Monitoramento e Controle
Ambiental
Programa de Pós-Graduação em Meio
Ambiente (PPG-MA) - UERJ
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© Oscar Luiz Monteiro de Farias
1
Estatística e Geoestatística
no
Monitoramento Ambiental
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2
Métodos Estatísticos...
• Métodos Estatísticos são necessários em MA porque em
geral não é possível caracterizar-se uma situação pela
observação direta.
• Amostragem – método para obtenção de informações
sobre parâmetros de interesse em localizações ou
instantes de tempo específicos.
• Alternativa à obtenção de informações sobre os
parâmetros em todo o universo.
• O uso de métodos estatísticos permite, a partir de
informações parciais, inferir informações sobre o todo.
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3
Métodos Estatísticos...
• Conjunto de dados univariável (univariate data set)
• Conjunto de dados multivariável (multivariate data set)
Ex.: quando se deseja analisar a concentração de
vários contaminantes diferentes em uma dada área.
• O conjunto de dados denomina-se amostra.
Ele pode ser visto como um subconjunto dos valores
possíveis que poderiam ser gerados caso coletássemos
informações em todo o universo (área total, no caso).
• Referimo-nos ao conjunto de todos os valores possíveis
como população.
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4
Métodos Estatísticos...
• Estatística Descritiva ou Exploratória – é usada
para descrever as características básicas dos
dados em estudo.
• consiste em computar uma ou mais estatísticas
resumo para uma amostra.
• A estatística resumo é um número único que
caracteriza um conjunto de dados de algum
modo.
• Freqüentemente inclui um ou mais gráficos.
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5
Métodos Estatísticos...
• Estatística Inferencial – neste casos usa-se o conjunto
de dados (sample data set) para se inferir algo sobre a
população.
• É uma boa prática se considerar a estatística descritiva
ou exploratória, antes de se considerar a estatística
inferencial.
• Métodos estatísticos espaciais – incluem informações
relacionadas à localização física da amostra.
• Em problemas ambientais pode ser necessário o uso de
métodos estatísticos espaço-temporais, em que, além
das coordenadas espaciais é essencial o registro das
coordenadas temporais.
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6
Métodos Estatísticos...
• Em avaliação e MA o objetivo não se limita em
caracterizar um local, mas em usar a informação
para a tomada de decisões.
• Tomar decisões sempre incorpora algum grau
de risco (p. ex. o risco de se tomar a decisão
errada).
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Amostras e população...
• Uma amostra é um conjunto de observações
individuais obtidas no processo de amostragem.
• Cada observação pode representar múltiplos aspectos
de informação, como, p.ex., a concentração de um ou
mais contaminantes.
• Este conjunto de números é chamado de dados (data).
• Antes da coleta dos dados é necessário considerar a sua
quantidade e o local de onde serão extraídos, bem
como o método de monitoramento utilizado.
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8
Amostras e população...
• Facilidade de acesso, tecnologia disponível, custos
associados à coleta física das amostras e à posterior
análise de laboratório podem limitar ou restringir a
quantidade e a qualidade da informação obtida no
processo de amostragem.
• Isto pode afetar a confiabilidade das conclusões
fundamentadas na análise estatística dos dados.
• É sempre importante saber-se de antemão como os
dados serão utilizados (quais as questões que serão
respondidas e quão confiáveis as respostas deverão
ser), antes da coleta de qualquer dado.
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Amostras e população...




Considere, p. ex., a concentração de um elemento
químico X em um terreno ...
Existe uma concentração de X (dada por um valor
numérico) em cada ponto do terreno, mas este
conjunto (de números) não é diretamente observável
(são incontáveis).
Esse conjunto de números é denominado população.
Se escolhermos um número p de pontos para mensurar
a concentração de X, teremos p valores (p → tamanho
da amostra; o conjunto de medidas → amostra)
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Amostras e população...
• A validade das conclusões fundamentadas no
uso de métodos estatísticos depende da criteriosa
observação de algumas premissas. P.ex. Amostra
Randômica (Random Sampling) – significa que a
seleção de uma amostra é conduzida de tal forma
que qualquer subconjunto (com tamanho fixo de
amostra = n) da população tem igual
probabilidade de ser selecionado.
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Suporte da Amostra...
• Os valores dos dados freqüentemente
representam propriedades associadas a um dado
volume de matéria ou a uma determinada área.
Este volume ou área é denominado suporte da
amostra.
• P.ex. a porosidade de um solo é determinada
pela relação poros/volume. Poros grandes e
fraturas de solo em rochas não podem ser
detectados em núcleos de solo com suporte de
pequeno volume.
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Suporte da Amostra...
• A condutividade hidráulica e concentrações
químicas são valores médios em um dado
volume. Este volume monitorado é o suporte da
amostra.
• Em sensoriamento remoto o suporte da amostra
é o tamanho da área real que é representado em
um pixel.
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Variáveis Randômicas...
• Considere todos os valores possíveis para a
concentração de um dado contaminante nas
diversas localizações de uma região.
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Variáveis Randômicas...
• Se não existe informação sobre estes valores
para a região em questão, pode-se somente
especificar um domínio de valores possíveis.
• Até que uma localização específica na região
seja escolhida não temos um número único, mas
uma população de valores. O conceito de
variável randômica ajuda a lidar com a
incerteza.
• Ex. dado de 6 faces não viciado.
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Variáveis Randômicas...
• Uma variável randômica é caracterizada por
duas coisas:
i) o conjunto de valores possíveis de serem
assumidos pela variável;
ii) o conjunto de probabilidades de ocorrência
de cada um desses valores
(distribuição de probabilidade).
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Variáveis Randômicas...
• Uma variável randômica é discreta quando, ao
se plotar os seus possíveis valores ao longo da
reta real, sempre existe um espaço entre dois
pontos consecutivos.
• Uma variável randômica é contínua quando o
conjunto de possíveis valores é um intervalo ou
a união de vários intervalos.
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Variáveis Randômicas...
• Em algumas aplicações os atributos são
mensurados sem considerar a localização. Uma
população alvo é identificada e amostras
sistemáticas ou randômicas são coletadas.
• Em outras aplicações é útil se considerar a
localização. Por exemplo, se adicionalmente aos
parâmetros (e.g. renda) relativos a uma
população de famílias, um dos objetivos é
estudar o padrão espacial da distribuição da
renda.
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Distribuição de freqüência
• Freqüência é o número de vezes que um valor
especificado ocorre em uma amostra ou
população finita.
• Freqüência relativa é a freqüência dividida pelo
tamanho da amostra (população).
• A freqüência relativa é uma estimativa da
probabilidade de ocorrência de um evento dado.
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Distribuição de freqüência
• Considere um estacionamento com 100 carros
(população). Destes, 30 são vermelhos, 40 brancos e
30 de outras cores. A probabilidade de que uma
amostra contenha carros vermelhos será de 0.3;
brancos, 0.4 e de outras cores, 0.3.
• Em ciências ambientais conhece-se os valores de
parâmetros para uma amostra, mas não para a
população.
• Pode-se, todavia, representar a população através de
uma variável randômica que pode seguir
aproximadamente um modelo de distribuição de
probabilidade discreto conhecido.
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20
Distribuição de probabilidade...
• Dada uma amostra, se computarmos as
freqüências relativas para cada valor possível
assumido pela variável randômica, teremos uma
estimativa da distribuição de probabilidade da
variável randômica.
• Para variáveis randômicas discretas pode-se
construir um gráfico de barras, com a abcissa
mostrando os valores da variável[x] e a
coordenada, as freqüências relativas[f(x)].
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21
Distribuição de probabilidade...
O conjunto de pares ordenados (x, f(x)) é uma função
probabilidade ou distribuição de probabilidade da variável
randômica discreta X, se para cada possível valor X=x,
i ) f ( x)≥ 0
ii) ∑ f ( x)= 1
x
iii ) P ( X=x )=f ( x )
Exemplos de distribuições discretas
http://www.analyzemath.com/statistics/discrete_pro_distribution.html
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Distribuição Cumulativa
• A distribuição cumulativa F(x) de uma variável
randômica discreta X com distribuição de
probabilidade f(x) é dada por:
F ( x )=P ( X ≤ x )= ∑ f (t ) ,para− ∞ <x<∞
t≤ x
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23
Análise Combinatorial (i)
Fonte:
http://www.campusitabaiana.ufs.br/matematica/attachments/267_Matem%C3%
A1tica%20Discreta%20Aula%203.pdf




Arranjos, Permutações e Combinações
Arranjo: Considere n objetos e p locais disponíveis para
guardá-los, sendo exatamente 1 objeto em cada local = arranjo
de n objetos tomados p a p = Apn.
Permutação: Quando o número de objetos for igual ao número
de locais disponíveis (n=p).
Combinação: Quando a ordem de escolha dos objetos não for
importante = Cpn.
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24
Análise Combinatorial (ii)
1
…
2
1
2
…
…
i
j
…
p-1
n-1
n
p
Apn = n(n − 1)(n − 2). . .(n − (p − 1)) =
[n(n − 1)(n − 2). . .(n − (p − 1)) (n-p)!]/(n-p)!=n!/(np)!
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25
Análise Combinatorial (iii)

Exemplo 1: Considerando os dígitos 1,2,3,4,5, quantos
números de 2 algarismos distintos podem ser formados?
Apn = n!/(n-p)! = 5!/(5-2)!=5x4=2

Exemplo 2: Considere os algarismos 1,2,3,4,5. Quantos
números distintos, superiores a 100 e inferiores a 1000,
podemos formar se: (a) o número é par?; (b) o número é
ímpar? (c) o número é par ou ímpar?
Números entre 100 e 1000 possuem três dígitos, e
portanto, temos 3 posições a serem preenchidas. Para que
o número seja par, a última posição deve ser um algarismo
par, caso contrário o número será ímpar.
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26
Análise Combinatorial (iv)
(a) Se o número é par, a última posição L3 pode ser
preenchida com 2 ou 4. Há, portanto, 2 maneiras de
preencher a posição L3. Tomemos, por exemplo, o
algarismo 2. Então para preenchermos as posições L1
e L2 temos os algarismos 1,3,4,5, isto é, um arranjo de
4 tomados 2 a 2. Logo, existem 2.A24 maneiras
diferentes de preencher as 3 posições, isto é, 2. 4!/2! =
2.4.3 = 24 números pares maiores do que 100 e
menores do que 1000 formados com os algarismos
1,2,3,4 e 5.
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27
Análise Combinatorial (v)
(b) Já se o número é ímpar, a posição P3 pode ser preenchida com 1,3 ou
5. Então, existem 3 maneiras de preencher L3. Digamos que tomamos
o algarismo 1. Então restam os algarismos 2,3,4,5 para preenhcer as
posições L1 e L2, novamente um arranjo A24 = 12. Assim, existem
3.A24 maneiras diferentes de preencher as 3 posições, isto é, 36
números ímpares maiores do que 100 e menores do que 1000,
formados com os algarismos 1,2,3,4 e 5.
(c) Podemos somar a resposta do item (a) e (b) para obtermos 60 ou
então pensarmos que a quantidade de números superiores a 100 e
inferiores a 1000 que podem ser formados com os algarismos 1,2,3,4
e 5 é simplesmente o arranjo de 5 tomados 3 a 3, isto é,
A35=5!/(5−3)!= 5.4.3 = 60.
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28
Análise Combinatorial (vi)

Arranjos com Repetição: Caso sejam
permitidas repetições de elementos, podemos na
posição L1 escolher n elementos, na posição L2
também n elementos, e assim sucessivamente
até a posição Lp. Logo, o número de arranjos
com repetição de n elementos tomados p a p,
denotado por ARpn = np.
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29
Análise Combinatorial (vii)

Exemplo: Qual o total de placas de carro que podem
ser construídas constando de 7 símbolos, sendo os 3
primeiros constituídos por letras e os 4 últimos por
dígitos?
Considerando-se o alfabeto com 26 letras, podemos
escolher os 3 primeiros símbolos de AR326 maneiras
diferentes e os 4 últimos de AR410. Logo, pelo
princípio do produto, temos um total de AR326.AR410 =
263.104, isto é, podem ser construídas 175.760.000
placas.
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Análise Combinatorial (viii)


Uma permutação simples de n objetos é qualquer
agrupamento ordenado desses objetos. Assim, uma
permutação de n objetos é um arranjo de n objetos
tomados n a n. Denotando o número de permutações
de n objetos por Pn, segue que Pn = Ann = n!/(n−n)!=n!
Exemplo: Quantas são as maneiras de 6 carros serem
estacionados em 6 vagas?
É o arranjo de 6 carros tomados 6 a 6, ou seja, uma
permutação de 6 carros. Assim, o número de maneiras
é P6 = 6! = 720.
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31
Análise Combinatorial (ix)

De quantas maneiras 12 moças e 12 rapazes
podem formar pares para uma dança?
A primeira moça tem 12 possibilidades para
escolher um par. A segunda, 11, e assim
sucessivamente de modo que a 12a terá apenas
1 escolha. Assim, pelo princípio multiplicativo,
existem P12 = 12! = 479.001.600 maneiras
desses pares serem formados.
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32
Análise Combinatorial (x)

Combinações Simples: Se temos n elementos e
desejamos escolher p deles, mas a ordem com o
que fazemos tais escolhas não for importante,
dizemos que queremos a combinação simples
de n elementos tomados p a p. Usamos a
notação Cpn para designar a combinação de n
elementos tomados p a p. Claramente Apn =
PpCpn, ou seja, Cpn=n!/(n-p)!p!=(pn)
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33
Análise Combinatorial (xi)

Exemplo: Quantos subconjuntos de 3 elementos possui um
conjunto A de 5 elementos?
Como a ordem dos elementos no conjunto não importa,
basta tomarmos a combinação C35 = 5!/(5-3)!3! = 10.

Exemplo: Quantos triângulos diferentes podem ser
traçados utilizando-se 14 pontos de um plano, não havendo
3 pontos alinhados?
Como não há 3 pontos alinhados, basta escolhermos 3
pontos dentre os 14 para traçarmos um triângulo, não
importando a ordem. Então, podemos traçar C314 = 14!/143)!. 3! =14.13.2 = 364 diferentes triângulos.
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34
Algumas distribuições discretas







Uniforme - exemplo
Bernouilli - exemplo
Binomial - exemplo
Geometric - exemplo
Hypergeometric - exemplo
Poisson - exemplo
Negative Binomial - exemplo
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35
Exemplos de Binomial (i)

Example: The probability that a student is accepted to a prestigious college
is .3. If 5 students from the same school apply, what is the probability that at
most 2 are accepted?
Solution: To solve this problem, we compute 3 individual probabilities, using
the binomial formula. The sum of all these probabilities is the answer we
seek. Thus,
b(x <= 2; 5, 0.3) = b(x = 0; 5, 0.3) + b(x = 1; 5, 0.3) + b(x = 2; 5, 0.3)
b(x < =2; 5, 0.3) = 0.1681 + 0.3601 + 0.3087
b(x <= 2; 5, 0.3) = 0.8369
Fonte: http://stattrek.com/probability-distributions/binomial.aspx
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36
Exemplos de Binomial (ii)

i is the observed number of successes

n is the number of trials

p is the probability of success for each trial

q =1- p, is the probability of fail for each trail
Suppose a treatment is successful 75% of the time (probability of
success = .75). This treatment is used in 4 patients (n = 4). What is
the probability of seeing 2 successes in these 4 patients? Let X
represent the number of successful treatments. Thus,
Pr(X = 2) = C24 (.75)2 (.25)4−2 = (6)(.5625)(.0625) = .2109.
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37
Exemplos de Binomial (ii)
i is the observed number of successes
n is the number of trials
p is the probability of success for each trial
q=1−p
Suppose a treatment is successful 75% of the time
(probability of success = .75). This treatment is used in 4
patients (n = 4). What is the probability of seeing 2
successes in these 4 patients? Let X
represent the number of successful treatments. Thus, Pr(X =
2) = C24 (.75)2 (.25)4−2 = (6)(.5625)(.0625) = .2109.
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38
Distribuição de probabilidade...
• Para variáveis randômicas contínuas grupa-se
os membros da população dentro de classes ou
intervalos de valores para o atributo em estudo.
Para se obter a freqüência relativa, o número de
vezes em que o valor do atributo cai dentro de
um intervalo é dividido pelo tamanho da
amostra. Cada freqüência relativa é dividida
pelo tamanho do intervalo, fornecendo um valor
f(y). O gráfico “valor do atributo x f(y)” fornece
um histograma.
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39
Distribuição de probabilidade...
• Histogramas podem ser construídos para
amostras e populações de tamanho finito, mas
não para populações de tamanho infinito.
• Em particular, não é possível se construir
histogramas para variáveis randômicas
contínuas ou para variáveis randômicas
discretas que podem assumir um número
infinito de valores possíveis.
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40
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41
A) Histograma da freqüência medida; B) distribuição cumulativa da freqüência – para os
dados de argila da tabela anterior. A linha contínua é a curva teórica baseada em uma
distribuição normal com a mesma média e variância estimada a partir dos dados.
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42
Função densidade de probabilidade (fdp)...
• Pode ser pensada como a versão contínua de um
histograma.
• A função f(x) é uma fdp (probability density function pdf) para a variável randômica contínua X, definida
sobre o conjunto dos números reais R, se
i ) f ( x )≥ 0, ∀ x ∈ ℜ
∞
ii ) ∫
−∞
f ( x ) dx= 1
b
iii ) P (a<x<b)= ∫ f ( x )dx
a
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43
Função densidade de probabilidade...
• A maioria das variáveis randômicas possuem
duas características numéricas importantes: i) a
média (); ii) a variância (2).
 = Square root (2) é o desvio padrão.
• A média () é também chamada de valor
esperado (expected value) - E(X) - da variável
randômica X. Pode ser pensada como o ponto
de equilíbrio do gráfico de uma fdp.
• A variância indica o quanto os valores possíveis
estão dispersos relativamente à média.
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44
Média ou Valor Esperado...
• Seja X uma variável randômica com
distribuição de probabilidade f(x). A média ou
valor esperado de X é:
μ=E( X )= ∑ xf ( x)
se X é discreta,
x
∞
μ=E( X )= ∫ xf ( x)dx
se X é contínua.
−∞
Média ponderada pela probabilidade f(x) dos possíveis valores de
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45
Variância
A variância de X, denotada por Var(X) ou
simplesmente Var X, ou 2 , é a média ponderada
pela probabilidade f(x) dos quadrados dos valores
dos desvios de X de E(X) = µ, i.e.,
Var X = E(X – µ)2 = Var(X)=2=E(X-E(X))2
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46
Média ou Valor Esperado...
Quando um dado é lançado, cada uma das faces
1, 2, 3, 4, 5, 6 ( xi's) tem a probabilidade 1/6
(p(xi)'s) de ocorrer. O valor esperado da face é:
µ = E(X) = (1 x 1/6) + (2 x 1/6) + (3 x 1/6) + (4 x
1/6) + (5 x 1/6) + (6 x 1/6) = 3.5
Neste caso, E(X) é 3.5, que não é um valor
possível para X.
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47
Média ou Valor Esperado...
• Exemplo: Considere um lote contendo 7 componentes, dos
quais 4 estão em bom estado e três apresentam defeitos. Uma
amostra de três componentes é selecionada por um inspetor.
Encontre o valor esperado do número de componentes em bom
estado encontrados na amostra.
• Solução: Seja X o número de componentes em bom estado na
amostra. A distribuição de probabilidade de X é dada por
( )( )( )
4
3
7
f (x)= . / ,x=0,1,2,3.
x 3− x 3
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48
Média ou Valor Esperado...
daí, segue-se que: f(0)=1/35; f(1)=12/35;
f(2)=18/35; f(3)=4/35; Portanto,
µ=E(X)=(0).(1/35)+(1).(12/35)+(2).(18/35)+
(3).(4/35)=12/7=1.7
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49
Média ou Valor Esperado...
• Seja X uma variável randômica com
distribuição de probabilidade f(x). A média ou
valor esperado da variável randômica g(X) é:
μ g ( X ) =E [ g( X )]= ∑ g( x ) f ( x)
se X é discreta, e
x
∞
μ g( X ) =E[ g( X )]= ∫ g( x ) f ( x)dx
se X é contínua.
−∞
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50
Cumulative density function (cdf)
12
x
F ( x)= ∫ f ( y)dy
10
−∞
8
Column 1
Column 2
Column 3
6
4
2
0
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Row 1
Row 2
Row 3
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Row 4
51
Cumulative density function (cdf)
c
P( x≤ c )=F ( c)= ∫ f ( y) dy
−∞
P ( x 1 ≤ x≤ x 2 )=F ( x 2 )− F ( x 1 )
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52
Cumulative density function (cdf)
• A distribuição cumulativa ou função de
densidade cumulativa F(x) de uma variável
randômica contínua X com função de densidade
de probabilidade f(x) é dada por:
x
F ( x)=P ( X ≤ x )= ∫ f (t )dt, para− ∞ <x<∞
−∞
P (a≤ ¿x≤ b)=F (b)− F ( a)
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Algumas distribuições contínuas



Normal (curva de Gauss, Gaussiana ou bell
curve)
T de Student
Chi squared
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54
Fdp – curva normal (curva de Gauss)
Fonte: http://www.comfsm.fm/~dleeling/statistics/normal_curve.gif
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55
Características da curva normal



Simétrica, em forma de sino
Contínua, assim, qualquer intervalo [a, b]
pertencente aos números Reais possui uma
probabilidade diferente de zero.
Dois parâmetros: µ e Tem-se, na realidade,
uma família de distribuições, com a forma de
cada distribuição determinada por µ e 
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56
Fdp – curva normal (de Gauss)
N(y,0,1)
• Onde  é a média da população e  é o desvio
padrão da população.
• Variações na média deslocam a curva para a esquerda
ou para a direita.
• Variações no desvio padrão achatam ou espicham a
curva.
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57
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58
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59
UERJ –
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60
Utilidade da curva normal


Muitas coisas são normalmente distribuídas, ou
muito próximas a isto. Ex.: altura, peso e
inteligência; erros de medidas.
Há uma forte conexão entre o tamanho da
amostra N e o grau pelo qual a distribuição da
amostra se aproxima da forma normal. Para N
grande (>=30) várias distribuições de amostras
podem ser aproximadas por uma curva normal.
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61
Curva normal...
• A distribuição de amostragem da média da amostra é
aproximadamente normal, ainda que a distribuição da
população da qual a amostra é coletada não seja
normal.
• A distribuição normal maximiza a entropia da
informação entre todas as distribuições com média e
variância conhecida, o que a torna a escolha natural
para a distribuição de dados sumarizados em termos da
média e variância da amostra.
• Na teoria da probabilidade a distribuição normal
aparece como a distribuição limite de várias famílias
de distribuição (discretas e contínuas).
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62
Uso da tabela normal
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63
Distribuição Normal...
x
P ( x 1 <=X<=x 2 )= ∫
2
x1
x
2
1
− ( 1/ 2 )[ ( x− μ )/ σ ]
n( x,μ,σ ) dx=
e
dx
∫
σ√
2π x
2
1
• Fazendo a seguinte transformação de
coordenadas:
X − μ , teremos:
Z=
σ
x
2
1
− ( 1/2 )[( x− μ )/σ ]
P ( x 1 <=X<=x 2 )=
e
dx
∫
σ√
2π x
2
1
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64
Distribuição Normal
z
2
1
− ( 1/2 ) z
P ( z 1 <=Z<=z 2 )=
e
dz
∫
2π z
√
2
1
z
2
P ( z 1 <=Z<=z 2 )= ∫ n( z;0,1 ) dz
z1
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65
Exemplo 1
• Dada uma distribuição normal com µ=50 e =10,
encontre a probabilidade de que X assuma valores
entre 45 e 62.
• Solução: Z=(X-µ)/ . Assim, os valores z
correspondentes a 45 e 62 são:
z1=(45-50)/10=-0.5 e z2=(62-50)/10=1.2
P(45<=X<=62) = P(-0.5<=z<=1.2) =
P(z<=1.2)- P(z<=-0.5) = 0.8849-0.3085=0.5764.
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66
Exemplo 2
• Dada uma distribuição normal com µ=40 e =6,
encontre o valor de x tal que: a) 45% da área
esteja à esquerda; b) 14% da área esteja à direita.
• Solução: P(z<=z*)=0.45. Da tabela normal seguese que z*=-0.13. Daí X = *z +µ = 6 *(-0.13)+40
X=39.22
P(z>z´)=0.14 e P(z<z´)=0.86 e z´=1.08
X = *z +µ = 6 *(1.08)+40 = 46.48
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67
Exemplo 3
• Um certo tipo de bateria dura em média 3.0 anos, com
um desvio padrão de 0.5 anos. Assumindo que o tempo
de vida das baterias tenha uma distribuição normal,
encontre a probabilidade de que uma dada bateria dure
menos que 2.3 anos.
• Solução: Devemos encontrar P(X<2.3); Isto se
consegue através da transformada Z=(X-µ)/
Z=(2.3-3)/0.5=-1.4
P(X<2.3)=P(Z<-1.4)=0.0808.
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69
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70
Distribuição log-normal...
• Em alguns casos os histogramas exibem forte
assimetria. Tal fato é comum no estudo de
concentrações químicas e em outros atributos.
• Contudo a distribuição pode tornar-se próxima
da normal quando se aplica a transformação Ln
(natural log) à variável randômica não-normal
X, i.e., Y = Ln X.
• Diz-se que a variável X tem uma distribuição
log-normal.
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71
Distribuição log-normal...
μ=exp( μ y +0. 5σ y )
2
σ 2 = exp(2μ y +σ y )[ exp( σ y )− 1]
2
2
A exponencial da média aritmética do dado log
transformado Ln z é a média geométrica:
G=
√∏
n
n
i=1
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n
1
x i = exp [ ∑ ln x i ]
n i=1
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72
Exemplo
A tabela a seguir fornece 60 valores de concentração de
chumbo no solo (z). Os valores são plotados na fig.A e
estendem-se por um amplo domínio. Um histograma
(fig.B), construído usando-se intervalos de classe de 20
(mg/Kg) mostra uma preponderância de pequenos valores
nas classes 0-20, 20-40 e 40-60. Contudo existem valores
maior que 100 e pelo menos dois deles superiores a 250.
Fazendo-se y = ln z (fig. C) os valores mostram-se mais
uniformemente distribuídos, como se nota pelo histograma
da transformada (fig. D). Isto não significa
necessariamente que a distribuição é log-normal. Mas
testes seriam necessários para comprovar isto.
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77
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78
Variância x suporte da amostra
• Quanto menor o suporte da amostra observa-se
que a variância assume valores maiores.
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79
Curva normal...
• A importância da distribuição normal como um
modelo de fenômenos quantitativos nas ciências
naturais e comportamentais deve-se ao teorema
do limite central:
• Se X é a média de uma amostra randômica de
tamanho n coletada de uma população com
média  e variância finita 2, então a forma
limite da distribuição de
X− μ
quando n

Z=
σ/ √n
é uma distribuição normal padrão n(z,0,1).
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80
Tamanhos de amostra e intervalos de
confidência
• Uma variável randômica normal é completamente
caracterizada quando são conhecidas as suas média (µ )
e variância ().
• Uma questão comum em MA e amostragem é: qual o
tamanho da amostra para se estimar adequadamente
estes dois parâmetros?
• O tamanho da amostra ou número de localizações (n)
necessários para estimar a média depende da tolerância
ou erro d que estejamos dispostos a admitir na
estimativa e também no grau de confidência de que o
erro seja realmente menor do que d.
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81
Distribuição de amostragem
• A distribuição de probabilidade de uma estatística é denominada
uma distribuição de amostragem (sampling distribution).
• A distribuição de probabilidade de X é chamada distribuição de
amostragem da média.
• A distribuição de amostragem de X com tamanho de amostra n é
a distribuição que resulta quando um experimento é conduzido
inúmeras vezes (sempre com tamanho de amostra n) e os diversos
valores de X resultam .
• Esta distribuição de amostragem descreve a variabilidade das
médias das amostras em torno da média da população μ.
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82
A Propriedade reprodutiva
• Teorema: Se X1, X2, ......, Xn são variáveis randômicas
independentes tendo distribuição normal com médias
μ1, μ2, ......, μn e variâncias σ1, σ2, ...... σn ,
respectivamente, então a variável randômica
Y=a1 X 1 +a 2 X 2 +...+a n X n
tem uma distribuição normal com média
μY =a1 μ1+a 2 μ2+.....+a n μn
e variância
2 2
2 2
2 2
σ Y =a 1 σ 1 +a 2 σ 2 +.. .. . +an σ n
2
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83
Distribuição de amostragem das médias
• Supor que uma amostra randômica com n observações é
selecionada de uma população normal com média μ e variância
σ2. Cada observação Xi, i=1,2,...,n, da amostra randômica terá a
mesma distribuição normal da população que está sendo
amostrada. Pelo teorema anterior...
X 1 +X 2 +. .. +X n
μ+μ+. . .+μ
X=
, mas μ X =
=μ
n
n
2
2
2
2
σ
+σ
+..
.
+σ
σ
σ 2X =
=
n
n
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84
i) Variância da pop. é conhecida
• Deseja-se estimar a média (µ) de uma variável
randômica normal assumindo-se que o desvio
padrão () é conhecido.
• Pode-se mostrar que a média da amostra é
também normalmente distribuída ( X =µ) e a
2
variância da amostra
σ
σx =
n
2
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85
Distribuição de amostragem
• A distribuição de probabilidade de uma estatística é denominada
uma distribuição de amostragem (sampling distribution).
• A distribuição de probabilidade de X é chamada distribuição de
amostragem da média.
• A distribuição de amostragem de X com tamanho de amostra n é
a distribuição que resulta quando um experimento é conduzido
inúmeras vezes (sempre com tamanho de amostra n) e os diversos
valores de X resultam .
• Esta distribuição de amostragem descreve a variabilidade das
médias das amostras em torno da média da população μ.
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86
Usando o teorema do limite central, onde
X− μ
Z=
σ/ √n
X− μ
teremos: P (− z α ≤
≤ z α )= 1− α
σ /√
n
2
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2
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87
P ( μ− z α σ / √
n≤ X ≤ μ+z α σ / √
n )= 1− α (I)
2
Onde
2
P ( z≤ z α /2 )= 1− α/2
Mas, pode-se reescrever (I) como:
P ( X − zα σ / √
n≤ μ≤ X +z α σ / √
n)= 1− α
2
2
(II)
O que representa um intervalo de confiança (1-)*100%
para .
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88
Exemplo 3.3
• Suponha que uma amostra randômica de tamanho 16
foi selecionada a partir de uma população com
distribuição normal e que a média da amostra seja
igual a 22.4. Assuma que o desvio padrão da população
-  - é 3.2. Deseja-se obter intervalos de confidência de
95% e de 99% para a média (desconhecida) µ.
• Solução: Neste caso pode-se usar a eq. (II), pois o
desvio padrão é conhecido. 1-=0.95. Logo =0.05 e
/2=0.025. A partir de uma tabela normal encontra-se
z0.025=1.96.
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89
Exemplo 3.3
Assim o intervalo de confidência de 95%
corresponde a:
22.4 – (1.96*3.2)/4<µ< 22.4 + (1.96*3.2)/4 ou
22.4 -1.568 <µ< 22.4 + 1.568
• Para o intervalo de confidência de 99%:
1-=0.99, logo =0.01 e /2=0.005.
A partir de uma tabela normal tem-se:
22.4 – (2.576*3.2)/4<µ< 22.4 + (2.576*3.2)/4
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90
Agora seja o erro tolerável d=
z α /2 σ 2
]
Ou ainda, n= [
d
z α /2 σ
√n
Assim, para um dado nível de confiança e uma dada
tolerância d, pode-se prever o tamanho da amostra.
Note que os cálculos para computar o intervalo de
confiança e o tamanho da amostra dependem de duas
premissas importantes: i) a variável randômica seja
normal; ii) o desvio padrão seja conhecido.
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91
Exemplo 3.4
• Suponha que se deseje obter intervalos de confidência
de 95% e 99% para a média de uma população
uniformemente distribuída, em que o desvio padrão da
população é 3.2. Desejando-se o máxima tolerância
d=0.75, qual deverá ser o tamanho da amostra?
2
z α /2 σ 2
1 . 96∗ 3. 2
n≥
= 69 . 93 Logo n=70
n≥ [
]
0 . 75
d
[
[
]
]
2
2 .57∗ 3 . 2
n≥
= 120. 23
0 . 75
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Logo n=121
92
Algumas conclusões
• I) Se o tamanho da amostra é fixo (e o desvio padrão
da população - - é conhecido), então quanto maior o
nível de confidência, maior será o intervalo de
confidência.
• II) Dada a informação (média da amostra, tamanho da
amostra e desvio padrão da população), existe um
intervalo de confidência para cada escolha do nível de
confidência.
• III) Um maior nível de confidência corresponde a uma
amostra de tamanho maior, permanecendo constantes
as demais condições.
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93
Uso da distribuição t de Student
• Na equação (II) nem sempre a média e o desvio
padrão são conhecidos.
• Após a coleta de dados, então um intervalo
similar ao da equação (II) pode ser calculado:
P( X −
st α
2,n − 1
n
√
≤ μ≤ X +
st α
2,n − 1
n
√
)= 1− α (III)
Onde t/2,n-1 é obtido a partir de uma t-table ou função
spreadsheet. t/2,n-1 se aproxima de z/2, à medida que
n cresce. [t/2,n-1 > z/2].
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94
Porque usar a t de Student
Se X1, X2, …, Xi, …, Xn, é uma amostra
randômica de N(µ, σ),
X 1 +X 2 +. .. +X n
X=
,
n
S2=(Xi-X)2/(n-1),
Então a distribuição de t = (X – µ)/S/√n
é chamada de distribuição t de Student com
n-1 graus de liberdade .
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95
Exemplo 3.5
• Suponha que uma amostra randômica de tamanho 16
foi selecionada a partir de uma população com
distribuição normal e que a média da amostra seja 22.4
e o desvio padrão da amostra 3.2. Deseja-se obter
intervalos de confidência de 95% e 99% para a média
da população.
• Solução: Neste caso usa-se a t-table ao invés da tabela
normal, pois o desvio padrão da população não é
conhecido. 1-=0.95, logo =0.05 e /2=0.025.
t0.025,15= 2.131
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96
Exemplo 3.5
22.4 – (2.131*3.2)/4<µ< 22.4 + (2.131*3.2)/4
Para 1-=0.99, logo =0.01 e /2=0.005
t0.005,15= 2.947, resultando em:
22.4 – (2.947*3.2)/4<µ< 22.4 + (2.947*3.2)/4
• Nota-se que o intervalo de confidência 99% é maior
que o intervalo de confidência 95%, mas cada um
destes dois é maior do que as suas contrapartes,
quando o desvio padrão  da população é conhecido.
• Quando o tamanho da amostra é maior ou igual a 30,
os valores da t-table aproximam-se dos valores na
tabela normal.
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97
Exemplo 3.6
• Em aplicações reais, o desvio padrão da população
pode não ser conhecido e, mesmo assim, deseja-se
prever o tamanho da amostra para um dado nível de
confidência para a média da população, i.e., deseja-se
fixar o nível de confidência e a tolerância.
• O problema deve ser resolvido em vários passos.
 define-se um tamanho de amostra baseado em outras
considerações, tais como custo da amostragem,
facilidade da amostragem, etc.)
Seleciona-se a amostra e computa-se o seu desvio
padrão - s -.
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98
Exemplo 3.6
Usa-se s como se fosse o desvio padrão da população e
computa-se o tamanho da amostra.
Se o valor projetado para o novo tamanho da amostra é
maior que o tamanho da amostra anterior, deve-se
coletar uma nova amostra (cuidado! em geral não se
pode adicionar novas observações à amostra anterior;
tal procedimento não resultaria em uma amostra
randômica).
Continua-se o processo descrito em  até que o novo
tamanho projetado da amostra seja próximo ao
tamanho da amostra anterior.
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99
Exemplo 3.6
Usa-se, então, a média da última amostra
coletada e o desvio padrão desta última
amostra, juntamente com valor (n-1) da t-table,
para gerar-se o desejado intervalo de
confidência.
 Não há garantia alguma de que este processo
páre rapidamente.
 Conclusão: estimar o desvio padrão  é mais
complexo que estimar-se a média µ.
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100
Exemplo 3.7
• A partir dos dados da tabela 3.1 (percentuais de argila),
encontramos a média da amostra = 35.3 e o desvio padrão da
amostra = 6.38. O tamanho da amostra é n=36. Os níveis de
confidência são especificados em 95% e 99%.
Para 1-=0.95, logo =0.05 e /2=0.025.
t0.025, 35=2.030 e assim o intervalo de confidência é:
35.3 – (2.030*6.38)/6<µ< 35.3 + (2.030* 6.38)/6
35.3-2.158 ≤µ≤35.3+2.158
Para 1-=0.99, logo =0.01 e /2=0.005
t0.005,35= 2.738, resultando em:
35.3 – (2.738*6.38)/6<µ< 35.3 + (2.738* 6.38)/6
35.3 – 2.911 ≤ µ ≤ 35.3 + 2.911
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101
Exemplo 3.7+
• Pode-se pensar que estes intervalos de confidência são
muito largos (elevada tolerância) e deseja-se obter mais
amostras. Qual deveria ser o tamanho da amostra para se
obter uma tolerância de 0.8, com um nível de confidência
de 95%?
• Para 1-=0.95, logo =0.05 e /2=0.025, t0.025, 35=2.030
2
z α /2 σ 2
2 .030∗ 6 . 38
n>=[
] n≥
= 262 . 09 Usar n=263
0.8
d
2
2 .738∗ 6 . 38
n≥
≈ 477
nível de confidência = 99%
0 .8
[
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[
]
]
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102
Exemplo 3.7++
Para completar a análise deveria se selecionar
uma amostra randômica do tamanho
especificado (263 p/
pcomputar a média e o
desvio padrão da amostra, e então computar a
tolerância, para comparar com a escolha de
d=0.8.
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103
Observações
• Assumiu-se que a população possuía uma
distribuição normal.
• Foi essencial para os resultados a hipótese de
que as amostras são randômicas.
• Existem meios de se testar se uma distribuição é
normal.
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104
How to Test for Normality
1. First, use a large enough random sample size for the normality test. To accurately verify whether or
not a distribution is normal, you should have at least 50 data points.
2. Next, compute the average (mean), median, range, and standard deviation of the sample. Call these
numbers A, M, R, and D.
3. Check if the average and the median are relatively close, considering the range of the sample.
Closeness is relative, but a good standard to use is that difference between the average and median
is at most 1% of the range.
One of the hallmarks of normal distributions is that they are symmetric, that is, the mean and the
median are equal. If your random sample comes from a population that is normally distributed, then
the average and the median should be close.
4. Next, use the standard deviation to check the 68-95-99.7 rule. In a normal distribution, 68% of the
data points lie within 1 standard deviation of the mean, 95% lie within 2 s.d., and 99.7% lie within 3
s.d.
5. If the results of Steps 3 and 4 are positive, then there is a good chance that the distribution is normal.
6. Statisticians and data analysts use more powerful mathematical tests for normality, such as the
Kolmogorov-Smirnov, Anderson-Darling, and Shapiro-Wilk tests, named after their inventors.
Read more: How to Test for Normality (Bell Curve Distribution) | eHow.com
http://www.ehow.com/how_5284154_test-normality-bell-curve-distribution.html#ixzz1usrbYP4J
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105
Covariância...
• Covariância é a medida do quanto duas variáveis
randômicas mudam conjuntamente.
• Se duas variáveis randômicas X e Y tendem a variar
juntas (i.e., quando uma delas está acima do valor
esperado, então a outra tende a estar também acima do
seu valor esperado) então a covariância entre as duas
variáveis será positiva.
• Por outro lado, se uma delas tende a estar acima do seu
valor esperado e, outra, abaixo do seu valor esperado,
a covariância entre as duas variáveis será negativa.
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106
Covariância...
• Definição: A covariância entre duas variáveis
randômicas X e Y, assumindo valores reais, com
valores esperados E(X)=µ e E(Y)= é definida
por:
COV(X,Y)=E((X-µ)(Y- )), onde E é o operador
valor esperado.
COV(X,Y)=E(X.Y-X.-µ.Y+µ.)
COV(X,Y)=E(X.Y)-E(X). -µ.E(Y) +µ.
COV(X,Y)= E(X.Y)-µ. = E(X.Y)- E(X). E(Y)
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107
Coeficiente de correlação de Person
Cov( X,Y )
ρ=
,− 1≤ ρ≤ 1
σx.σy
Se ||=1, então X e Y são
linearmente dependentes.
• A covariância pode ser estimada pela covariância da
amostra:
n
1
s xy =
( x i − ̄ x )( y i − ̄ y )
∑
n− 1 i=1
• O coeficiente de correlação da amostra é uma forma
s xy
normalizada da covariância da amostra:
r=
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sx s y
108
Coeficiente de correlação
• O coeficiente de correlação indica a intensidade
e a direção de uma relação linear entre duas
variáveis randômicas.
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109
Distribuição normal multivariada
• A distribuição normal é completamente determinada
pela sua média µ e pela sua variância  .
• Uma distribuição normal multivariada é
completamente determinada pelo vetor das médias ⃗μ
e pela matriz de variâncias e covariâncias. Ex. para 3
variáveis randômicas:
s 21
s 12
s 13
S= s 21
s 22
s 23
s 31
s 32
s 23
(
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)
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110
Regressão Linear
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