas de arcos em um produto de
funções trigonométricas dos mesmos arcos.
Vimos que:
cos (a + b) = cos a . cos b – sen a . sen b (I)
cos (a – b) = cos a . cos b + sen a . sen b (II)
sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a (III)
sen (a – b) = sen a . cos b – sen b . cos a (IV)
Somando ou subtraindo, temos:
(I) + (II) cos (a + b) + cos (a – b) =
2 cos a . cos b
(I) – (II) cos (a + b) – cos (a – b) =
– 2sen a . sen b
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3
(III) + (IV)sen (a + b) + sen (a – b) =
2 sen a . cos b
(III) – (IV) sen (a + b) – sen (a – b) =
2 sen b . cos a
Fazendo-se:
a = p+q
2
a+b=p ⇒
a–b=q
b=p–q
2
Função seno
Definição
Substituindo, obtemos:
cos p + cos q = 2 cos
p + q . cos p – q
2
2
cos p – cos q = – 2 sen
p + q . sen p – q
2
2
sen p + sen q = 2 sen
p + q . cos p – q
2
2
sen p – sen q = 2 sen
p – q . cos p + q
2
2
Quadrantes
Consideremos um ciclo trigonométrico de origem A e os eixos m e n que dividem a circunferência
em quatro arcos: AB, BA, A’B’ e B’A. Dado um arco AP
ou ângulo central AÔP (AP = AÔP = x), temos:
Consideremos um arco AP = x e seja N a projeção ortogonal de P sobre o eixo (n) dos senos.
Por definição, chama-se seno do arco AP a medida algébrica do segmento ON .
sen x =
ON
OP
ON
1
sen x =ON
Observe que a um arco AP qualquer de determinação x corresponde a um único segmento ON, cuja
medida algébrica representaremos por y.
Portanto, podemos definir uma função de R em
R, tal que a cada x associa um y = sen x = ON .
Variação da função seno
4
AB
BA’
A’B’
B’A
x
sen x
x = 0º
sen x = 0
0º < x < 90º
sen x > 0
x = 90º
sen x = 0
90º < x < 180º
sen x > 0
x = 180º
sen x = 0
180º < x < 270º
sen x < 0
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EM_V_MAT_025
x está no 1.º quadrante ⇔ P
x está no 2.º quadrante ⇔ P
x está no 3.º quadrante ⇔ P
x está no 4.º quadrante ⇔ P
x = 270º
sen x = –1
270º < x < 360º
sen x < 0
x = 36º
sen x = 0
Função cosseno
Definição
1
Observe que o ponto P, numa volta completa no
ciclo trigonométrico, faz o valor do seno (ON ) variar
entre –1 e +1. A cada volta esse comportamento se
repete. A função seno é uma função periódica e seu
período é 2π.
Consideremos um arco AP = x e seja M a projeção ortogonal de P sobre o eixo (m) dos cossenos.
Por definição, chama-se cosseno do arco AP a
medida algébrica de OM .
Gráfico
Variação da função cosseno
Propriedades
a)A função seno (y – sen x) é periódica e seu
período é 2π.
b)A função y = sen x é ímpar [sen(–x) = – sen x].
c) A função y = sen x é crescente no 1.º e 4.º
quadrantes e decrescentes no 2.º e 3.º quadrantes.
d)Sinais
x
sen x
x = 0º
cos x = 1
0º < x < 90º
cos x > 0
x = 90º
cos x = 0
90º < x < 180º
cos x < 0
x = 180º
cos x = –1
180º < x < 270º
cos x < 0
x = 270º
cos x = 0
270º < x < 360º
cos x > 0
x = 360º
cos x = 1
e)D(f) = R
EM_V_MAT_025
Observe que o ponto P, numa volta completa no
ciclo trigonométrico, faz o valor do seno (OM ) variar
entre –1 e +1. A cada volta esse comportamento se
repete. A função cosseno é uma função periódica e
seu período é 2π.
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5
Variação da função tangente
Propriedades
180º < x < 270º
a)A função cosseno (y = cos x) é periódica e
seu período é 2π.
b)A função y = cos x é par [cos(–x) = cos x].
c) É crescente no 3.º e 4.º quadrantes e decrescentes no 1.º e 2.º quadrantes.
d)Sinais
e)D(f) = R
Função tangente
Gráfico
Definição
Dado um arco AP = x, com x real e x = 90º + k .
180º (k ∈ Z). Consideremos a reta 2OP e seja T a interseção com das tangentes (t). Denominamos tangente
de AP a medida algébrica do segmento AT.
Propriedades
a)A função tangente é periódica e seu período é
π. De fato, a cada meia volta verificamos que
os valores da função y = tg x se repetem.
b)A função y = tg x é ímpar [tg(–x) = – tg x].
tg x = AT tg x = AT
1
c) A função y = tg x é crescente quando x percorre qualquer um dos quatro quadrantes.
De forma análoga,
teremos: y = tg x (função tangente)
6
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EM_V_MAT_025
OA = R = 1
AT
tg x =
OA
``
d)Sinais
Exemplos:
a) cos x = cos 45º
x = 45º + 360º . k ou x = 315º + 360º . k; k Z
b) cos x = cos 2
3
x = 2 2k ou x = 4 + 2k ; k Z
3
3
c) cos x = –1
e)D(f) = {x ∈ R/x ≠ π + kπ, k ∈ Z}
2
cos x = cos 180º
x = 180º + 360º . k, k Z
Equações trigonométricas
Na resolução de uma equação (ou inequação)
trigonométrica é importante saber:
sen
sen
= + 2k
ou,
k Z
= ( – ) + 2k
tg
``
``
+k ,k Z
Exemplos:
a) sen x = sen 60º
cos
tg x = tg 135º
x = 135º + 180 . k; k Z
c) tg x = tg
c) sen x = 1
2
sen x = sen 30º
x = 30º + 360º . k ou x = 150º + 360º . k; k Z
= cos
= + 2k
k Z
ou,
= (2 – ) + 2k
x = 30º + 180º . k, k Z
b) tg x = –1
x = 60º + 360º . k ou x = 120º + 360 . k; k Z
b) sen x = sen 5
3
x = 5 +2k ou x = – 2 + 2k ; k Z
3
3
EM_V_MAT_025
{ =
a) tg x = tg 30º
Exemplos:
= tg
Como tg
2
2
não existe, não existe x.
Inequações trigonométricas
Nas inequações trigonométricas, devemos
achar o intervalo satisfatório.
``
Exemplos:
Ache as soluções das inequações para x [0, 2 ].
a) sen x 1
2
sen 30o
sen x
sen 150o
S = [30º, 150º]
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7
c) – 3
2
d) 0
2
e)
3
``
Solução: D
sen (25 + ) – sen (88 – ) =
sen ( + ) – sen (2 – ) =
b) cos x < – 1
2
cos 120o
cos x <
cos 240o
S = ]120º, 240º[
– sen
– (– sen ) =
– sen
+ sen
=0
2. Para x = 3 , determine o valor da expressão:
cos sec (2 + x)
E=
cotg x + 2 . sec x + 2
``
Solução:
1
sen (2p + x)
E=
1
tg x + p
2
tg x 1
tg x
S=
tg 225°
4 2
cos x + p
2
1
sen x + p
2
tg 45°
,
1
1
sen x
E=
c)
.
5 ,3
4 2
sen x + p
2
E=
sen x
E=
3
2
1
2
=
=
cos x
sen x
3
1
3. O seno de um dos ângulos de um losango é igual a ,
2
portanto a tangente do maior ângulo interno é:
1
, então o valor de sen (25 + ) –
3
sen (88 – ) é:
1
a) –
3
1
b)
3
1. Se sen
8
=
b) – 3
2
c) – 3
3
3
d) 3
e) 3
2
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EM_V_MAT_025
a) –1
``
Solução: C
6. Calcular y = sen2 24º – sen2 6º, dado sen 18º = 5 – 1.
4
``
Solução:
sen2 24º – sen2 6º = (sen 24º+sen 6º)(sen 24º – sen 6º) =
2.sen 30° . cos 18°
2
2
2.sen 18° . cos 30° =
2
2
2 . sen 15º . cos 9º . 2 . sen 9º . cos 15º =
2 . sen 15º . cos 15º . 2 . sen 9º . cos 9º =
sen 30º . sen 18º =
1
Se sen = e + = 180º
2
= 180º – (θ > )
sen
1 . 5–1= 5–1
2
4
8
7.
= sen (180º – )
sen = sen
1
= sen
2
sen2 + cos2 = 1
b) 3
c) 2
1 2
+ cos2 = 1 cos =
2
como >
tg = – 3
3
4. Simplifique a expressão:
sen(a+b) – sen(a – b)
cos(a+b) – cos(a – b)
``
e) 5
``
Solução:
Como –1 ≤ cos x ≤ 1 temos
y=5.1+3 → y=4
2
1 + tg x
8. Obter o domínio da função: f(x) =
.
sen 2x
``
Solução:
sen a cos b + sen b cos a - sen a cos b+sen b cos a
cos a cos b – sen a sen b – cos a cos b – sen a sen b
tg x ≠ 0
Dom . 
sen 2 x ≠ 0
2 . sen b . cos a = – cos a = – cot g a
–2 . sen a . sen b
sen a
tg x ≠ 0 → x ≠
– sen2
cos 2 = 2 cos2 – 1
2
cos2 = 1 + cos
2
1
+
cos2
cos = ±
2
2
cos 22,5° = + 1+ 2
2
cos 22,5° =
π
+ kπ , k ∈ Z
2
sen 2 x ≠ 0 → 2 x ≠ kπ , k ∈ Z → x ≠ k
Dom . = { x ∈R / x ≠ k
Solução:
cos 2 = cos2
EM_V_MAT_025
d) 6
3,
2
Solução:
sen a cos b + sen b cos a – (sen a cos b – sen b cos a)
cos a cos b – sen a sen b – (cos a cos b + sen a sen b)
5. Calcule cos 22º 30’.
``
5 cos x + 3
O valor máximo assumido por y =
é igual a:
2
a) 4
2
2
π
,k ∈Z}
2
π
,k ∈Z
2
9. Um professor de eletricidade mostrou para seus alunos
um dispositivo eletrônico que transforma as correntes
alternadas em um único polo e o seu gráfico fica parecido
com o da função
f( x ) = 2 +
sen x
2
Esboce o gráfico desta função.
2
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9
``
``
Solução:
f '( x ) = 2 +
sen x
2
f( x ) = 2 +
sen x
2
Solução:
A roda rotaciona 120º ou 240º.
10. O número de raízes da equação sen x + cos x = 0, no
intervalo [0, 2 ], é:
a) 0
b) 1
a) cos 60o
c) 2
b) – sen 60o
d) 3
c) cos 30o
e) 4
d) – sen 30o
Solução:
e) cos 45o
sen x + cos x = 0
sen x = – cos x
sen x
= –1 ⇒ tg x = –1 . S = 3 , 7
cos x
4 4
O número de soluções serão duas.
11. Determine o conjunto solução da inequação sen x . cos
x > 0, para x [0, 2 ].
``
a) − 3 − 1
b) − 3 + 1
S = 0,
2
,3
2
12. Pedro foi ao parque e observou que a roda gigante
tinha 2m de raio e o ponto mais baixo fica a 1m do solo.
Considerando a roda gigante como um círculo trigonométrico e o ponto mais baixo como início, quantos
graus a roda gigante rotaciona para uma pessoa atingir
a altura exata de 4m?
3 +1
c)
Solução:
Serão os quadrantes onde sen x e cos x possuam o
mesmo sinal.
10
2. (Cescea-SP) O valor da expressão
cos 150o + sen 300o – tg 225o – cos 90o é:
d)
− 3−3
2
3. (Uberlândia) Simplificando-se a expressão:
2cos
86 π
3
− 3 tg
11π
4
, obtém-se:
a) –4
b) −2 3
c) 2
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EM_V_MAT_025
``
1. (PUC-SP) O valor de sen 1 200o é igual a:
a) sen α < sen
d) 1 + 3
e) 4
π 
4. (UFF) cos ( x + π ) + sen  + x  − tg ( − x ) + cot gx , em
2 
que 0 < x <
a)
2
π
2
< sen α < sen 2α
c) sen α < sen 2α < sen
π
3
9. (PUC) Se sen x =
tgx
a)
b)
5. (Unificado) Se x é um ângulo agudo, tg(90° + x) é
igual a:
a) tg x
c) – tg x
d) – cotg x
e) 1+ tg x
6. Sendo dado que:
sen (180° − x ) ⋅ cos (90° − x )
tg (360° − x ) ⋅ cos (180° + x )
=
3
o
3
< sen α
3
5
π
3
, um possível valor de sen 2x é:
5
6
5
5
12
2
a) demonstre as identidades:
. Tem-se neces-
1) cos (2 θ ) = 2 cos θ − 1
2
3
2) cos ( 3 θ ) = 4 cos θ − 3 cos θ
sariamente:
a) cos x =
c)
4
π
d) 24
25
12
e)
13
10. (UERJ) Lembrando que cos (a + b) = cos a . cos b – sen a
. sen b sen (a + b) = sen a . cos b + sen b cos a
b) cotg x
11. Sabendo-se que x − y = 60°, assinale a alternativa que corresponde ao valor da expressão
1
2
(cos x + cos y )2 + (sen x + sen y )2
a) 1
c) 90° < x < 180°
d) tgx = − 3
b)
1
e) x = 45O
2
c) 2
Para todo x real, podemos afirmar que:
d) 3
( )
b) cos x = + cos (π − x )
a) cos x = − cos π + x
(
c) cos x = − sen π 2 − x
(
d) − cos x = cos 2π − x
EM_V_MAT_025
< sen 2α
e) sen 2α < sen α < sen
x
e) x cotg x
7.
3
d) sen 2α < sen
c) 2 cos 2x
b) x = 60
π
3
, é equivalente a:
sen 2 x
b) x
d)
b) sen
π
(
e) cos x = sen 2π + x
)
8. (Fuvest) Sendo sen α =
)
e)
a)
10
, com 0 < α <
2
1
25π
,
12. (Unificado) Considerando-se sen x = . sen
2
6
o valor de cos 2x será:
)
9
3
π
2
, tem-se:
b)
7
8
5
8
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11
c)
d)
e)
b)
3
y
8
2
3
1
4
0
-1
13. (PUC) Os ângulos agudos a e b são tais que tg a =
b) 30°
1
1
3
1
. O ângulo a + b é igual a:
2
1
2
d) 60°
15. O domínio máximo da função dada por


f x = sec  2 x −
x ∈R | x ≠
b) x ∈ R | x ≠
x ∈R | x =
d) x ∈ R | x =
π/2
2π
3π/2
x
x ∈R | x ≠
π
2

3
12
5π
12
6
π
6
é o conjunto:
3
}
2
+k
+k
+k
+k
}
}
}
}
π
2
π
2
π
2
π
2
, onde k ∈Ζ
1
0
π/2
π
3π/2
2π
x
17. (Rural) Analise o gráfico abaixo:
f(x)
2
, onde k ∈Ζ
π
0
, onde k ∈Ζ
, onde k ∈Ζ
a)
y
3
2π 3π 4π
x
-2
[
]
A função f : 0, 4π → R que pode ter como gráfico o
desenho acima é f ( x ) igual a:
( )
b) 4 sen (3 x )
c) −3 sen (2 x )
a) −2 sen 2 x
 x
d) −2 sen  
 2
2
1
π/2
π
3π/2 2π
x
 x
 2 
e) 2 sen 
EM_V_MAT_025
0
e)
+ kπ , onde k ∈Ζ
5π
π
-3
Y
π
16. (Unificado) Assinale o gráfico que representa a função
real definida por y = 2 − sen x.
12
π
x
-2
14. (UFRJ) Seja x tal que sen x + cos x = 1. Determine todos
os valores possíveis para sen2x + cos2x.
e)
2π
-1
e) 90°
c)
π 3π/2
d)
y
{
{
{
{
{
π/2
0
-1
0
a)
x
y
c) 45°
()
π/2
c)
2
a) arctg
2π
-2
1
e tg b =
π 3π/2
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18. Construa o gráfico da função
nida por
 3π 
f: −
 2 , 4 → R,
1, se 0 ≤ x ≤ 4

f (x ) = 
3π
cos x , se − 2 ≤ x < 0
defi-
19. (PUC) Seja f ( x ) = x . cos ( πx ) função definida em
2
() ( )
R. Então, f 2 − f −2 vale:
22. (Unirio) O conjunto-solução da equação sen x = cos x ,
sendo 0 ≤ x < 2π, é:
a)
b)
c)
a) 16
b) 8
d)
c) 4
d) 2
e)
e) 0
20. A função que melhor se adapta ao gráfico é:
2
1
π
2
0
π
3π
2
x
2π
x
2
c) y = 1 + sen x
d) y = sen x + cos x
21. (Unificado) Se cos 2 x =
b)
c)
d)
EM_V_MAT_025
e)
5
3
5π
4
π 4π
,
3 3
π 5π
,
4 4
23. (U F RJ) Resolva a equação para x
1
24. (Unirio) O conjunto-solução da equação cos 2 x = ,
onde x é um arco da 1.ª volta positiva, é dado por: 2
{60°, 300°}
b) {30°, 300°}
c) {30°, 150°}
d) {30°, 150°, 210°, 330°}
e) {15°, 165°, 195°, 345°}
1
4
(
2
2
, então tg x é igual a:
26. (UCBA) Se θ ∈
quais cos θ =
a) m >
5
c) −1 < m <
5
1
8
3
2
3
e) m >
3m − 1
4
os valores reais de m, para os
, são tais que:
3
b) m < 3
d) −
π 
 2 ; π  ,
1
8
3
)
2
m = sen x − cos x + 2 cos x + m = 2,
5
8
[0,2p]:
25. (UFF) Determine o valor do número real m na equação
e) y = 1 + sen 2 x
a)
π
a)
a) y = 1 + sen x
3
4
sen x . tg x . sec x = cos x . cot g x . cos sec x .
y
b) y = cos
{}
{}
{}
{ }
{ }
π
1
3
<m<1
5
3
ou m < − 1
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13
( ) + sen (180 + x ) + sec (90 + x )
sen – x
cos sec (– x )
cos (270 – x )
o
o
cos 90 + x
o
o
1. (Unirio) O valor numérico da expressão
sen
π
4
sec 1200
 tg

o
750
b) – 1
9π  
5π 

 cos sec  +  cot g 
6
4
o
a) cos x
2
2
c) 1
d) 0
e) 3
(3 + 2 )
5. Simplificando a expressão:
6
(3 + 2 )
b) −
y=
6
c)
(3 − 2 )
(3 − 2 )
A=
a +1
a −1
com x ≠
π
2
a) A = -1
d) 0
)
(
π 
−x
 2 
)
+ kπ , k ∈ Z , então:
b) 2A = 1
e) 1 + a2
(
)
(
c) 2A + 1 = 0
)
3. (Cesgranrio) O valor de cos 29π 4 + tg 16 π 3 é:
d) 4A + 5 = 0
e) 5A – 4 = 0
3− 2
7.
2
3+ 2
b) 2º
−3 2 − 2 3
c) 3º
6
d) 4º
e) n.d.a.
1 - a2
e) + 3 +
(UEPG) O quadrante em que a tangente, a co-tangente,
a secante e o cosseno são negativos é o:
a) 1º
2
1 + a2
(
7 cos 5π − x − 3 cos 3π + x
8 sen 
c) a
o
o
o
o
8. Sendo A = cos 12 + cos 25 + cos 38 + K + cos 168 .
Calcular o valor de 1 + 2A.
2
2
4. Simplificando a expressão:
14
)
6. (Unificado) Sendo
2
a) 1 + a
1 - a2
d)
(
e) y =1
o
tg205 - tg115
c)
)
d) y = cos x
6
2. Dados: tg 25o = a e m =
, o valor de
o
o
tg245 + tg335
m é:
b)
(
cos π 2 + x ⋅ cos π − x
)
c) y = sen x
o
a)
(
b) y = cotg x
e) 0
b)
)
a) y = tg x
6
d) −
(
sen 3π 2 + x ⋅ sen 3π 2 + x
9. (Fuvest) No quadrilátero ABCD onde os ângulos B e D
são retos e os lados têm as medidas indicadas, o valor
de sen  é:
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EM_V_MAT_025
a)
o
+ cos 240
13. (PUC) A soma das soluções de sen 2x = cos x contidas
B
2x
A
C
2x
a)
b)
c)
d)
e)
[
D
5
2 5
4
c)
5
e)
5
2
M
N
B
A
11. (UFF) Sendo k ∈ Z , n ∈ N * e x ∈ R , a expressão
n
( sen x + cos x )2 − sen (2x )

 é equivalente a:
[ ( )]
n
b) [cos (2kπ + π )]
a) sen 2kπ
n
2
7π
b)
( )
π 
 
sen  2kπ + 2  


n
( )
e) sen nkπ
12. (UFF) Se Mˆ , Nˆ e Pˆ são ângulos internos de um triângulo
não-retângulo, pode-se afirmar que tgMˆ + tgNˆ + tgPˆ
é:
a) –1
c)
d)
1− 2
2
1+ 2
2
2+ 2
2
2− 2
e) 1
2
15. Simplificando-se y = cos 80° + cos 40° − cos 20°,
obtém-se:
a) 0
b) sen 20°
c) cos nkπ
c) 1
1
d)
2
e) -1
16. (UFRRJ) Em um triângulo ABC, cujos ângulos são
designados por A, B e C supõe-se que:
π
2 tg A = tg B + tg C e 0 < A < . A relação que vale
2
neste triângulo é:
a) tg B . tg C = 3
( )
cos (B − C) = 2 sec A
b) cos B + C = 2 cos A
c)
1
ˆ + tgNˆ + tgPˆ
tgM
d) tgMˆ . tgNˆ . tgPˆ
EM_V_MAT_025
a)
C
D
c)
5π
2
2
14. O valor de ( sen 22, 5° + cos 22, 5° ) é:
5
1
b) 0
3π
d) 3π
2
10. (Cesgranrio) No retângulo ABCD da figura AB = 5,
BC = 3 e CM = MN = NB. Determine tg MÂN.
d)
a)
2
b) 2π
x
5
]
no intervalo fechado 0, 2π é:
x
e) tgMˆ . tgNˆ + tgPˆ
d) tg B . tg C = tg 3
e) tg B . tg C = tg A
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15
y
2
b) 1
c) 2
-1
-1,2
5
2
x
e)
e) 4
2,5
2
18. (UERJ) Considere a função real, de variável real x,
definida por f ( x ) = 1 − sen x + cos x, x ∈ [0, 2π ] .
Utilizando esses dados, responda aos itens A e B.
1,5
y
2
1
a) Calcule f (π) .
b) Esboce o gráfico cartesiano e f.
19. (Unirio) Assinale o gráfico que melhor representa a
função real definida por y = cos x − 1.
3,7
4,3
4,9
5,5
6,3
0
0,5
0
1,8
2,4
3,14
d)
0,2
0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
0
1
0,6
1,2
a)
d)
1,8
2,4
3,14
3,7
4,3
4,9
5,5
6,3
)
0,6
1,2
(
17. (Fuvest) O valor de tg10° + cot g10° sen 20° é:
x
20. (Fuvest) A figura abaixo mostra parte do gráfico da
função
a)
2
1
2π
1,8
2,4
3,14
3,7
4,3
4,9
5,5
6,3
0
y
0
-0,5
0,6
1,2
0,5
-2
a) sen x
-1
-1,5
x
b)
b) 2 sen x
c) 2 sen
1,8
2,4
3,14
3,7
4,3
4,9
5,5
6,3
0,6
1,2
0
1
0,5
x
2
d) 2 sen 2x
e) sen 2x
y
-1
-1,5
21. (UFF) A figura abaixo representa parte do gráfico das
funções y = sen x e y = cos x .
-2
-2,5
x
y
c)
1,8
2,4
3,14
3,7
4,3
4,9
5,5
6,3
0,2
−2π
0,6
1,2
0
y
P
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
4π
x
− 3π
2
R
−π
π
−
Q
2
π
2
π
x
Sobre os pontos P, Q e R são feitas as afirmações:
I) O ponto P(x, y) é tal, que x é um arco do 2.º quadrante.
II) O ponto Q(x, y) é tal, que x é um arco do 3.º quadrante.
Destas afirmações, é(são) verdadeira(s) apenas a(s)
de número(s):
a) I
16
b) II
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EM_V_MAT_025
III) O ponto R(x, y) pertende à reta y = x.
c) III
d) I e II
e) II e III
22. (UERJ) O aluno que estudar Cálculo poderá provar
com facilidade que a área da superfície plana limitada
pelos gráficos de f(x) = sen x e f(x) = 0, no intervalo
π
0 ≤ x ≤ , como ilustra o gráfico abaixo, é igual a 1.
2
a) π
π
b)
2
π
c)
3
π
d)
4
y
e)
Área = 1
1
x
π
2
0
A partir dessa informação, pode-se concluir que a área
limitada pelos gráficos de f(x) = cos x e f(x) = 0, no
−π
3π
intervalo
≤x≤
, é:
2
2
a) 0
π
6
1
2
2
25. (PUC) Resolva a equação sen x − cos x = .
2
1
π
26. (Cesgranrio) Se 0 < x < , a equação sen = 0 :
x
2
a) tem uma infinidade de soluções.
b) não tem solução.
c) tem somente uma solução.
b) 3
d) tem exatamente quatro soluções.
c) 4
e) tem um número finito, maior do que quatro, de soluções.
d) 5
27. (Unicamp) Ache todos os valores de x, no intervalo
e) 6
23. (Unirio) Considerando que o movimento de um
determinado pêndulo é definido pela equação
π
π
x = 3 cos  t +  , em que x é a posição da mas2
6
sa do pêndulo (em m) no instante t (em s) em relação à
posição de equilíbrio (x = 0) e convencionando o deslocamento à direita como positivo, e negativo à esquerda,
como mostra a figura, determine:
[0, 2π] , para os quais sen x + cos x =
28. D e t e r m i n e o s v a l o re s d e x ∈[0, π ]
4 cos x = 3 sec x
(
2+ 3
.
2
tais que
)
29. Resolvendo a equação cos sen θ = 1, obtém-se:
a) θ = 0
π
2
c) θ = kπ, k ∈ Ζ
b) θ =
d) θ = 2kπ, k ∈ Ζ
(
)
e) θ = 2k + 1 π, k ∈ Ζ
x<0
x=0
x>0
a) o gráfico do deslocamento em função do tempo,
equivalente a um período completo da função.
b) a distância máxima do corpo à posição de equilíbrio.
c) o período do pêndulo.
d) a posição do corpo em t = 1s.
EM_V_MAT_025
24. (Unirio) O menor valor real e positivo de x tal que
4
− senx
=
1
2
30. (Cesgranrio) Das equações abaixo, aquela que tem
maior número de raízes no intervalo 0 ≤ x ≤ 106 é:
3
a) sen x = 0
2
b) sen x = 0
c) sen x = 0
1
d) sen x 2 = 0
e) sen
é:
3
x =0
31. (Unirio) Obtenha o conjunto solução da inequação
sen2 x = 0, 5, sendo 0 ≤ x < 2π.
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17
32. (U FF) Determine o(s) valor(es) de x ∈ IR que
2
satisfaz(em) a desigualdade: cos x ≥ 2 ( sen x + 1)
33. No intervalo 0 < x < 2π, a equação trigonométrica:
sen9 x + sen8 x + sen7 x + ... + sen x + 1 = 0 :
a) Não tem solução
b) Tem uma solução
c) Tem duas soluções
d) Tem três soluções
e) Tem infinitas soluções
34. (Unicamp) Encontre todas as soluções o sistema:
sen (x + y ) = 0
que satisfazem

sen (x − y ) = 0
18
EM_V_MAT_025
0 ≤ x ≤ π e 0 ≤ y ≤ π.
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16. E
17. D
1. C
18.
2. A
1
3. C
4. A
5. D
- π 1 2 3 4
2
6. A
19. E
7.
A
20. A
8. D
21. A
9. D
22. E
10. Demonstração.
 π 3π 5π 7 π 
23. S =  , , , 
4 4 4 4 
24. D
11. D
12. A
13. C
EM_V_MAT_025
−π
- 3π
2
14. -1 e 1
25. 1
26. C
15. E
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19
24. E
25. x = k
π π
± ,k ∈ z
2 6
1. B
26. A
2. A
 π π 7π 4π 
27.  6 , 3 , 6 , 3 


3. D
5. B
 π 5π 
28. S =  , 
6 6 
29. C
6. C
30. A
7.
 π 3π 5π 7 π 
31. A solução da equação é  , , , 
4 4 4 4 
4
k
+
3


π,, k ∈ Z
32. 
 2 
33. B
4. E
B
8. 2
9. C
5
27
11. D
10.

π π 




34. (0, 0) , (0, π ) , ( π, 0) , ( π, π ) ,  ,  
2 2
12. D
13. D
14. C
15. A
16. A
17. C
18.
a) Zero
2
b)
0
π
2 π
3π
2 2π
19. D
20. C
21. B
22. C
23. A
3
3 3
2
5
3
8
3
11
3
14
3
EM_V_MAT_025
9
3
-3
20
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