Laboratório de Fı́sica I
Prof. Adriano Hoth Cerqueira
Profa. Alejandra Kandus
Profa. Maria Jaqueline Vasconcelos
Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas
Universidade Estadual de Santa Cruz
21 de agosto de 2007
Material de apoio à disciplina Laboratório de Fı́sica I
ministrada no segundo semestre de 2007
1
2
SUMÁRIO
Sumário
1 Introdução
1.1 Guia geral de relatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Média, desvio padrão, e desvio padrão da média . . . . . . . .
1.3 Algarismos significativos e regras para arredondamento . . . .
4
4
6
8
2 Representação de medidas em histogramas
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Material e métodos . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Roteiro experimental . . . . . . . . . . . . .
2.4 Guia para apresentação dos resultados . . .
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11
11
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3 Propagação de incertezas
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Material e métodos . . . . . . . . . . .
3.3 Roteiro experimental . . . . . . . . . .
3.4 Guia para apresentação dos resultados
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4 Ajuste linear simples
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 O método dos mı́nimos quadrados . . .
4.3 Material e método . . . . . . . . . . .
4.4 Roteiro experimental . . . . . . . . . .
4.5 Guia para apresentação dos resultados
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5 Movimento circular uniforme
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Material e método . . . . . . . . . . .
5.3 Roteiro experimental . . . . . . . . . .
5.4 Guia para apresentação dos resultados
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6 Forças coplanares e vantagem mecânica
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Forças coplanares . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Sistema de roldanas: uma máquina simples
6.2 Material e método . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Roteiro experimental: parte A . . . . . . . . . . .
6.4 Roteiro experimental: parte B . . . . . . . . . . .
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3
SUMÁRIO
6.5 Guia para apresentação dos resultados . . . . . . . . . . . . . 26
7 Atrito estático
7.1 Introdução . . . . . . .
7.2 Material e método . .
7.3 Roteiro experimental .
7.4 Guia para apresentação
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10 Determinação de velocidade instantânea
10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Material e método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Guia para apresentação dos resultados . . . . . . . . . . . . .
42
42
42
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11 Referências
44
A Derivadas parciais e propagação de incertezas
45
B O método dos mı́nimos quadrados
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dos resultados
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8 Associação de molas em série e em paralelo
8.1 Intdrodução . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Material e método . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Roteiro experimental . . . . . . . . . . . . .
8.4 Guia para apresentação dos resultados . . .
9 Lançamento de projéteis
9.1 Introdução . . . . . . .
9.2 Material e método . .
9.3 Roteiro experimental .
9.4 Guia para apresentação
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dos resultados
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1 INTRODUÇÃO
1
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Introdução
Este documento tem o intuito de guiar o aluno ao longo do curso de Laboratório de Fı́sica I. Ao longo do semestre, faremos aproximadamente 10
experimentos. Estes experimentos estão associados à disciplina de Fı́sica I e
servirão, basicamente, como apoio aos fundamentos da Mecânica e à correta
manipulação estatı́stica dos dados e obtenção das incertezas. Cada experimento será precedido de um roteiro, que auxiliará tanto na realização do
experimento quanto na confecção do relatório. Todos os roteiros serão aqui
apresentados.
É importante observar o compromisso com a realidade, atentando para a
correta e responsável obtenção do mensurando em consideraçõ. Desvios da
conduta responsável na condução do experimento levará, inexoravelmente, a
erros grosseiros e, obviamente, à não obtenção de resultados adequados.
Todo experimento deverá ser acompanhado de um relatório. Na próxima
seção, apresentaremos um Guia geral para sua elaboração. Antes, contudo,
é necessário esclarecer alguns pontos com relação ao mesmo.
Os relatórios deverão ser entregues 7 dias após a realização do experimento (salvo na presença de feriados, onde o prazo poderá ser aumentado).
Eles deverão conter uma estrutra padrão, conforme indicado na próxima
seção. Lembrem-se de que os relatórios serão avaliados, e esta avaliação poderá influenciar decisivamente no desempenho final do aluno. Os relatórios
deverão ser individuais, e não se admitirá a existência de relatórios idênticos.
Caso isto ocorra, os relatórios com conteúdo idêntico (ou parcialmente) serão
anulados.
Aconselha-se ao aluno fazer uso extensivo desta apostila (a qual, além
dos roteiros que deverão ser lidos antes da aula, contém informações, regras e
conceitos básicos importantes para a realização de bons relatórios) e, quando
necessário, da bibliografia associada. Ambos terão um papel fundamental
ao longo do curso e, sem a consulta periódica a ambos, muito do que será
exposto em sala poderá não ser apreendido.
1.1
Guia geral de relatórios
Os relatórios deverão conter, necessariamente, a seguinte estrutura mı́nima:
• Tı́tulo e autores;
1 INTRODUÇÃO
5
• Introdução: Utilize os livros disponı́veis na literatura sugerida e procure fazer uma boa introdução ao assunto tratado na experiência, enfatizando, se possı́vel, os objetivos a serem atingidos com a mesma.
Utilize equações se for necessário (quase sempre será!). Como sugestão,
não ultrapasse uma página com a introdução. Note que a introdução
serve para guiar o leitor no experimento. Portanto, evite frases vagas
ou não relacionadas diretamente com o assunto. Se, por exemplo, o
experimento envolver a determinação da constante gravitacional, inicie
a introdução objetivamente, como a seguir: “Neste experimento vamos
medir a aceleração da gravidade local utilizando-se de um pêndulo.
Faremos medidas consecutivas do perı́odo de oscilação do pêndulo e,
através da equação (1) abaixo determinar o valor de g.”. Evite coisas
do gênero: “É muito importante na fı́sica determinar o valor da aceleração gravitacional...”Elas deslocam o foco do trabalho e não servem
de muita coisa.
• Metodologia e Materiais: Procure delinear as etapas principais do
experimento, fazendo diagramas e/ou esboços do experimento sempre
que possı́vel. Relacione os materiais utilizados, e a seqüência de obtenção dos dados. Procurem ser sucintos, mas precisos.
• Apresentação dos resultados: Introduza os dados experimentais em
tabelas claras e objetivas. Introduza o significado de cada coluna da
tabela no próprio texto, de modo que o leitor possa “ler” a tabela corretamente. Apresente as equações pertinentes, tanto para a obtenção
de um determinado resultado como aquelas necessárias para o tratamento das incertezas, propagação de incertezas e ajuste de curvas por
métodos analı́ticos. Explique aparente controvérsias nos dados experimentais. Procure fazer gráficos (quando for o caso) e, assim como nas
tabelas, coloque uma legenda sintética e sua apresentação detalhada
no texto principal. Não se esqueçam das unidades (em geral, S.I.),
arredondamentos e escalas (em gráficos).
• Conclusões: Aqui as conclusões do relatório deverão ser explicitadas, com base nos resultados obtidos. Façam uma análise crı́tica dos
dados experimentais e sua concordância (ou não) com a modelagem
do fenômeno. Se utilizarem livro de apoio, ou material da internet,
façam uma seção, ao final, com as referências utilizadas. Assim como
no item “Introdução”acima, evitem frases vagas como “Vimos que é
6
1 INTRODUÇÃO
muito importante determinar a constante...”. Conclusões devem conter, ncessessariamente, um resumo do resultado principal alcançado.
Por exemplo: “Neste experimento, determinamos o valor da aceleração
local da gravidade através de medidas do perı́odo do pêndulo simples.
Obtivemos um valor de g = (9, 5 ± 0, 5) m/s2 . O valor encontrado está
próximo ao valor esperado para g no nı́vel do mar, e em nossa latitude,
obtido através da equação g ≈ 9, 785(1 + 0, 00529sen2 λ) m/s2 (onde λ
é a latitude; ver Nussenzveig 2002), e, dentro dos desvios calculados,
correto.”
1.2
Média, desvio padrão, e desvio padrão da média
No decorrer do semestre, vários conceitos relativos ao correto tratamento
dos dados adquiridos em laboratório deverão ser utilizados. Em particular,
devemos estar cientes de que as incertezas são essenciais na discussão de um
resultado experimental. Ela pode ser obtida diretamente de um experimento
(no caso em que flutuações estatı́sticas em torno de um valor médio nos permitir avaliar as incertezas que chamamos de incertezas do tipo A e, também,
no caso em que se é possı́vel modelar as fontes das incertezas que chamamos incertezas do tipo B; aqui, em geral, dada pelo limite de resolução do
aparelho de medida) ou, o que é mais comum, ela pode advir da composição
de incertezas avaliadas experimentalmente. Neste caso, devemos nos atentar
para a correta propagação de incertezas, que envolve conceitos de múltiplas
derivadas parciais, como veremos a seguir. No que se segue, faremos um
compêndio das equações que nos serão úteis no tratamento dos dados.
• Média (ou valor médio): Uma série de medidas de uma mesma
grandeza resultará no valor médio (ou valor mais provável), que deverá
ser dado pela seguinte equação:
N
1 X
ȳ =
yi
N i=1
(1)
onde ȳ é o valor médio, N é o número total de medidas realizadas e yi
é o valor da i-ésima medida.
• Desvio: o desvio de um conjunto de medidas é dado pela diferença
entre cada valor medido e o valor médio:
7
1 INTRODUÇÃO
δi = yi − ȳ
(2)
• Desvio médio: o desvio médio é a média dos valores absolutos dos
desvios:
δ¯i =
PN
i=1
N
|δi |
(3)
• Variância: a variância está intimamente relacionada com o desvio padrão. A variância que nos fornece a melhor estimativa experimental
para o desvio padrão é dada pela seguinte equação:
N
1 X
(yi − ȳ)2
σ =
N − 1 i=1
2
(4)
Esta equação assume que estamos utilizando um espaço amostral, e
que o valor ȳ é o valor médio do mensurando. Por isto ela é conhecida
como melhor estimativa experimental da variância. Esta abordagem é
distinta de, por exemplo, admitirmos a existência de um valor verdadeiro, yver , para o mensurando. Caso existisse, a variância deveria ser
estimada utilizando-se a seguinte equação:
N
1 X
σ =
(yi − yver )2
N i=1
2
(5)
Esta equação é frequentemente utilizada quando se analisa a estatı́stica
de uma população (em detrimento de amostras).
• Desvio padrão: o desvio padrão é a raiz quadrada da variância. A
partir do item anterior, podemos definir, então, a melhor estimativa
experimental do desvio padrão e o desvio padrão como sendo, respectivamente, dados por:
v
u
u
σ=t
N
1 X
(yi − ȳ)2
N − 1 i=1
(6)
8
1 INTRODUÇÃO
v
u
N
u1 X
t
σ=
(yi − ȳ)2
N i=1
(7)
σ
σm = √
N
(8)
• Desvio padrão do valor médio: Define-se o desvio padrão do valor
médio (que será usado para expressar a incerteza final no valor do
mensurando) como sendo dada por:
• Incerteza padrão: na ausência de uma estimativa para os erros sistemáticos, a incerteza padrão é dada pelo desvio padrão do valor médio,
descrito acima. Caso os erros sistemáticos possam ser avaliados, definese a incerteza padrão como sendo dada por:
2
σp2 = σm
+ σr2
(9)
onde o primeiro termo desta equação é o desvio padrão do valor médio
e o segundo termo é a chamado incerteza sistemática residual (ou incerteza do tipo B; em geral, difı́cil de se obter). Uma regra simples,
que independe de modelagem, pode ser assim considerada:
σr = σB ≃
Lr
2
(10)
onde σr é a incerteza sistemática residual (ou incerteza do tipo B, σB ),
Lr é o limite de erro de calibração do instrumento. Como uma estimativa (pobre) do limite do erro de calibração, pode-se utilizar a menor
divisão que é explicitamente indicada pelo instrumento de medida. Esta
discussão é mais complexa do que a aqui apresentada, mas vamos nos
ater a esta simplificação. Para maiores detalhes, consulte o capı́tulo 5
em Vuolo (2004).
1.3
Algarismos significativos e regras para arredondamento
Em primeiro lugar é preciso dizer que não é muito clara a definição da apresentação do mensurando (já com suas incertezas calculadas). Como regra
9
1 INTRODUÇÃO
geral, utilizaremos a convenção de apenas um algarismo significativo na apresentação da incerteza, ou dois, no máximo, caso seja pertinente.
Como exemplo, suponha que o desvio padrão de um conjunto de medidas
seja dado por σ = 0, 144 m. A forma correta de apresentar este desvio seria
σ = 0, 14 m, ou ainda σ = 14 cm. Note que ambas as formas têm dois algarismos significativos, ao contrário do cálculo original. Quase sempre, escrever
mais algarismos significativos na expressão da incerteza não faz sentido. O
capı́tulo 5 do livro Fundamentos da Teoria de Erros contém informações detalhadas a respeito dos procedimentos adequados para a apresentação das
incertezas.
Como um exemplo, suponha que um resultado experimental e a respectiva
incerteza sejam dados por:
y = 0, 0004639178 m
σ = 0, 000002503 m
Neste caso, como a incerteza padrão deve ter no máximo dois algarismos
significativos, deveremos reescrevê-la como:
σ = 0, 0000025
logo, o mensurando deverá ser reescrito:
y = 0, 0004639
Como regra geral, deve-se evitar muitos zeros á esquerda, não significativos.
Pode-se fazer isto convertendo-se a unidade ou apresentar o resultado em
notação cientı́fica (melhor). Ambos os resultados abaixo são corretos:
y = 0, 4639 mm
y = 4, 639 × 10−4 m
σ = 0, 0025mm
σ = 0, 025 × 10−4 m
Como regra para arredondamento de números adotaremos o seguinte
critério. Soma ou subtração de duas quantidades deverá possuir o mesmo
número de algarismos significativos. Quando houver algarismos significativos excedentes, limita-se excluı́ndo-os do resultado (e.g., Vuolo 2004). Suponha que o número abaixo possua três algarismos significativos (W, Y e X) e
quatro em excesso (A, B, C e D):
10
1 INTRODUÇÃO
W, Y XABCD
Logo, a regra será:
• de X000 a X499, os algarismos excedentes, não significativos, são simplesmente eliminados;
• de X500 a X999, os algarismos excedentes são eliminados e o algarismo
X aumenta de 1 (arredondamento para cima);
• no caso de X500000 (muito comum), então o arredondamento deve ser
tal que o algarismo X depois do arredondamento deve ser par.
Veja a seguir, alguns exemplos:
2, 43 → 2, 4 3, 688 → 3, 69 5, 6500 → 5, 6 5, 7500 → 5, 8
5, 6499 → 5, 6 5, 6501 → 5, 7 9, 475 → 9, 48 3, 325 → 3, 32
Note que na soma, subtração, multiplicação e divisão de números com
uma quantidade de algarismos significativos diferentes, deve-se apresentar
o resultado com um número de algarismos significativos igual ao da medida mais pobre em algarismos significativos. Por exemplo, (5,5 g)×(4,45
m/s)=24,5 gm/s. Note que mantivemos um algarismos após a vı́rgula, consistentemente com a medida mais pobre em algarismo significativo (5,5g).
Neste caso, o resultado final ficou com três algarismos porque o produto de
5×4 produz dois algarismos significativos.
2 REPRESENTAÇÃO DE MEDIDAS EM HISTOGRAMAS
2
11
Representação de medidas em histogramas
2.1
Introdução
Nesta experiência vamos utiizar o micrômetro para a realização de medidas do
diâmetro de palitos de madeira. Nosso objetivo será mostrar que um grande
número de medidas desta mesma quantidade (o diâmetro) irá resultar em
uma distribuição em torno de um valor médio. Deveremos, então, calcular
os desvios (desvio padrão e melhor valor experimental para o desvio padrão)
e obter histogramas da distribuição dos diâmetros. Finalmente, apresentar o
valor da medida corretamente.
2.2
Material e métodos
Esta experiência será realizada com amostras de 500 palitos de madeira. Seus
diâmetros serão medidos com um micrômetro de 10 µm.
2.3
Roteiro experimental
• Utilizem o micrômetro para realizar as medidas do diâmetro dos palitos fornecidos. Anotem as caracterı́sticas do micrômetro, avaliem seus
limites de erro e sua escala;
• Façam 100 (cem) medidas do diâmetro dos palitos a partir da amostra
fornecida. Lembrem-se de, após realizar uma medida, voltar com o
palito escolhido para a amostra, de modo a dar igual probabilidade
de que cada palito da amostra seja escolhido; discuta esta questão no
relatório;
• Anotem em uma tabela os resultados obtidos, na ordem em que foram
observados;
2.4
Guia para apresentação dos resultados
• Consulte o Guia Geral de Relatórios contido neste caderno e utilize-o
para a confecção do seu relatório;
2 REPRESENTAÇÃO DE MEDIDAS EM HISTOGRAMAS
12
• Apresente a tabela com os dados obtidos;
• Calcule o valor médio do mensurando, o desvio padrão, o desvio padrão
do valor médio e apresente o valor do mensurando (ou seja, seu valor
médio acompanhado de sua incerteza). Você saberia dizer algo sobre o
cálculo da incerteza padrão? Discuta isto nos resultados.
• Divida o intervalo dos mensurandos encontrados em 7 partes. Para
isto, primeiro identifique o valor mı́nimo obtido para o mensurando e,
também, o valor máximo. Subtraia o valor máximo do valor mı́nimo e
encontre o intervalo ∆. Assim: ∆ = ymax − ymin . Divida este intervalo
em 7 partes iguais.
• Subdivida sua amostra e encontre o número de medidas dentro de
cada intervalo definido anteriormente. Assim, obtenha a freqüência
de ocorrência N(y) do mensurando em cada intervalo e, conseqüentemente, a freqüência de ocorrência relativa, F (y) = N(y)/N.
• Apresente um histogramas com sete (7) intervalos (definido pela diferença entre o maior valor e o menor valor do mensurando), contendo
as freqüências relativas em função do intervalo considerado. Discuta o
resultado.
• Repita o procedimento anterior para um número menor de dados. Considere, por exemplo, de sua tabela com 100 medidas, apenas as cinco
primeiras, apenas as 10 primeiras e, finalmente, apenas as 50 primeiras.
Construa os histogramas de cada uma destas sub-amostras e compare
com o histograma contendo a amostra com 100 medidas. Discuta o
resultado.
3 PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS
3
3.1
13
Propagação de incertezas
Introdução
Quando calculamos grandezas derivadas, ou seja, grandezas que não podem
ser medidas diretamente através dos instrumentos disponı́veis, temos um problema: Como propagar as incertezas individuais? Talvez um exemplo possa
nos ajudar. Neste caso em particular, vamos medir a densidade de diferentes cilindros, compostos por diferentes materiais (de diferentes densidades).
Como sabemos:
m
(11)
V
onde ρ é a densidade, m é a massa e V é o volume. Como os volumes a serem
medidos são cilindros, a massa será dada pela indicação em uma balança e,
seus volumes, serão dados por:
ρ=
V = πR2 · h
(12)
onde R é o raio do cilindro e h sua altura média.
Note que aqui temos um problema. O que queremos, ao final, é a determinação da densidade e sua incerteza. Logo, o que queremos é determinar
σρ . Mas, como vemos pelas duas equações acima, temos que primeiro determinar as incertezas na massa e no volume. Esta, por sua vez, depende da
incerteza na determinação do raio e da altura do cilindro. Assim, de acordo
com a teoria de propagação de incertezas (ver Apêndice A), teremos:
2
2
∂ρ
∂ρ
2
2
σm +
σV2
(13)
σρ =
∂m
∂V
Nesta equação, σρ é a incerteza na determinação da densidade, σm é a incerteza na determinação da massa, e σV a incerteza na determinação do volume.
Ora, σm é fácil de se obter (estatisticamente ou não), porque se trata de um
mensurando. Mas o que fazer com a incerteza no volume?
Bom, temos que calcular a incerteza que advém da equação (12) e, depois,
voltar à equação (13). Façamos isto. Para calcular a incerteza no volume,
temos:
14
3 PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS
σV2
=
∂V
∂R
2
σR2
+
∂V
∂h
2
σh2
(14)
onde, agora, σR é a incerteza na determinação do raio do cilindro e σh , a
incerteza na sua altura. Ambos mensurandos e passı́veis de serem obtidos
com um paquı́metro.
Vocês podem mostrar facilmente que, calculando as derivadas parciais,
podemos obter (façam esta dedução no relatório):
2 2
2 2 σρ
σm
σR
σh
(15)
=
+4
+
ρ
m
R
h
Definindo ǫy = σy /y como sendo as incertezas relativas, teremos, a partir
da equação acima, uma equação bem simples de ser calculada:
q
(16)
ǫρ = ǫ2m + 4ǫ2R + ǫ2h
Note que todos os termos podem ser determinados a partir do experimento, se medirmos massa, altura e raio de um cilindro uniforme.
3.2
Material e métodos
Serão utilizados cilindros de metal e madeira. Seus diâmetros e alturas serão
medidos com um paquı́metro e suas massas com uma balança.
3.3
Roteiro experimental
• Escolha pelo menos três cilindros de diferentes materiais;
• Meça, com um paquı́metro, o diâmetro e a altura dos cilindros (dê um
nome, ou número que identifique o cilindro com suas caracterı́sticas).
Sugere-se tomar pelo menos 20 medidas para o diâmetro e a altura
(cada membro do grupo pode realizar uma série de medidas, em diferentes posições). Anote os resultados em uma tabela. Estas medidas
fornecerão um valor médio para o raio e a altura de cada cilindro, juntamente com seus desvios (σR e σh , ou ainda, ǫR e ǫh );
• Meça, com uma balança de precisão, a massa de cada cilindro. Se
houver mais de uma balança, sugere-se a medida da massa em cada
3 PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS
15
uma das balanças (desde que tenham a mesma precisão indicada). Se
houver uma única balança, sugere-se estimar a incerteza a partir da
menor divisão indicada. (Isto é razoável? Discuta no relatório este
procedimento.)
3.4
Guia para apresentação dos resultados
• Consulte o Guia Geral de Relatórios contido neste caderno e utilize-o
para a confecção do seu relatório;
• Apresente as tabelas, identificando cada cilindro, com os dados obtidos
para o raio, altura e massa;
• Calcule (e mostre como obteve) os desvios para cada uma das variáveis
acima;
• Deduza a equação (15) e obtenha a incerteza para a densidade. O valor
encontrado é razoável? Discuta no relatório.
• Apresente o resultado final (valor mais provável mais incerteza) para
cada cilindro medido.
4 AJUSTE LINEAR SIMPLES
4
16
Ajuste linear simples
4.1
Introdução
Muitas vezes sabemos que uma grandeza se comporta linearmente com relação à (pequenas) variações em outra grandeza. Esta é, por exemplo, a relação
que existe entre a força elástica em uma mola e a deformação da mesma. Em
outras palavras:
|Fel. | ∝ ∆x
(17)
onde Fel. é a força elástica (em uma dimensão: vamos simplificar nosso problema) e ∆x = x − x0 a deformação lı́quida sofrida pela mola com relação à
sua posição de repouso (x0 ).
Assim, se determinamos experimentalmente vários ∆x’s, podemos, em
princı́pio, obter a constante de proporcionalidade na equação (17) acima.
Esta constante, como sabemos, chama-se constante elástica da mola, e a
equação abaixo é conhecida como Lei de Hooke1 :
|F | = K∆x
(18)
A questão que podemos nos colocar é a seguinte: Suponha que tenhamos
realizado o experimento e tenhamos obtido o seguinte gráfico de força versus
deformação (ver Figura 1). Note que os pontos devem representar uma reta,
pois sabemos que o fenômeno se comporta linearmente. Mas eles não estão
absolutamente alinhados! O que fazer nestes casos?
4.2
O método dos mı́nimos quadrados
Nestes casos, utilizamos o conceito de regressão linear, que permite-nos obter
o melhor ajuste possı́vel aos dados experimentais. Como aqui, neste caso
em particular, estamos interessados no ajuste de uma reta, vamos, então,
1
Note que estamos simplificando o problema: sabemos que esta lei é válida apenas no
regime elástico da mola, onde ela responde linearmente à deformação. Fora deste regime,
para deformações crescentes, a mola tende a se romper e, nesta região, a Lei de Hooke não
é mais válida.
4 AJUSTE LINEAR SIMPLES
17
Figura 1: Gráfico hipotético da relação experimental entre os deslocamentos
lı́quidos e a força em uma mola
empregar o ajuste linear simples (para maiores detalhes, veja o Apêndice B).
Ou seja, supondo que:
y = ax + b
teremos:
P
P P
yi − xi xi yi
x2i
P
P
b=
N x2i − ( xi )2
P
P P
N xi yi − xi yi
P
P
a=
N x2i − ( xi )2
P
(19)
(20)
Estas equações são uma conseqüência do método dos mı́nimos quadrados,
cujos fundamentos teóricos estão descritos no Apêndice B (ver, também,
Vuolo 1996). Nestas equações, os sı́mbolos têm seus significados usuais: N é
o número de pontos, xi é a coordenada x para cada ponto i (no nosso caso
aqui, as deformações lı́quidas da mola) e yi a coordenada y para os pontos
xi (no nosso caso, a força restauradora da mola).
Sabemos obter experimentalmente as deformações lı́quidas (basta medir
com uma régua as posições inicial e final de equilı́brio da mola). Como obter a
força elástica da mola? No nosso modelo, vamos utilizar a força gravitacional
como auxı́lio e nos lembrarmos de uma equação básica da mecânica: no
4 AJUSTE LINEAR SIMPLES
18
referencial do laboratório, um corpo estará em repouso desde que o somatório
das forças aplicadas ao mesmo seja igual a zero. Logo, se dependurarmos
uma mola em uma haste vertical e, se dependurarmos uma massa m na
extremidade livre da mola, teremos:
X
F~ = 0 −→ P~ + F~el. = m~g − k~x = 0 −→ m~g = k~x
−→ |F~el. | = |P~ |
Em outras palavras, na posição de equilı́brio, o peso de uma massa dependurada verticalmente em uma mola equivale à força elástica da mola. Basta,
então, medirmos o peso das massas dependuradas e fazer um gráfico da deformação da mola versus peso. Com estes dados, calculamos a constante
elástica da mola através da equação (20).
4.3
Material e método
Massas, molas, suporte, haste vertical e balança.
4.4
Roteiro experimental
• Fixe a haste graduada vertical no bloco de madeira.
• Prendam de forma adequada a mola e o suporte para as massas na
haste vertical que acompanha o experimento.
• Meça com uma balança cada massa antes de colocá-la na extremidade da mola. Meça, também, antes de colocar a massa, a posição
de equilı́brio da mola (sem a massa).
• Com a massa adicionada, meça novamente a posição de equilı́brio.
• Faça isto repetidas vezes, mas adicionando-se cada vez uma massa
maior. Tente obter, no mı́nimo, 7 valores de massas diferentes (para
termos pelo menos 7 pontos no gráfico; ou seja, N = 7).
• Lembrem-se de obter as incertezas na massa e nas deformações (Sugestão: cada membro do grupo pode medir, de forma independente, o
valor para as deformações e para as massas; basta fazer, cada um, uma
4 AJUSTE LINEAR SIMPLES
19
leitura e anotar os resultados numa tabela para depois obter o valor
médio).
4.5
Guia para apresentação dos resultados
• Consulte o Guia Geral de Relatórios contido neste caderno e utilize-o
para a confecção do seu relatório;
• Na introdução, discuta a Lei de Newton correspondente que utilizamos
aqui no experimento e, também, a Lei de Hooke. Procure mostrar (com
gráficos ou exemplos) que a Lei de Hooke tem um limite de validade;
• Discuta o método dos mı́nimos quadrados na introdução e enfatize sua
importância no presente experimento;
• Fique livre para utilizar um valor de g que mais lhe convier; mas justifique no relatório sua utilização;
• Faça um esboço do arranjo experimental, definindo quem é a posição de
equilı́brio da mola sem massas e, após a adição das mesmas, identifique
no esboço a deformação e o deformação lı́quida;
• Faça um gráfico com os pontos experimentais obtidos (não se esqueçam
das unidades);
• Reescreva as equações utilizadas (para o cálculo dos coeficientes linear
e angular), e apresente os resultados obtidos;
• Avalie o desvio no cálculo da constante elástica da mola, a partir das
equações disponı́veis no Apêndice B.
• Calcule o coeficiente linear da reta e seu respectivo desvio. O valor
encontrado é razoável? Porque?
• Apresente suas conclusões e discuta seus resultados.
5 MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME
5
5.1
20
Movimento circular uniforme
Introdução
Um corpo que percorre uma trajetória circular, percorrendo ângulos iguais
em tempos iguais, está em movimento circular uniforme (MCU). Esse movimento pode ser caracterizado pela velocidade angular (ou freqüência angular):
∆θ
∆t
A velocidade tangencial, ou linear, é definida por:
ω=
ds
dt
onde s é o arco de circunferência. Se a trajetória circular tem um raio R, as
velocidades tangencial e angular estarão relacionadas da seguinte forma:
vt =
vt = Rω
Pelo fato do corpo mudar a sua direção de movimento, mesmo mantendo
sua velocidade tangencial constante, o MCU é um movimento acelerado.
Isto porque o vetor velocidade da partı́cula, o vetor ~vt , muda continuamente
sua direção. A aceleração aponta para o centro do cı́rculo, e é chamada de
aceleração centrı́peta. É possı́vel demonstrar (façam isto) que sua expressão
matemática é dada por:
vt2
= ω 2R
R
No processo de dedução desta equação, é comum projetar as componentes
da velocidade da partı́cula em duas dimensões: x e y. É muito fácil verificar
que ambas as projeções são do tipo:
ac =
vx = vt cosθ
vy = vt senθ
5 MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME
21
onde θ = ωt + φ (φ, aqui, é o ângulo de fase) ou, em outras palavras, que a
projeção da partı́cula sobre os eixos x e y descreve um movimento harmônico
simples (MHS).
Neste experimento, vamos verificar certas propriedades do MCU e, com
a projeção do mesmo em um dos eixos ordenados, também do MHS.
5.2
Material e método
Aparelho rotacional projetável (CIDEPE), cronômetro ou relógio de pulso,
retroprojetor, corpo de prova esférico (esfera de isopor), fita adesiva, anteparo
de projeção (cartolina ou papel de dimensões compatı́veis, presa com fita
adesiva na parede, e que será riscado).
Utilizaremos o aparelho rotacional, projetado na parede com o auxı́lio de
um retroprojetor. A projeção nos permitirá obter o perı́odo de rotação e,
também, analisar propriedades do movimento harmônico simples.
5.3
Roteiro experimental
• Monte o aparelho rotacional projetável com uma esfera pequena em
um determinado raio. Obtenha a melhor estimativa para o raio.
• Ligue o aparelho e escolha uma freqüência adequada de rotação. Obtenha a melhor estimativa para o perı́odo do MCU.
• Projete o sistema, de perfil, na parede (use o retroprojetor). Certifiquese de que o objeto, quando projetado na parede, executa um MHS.
Obtenha um valor para o perı́odo do MHS.
• Determine a amplitude do MHS.
5.4
Guia para apresentação dos resultados
• Consulte o Guia Geral de Relatórios contido neste caderno e utilize-o
para a confecção do seu relatório;
• Apresente os valores para o perı́odo do MCU e o raio de sua trajetória.
Calcule a velocidade tangencial e a aceleração centrı́peta do MCU.
• Obtenha os valores para a velocidade tangencial e para a aceleração
centrı́peta, a partir do MCU.
5 MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME
22
• Apresente os valores para o perı́odo do MHS e sua amplitude, com
seus respectivos desvios, e compare (nas conclusões) os valores com os
obtidos do MCU.
• Mostre, analiticamente, que um corpo executando MCU em um plano
x-y, possui um MHS (y = Acos(ωt + φ)) quando projetado sobre cada
eixo em separado.
• Com a amplitude e o perı́odo do MHS determinado em laboratório,
escreva uma equação para o MHS.
• A partir desta equação, obtenha as equações para i) a velocidade da
partı́cula e ii) a aceleração da partı́cula.
• A partir destas equações, você poderia calcular a velocidade tangencial
da partı́cula executando MCU e sua aceleração centrı́peta. Como?
Obtenha estes valores e compare com aqueles obtidos no MCU.
23
6 FORÇAS COPLANARES E VANTAGEM MECÂNICA
6
Forças coplanares e vantagem mecânica
6.1
6.1.1
Introdução
Forças coplanares
Considere um objeto pontual, de massa m, sobre o qual atuam n forças.
Como a força é uma grandeza vetorial, a soma de todas elas será dada pela
expressão:
F~r =
n
X
F~i
i=1
Onde F~r é a resultante das F~i forças aplicadas no objeto em questão. A
equação anterior pode ser também escrita em termos das componentes de
cada força. Num sistema coordenadas cartesianas, teremos:
F~r = (Fx , Fy , Fz ) =
n
X
(Fx,i, Fy,i , Fz,i) =
i=1
X
n
Fx,i ,
i=1
n
X
Fy,i ,
i=1
n
X
i=1
Fz,i
Nesta equação, Fx , Fy e F z são as componentes da força resultante nos eixos
x, y e z, respectivamente, e Fx,i é componente no eixo x da i-ésima força
aplicada no objeto.
O corpo em questão estará em equilı́brio quando a força resultante for
nula. Em outras palavras:
F~r = 0 −→
X
n
i=1
Fx,i = 0,
n
X
i=1
Fy,i = 0,
n
X
i=1
Fz,i = 0
Nosso objetivo no presente experimento é obter a resultante de um conjunto de forças atuando em um objeto (ponto), verificar a validade da equação
acima, e confeccionar diagramas de força.
6 FORÇAS COPLANARES E VANTAGEM MECÂNICA
24
Figura 2: Sistema de roldanas
6.1.2
Sistema de roldanas: uma máquina simples
Quando suspendemos um objeto de massa m qualquer, preso por uma corda,
por exemplo, e o mantemos em equilı́brio, toda o seu peso nos é transmitido
através de uma tensão na corda. Assim, segundo a lei da inércia de Newton:
X
F = 0 −→ T = P
onde T é a tensão e P o peso do objeto dependurado (note que estamos
assumindo forças co-lineares e, portanto, desprezando o caráter vetorial das
mesmas). Consideremos, por exemplo, a Figure 2, na qual um objeto de
massa m está suspenso, em equilı́brio, por um sistema de cordas e roldanas.
Com o auxı́lio de diagramas de forças, vocês podem concluir rapidamente
que a força aplicada será menor do que a força transmitida (pela máquina),
de modo que definimos a vantagem mecânica do sistema como sendo a razão
entre ambas:
Vm =
Ftrans.
Fapl.
Vamos Vm obter experimentalmente para um dado conjunto de massas e
roldanas. A força aplicada poderemos medir com um dinamômetro.
6 FORÇAS COPLANARES E VANTAGEM MECÂNICA
6.2
25
Material e método
Painel de forças, transferidor, dinamômetros, fios e argolas, para o primeiro
experimento (forças co-planares) e, para o segundo (máquina simples), roldanas, cordas, massas, tripé e dinamômetro.
6.3
Roteiro experimental: parte A
• Disponha três dinamômetros no painel de forças. Conecte-os, através
dos fios e argolas disponibilizadas.
• Disponha dois dos dinamômetros segundo um ângulo qualquer (mantendo um terceiro sempre alinhado com um dos eixos do painel de
forças), meçam as forças indicadas nos dinamômetros e os ângulos entre eles (tanto com relação aos eixos estabelecidos quanto com relação
às próprias distenções provocadas).
• Repita este procedimento para pelo menos 5 ângulos diferentes. (Sugestão: utilize, pelo menos, os ângulos de 30, 60, 90 e 120 graus.)
6.4
Roteiro experimental: parte B
• Meçam as massas de cada roldana disponibilizada e, com o tripé fornecido, disponha-as com o auxı́lio das cordas, de acordo com o esquema
proposto em sala de aula. Façam um desenho esquemático do sistema,
identificando a posição das roldanas e suas massas equivalentes (isto é
importante).
• Meçam a massa de um objeto qualquer que será dependurado no sistema de roldanas (caso ele seja dependurado por um gancho, meça a
massa do sistema completo).
• Com um dinamômetro adequado, na outra extremidade do sistema,
meçam a força que mantém o equilı́brio do sistema e anotem em uma
tabela. Para cada massa dependurada, meçam pelo menos 5 (cinco)
vezes a força no dinamômetro.
• Repitam o procedimento para pelo menos outras três massas diferentes.
6 FORÇAS COPLANARES E VANTAGEM MECÂNICA
6.5
26
Guia para apresentação dos resultados
• Parte A: Para cada disposição angular escolhida, apresente os diagramas de força encontrados (decompondo, segundo o ângulo, as componentes nos eixos x e y).
• Calcule a força resultante em cada caso.
• Calcule a força resultante a partir da equação geral de composição
vetorial: R2 = A2 + B 2 + 2ABcosθ, onde A e B aqui são os módulos
de dois vetores quaisquer, e θ o ângulo entre eles, e R o módulo da
resultante. Compare este valor com os valores obtidos anteriormente.
Compare este valor com o valor da força equilibrante do sistema.
• Parte B: Façam um diagrama de forças completo, apresentando em
cada ponto do sistema as forças pertinentes aplicadas. Calcule o valor
destas forças. Obtenham a vantagem mecânica do sistema, para cada
conjunto de massas. Ela será a mesma para cada conjunto de massas?
Discuta isto no relatório
27
7 ATRITO ESTÁTICO
7
7.1
Atrito estático
Introdução
Sabemos pelas nossas experiências diárias que se tentamos empurrar um objeto qualquer sobre uma superfı́cie irregular, como a bancada do laboratório
de Fı́sica, por exemplo, devemos aplicar uma força. Esta força não é qualquer uma. Para isto, basta que iniciemos nosso experimento aplicando uma
força bem pequena para tentarmos mover, por exemplo, o retro-projetor que
fica sobre a bancada. Não obteremos sucesso a menos que aumentemos esta
força aplicada. Até que ponto? Até o ponto em que a força aplicada iguale-se
à força de atrito estático. Quando isto acontecer, o objeto entra em movimento acelerado e, para que ele se mova com velocidade constante, devemos
diminuir a força aplicada. A força que faz com que o objeto se mova a uma
velocidade constante, neste caso, é chamada de força de atrito dinâmico (ou
cinético, dependendo do livro adotado).
Neste experimento, lidaremos primordialmente com a determinação do
coeficiente de atrito cinético, µe , dado pela equação:
Fe = µe N
onde Fe é a força de atrito estático, µe é o coeficiente de atrito estático e N
a força normal.
Em um plano inclinado, como mostrado na Figura 3, a situação que normalmente encontramos é a seguinte. Para uma dada inclinação do plano de
um ângulo φ qualquer, em geral, podemos ter ou não o movimento descendente do objeto, sujeito à força gravitacional. Isto fica claro na figura: haverá
movimento descendente desde que a projeção da força peso sobre o eixo x
(ver Figura 3) for maior do que a força de atrito estático atuando sobre este
mesmo eixo. Como determinar, experimentalmente, o coeficiente de atrito
estático? O que podemos fazer, e o que de fato faremos, é iniciar o experimento com um bloco de madeira sobre um plano de inclinação variável, fazer
variar a inclinação do plano com relação à horizontal e determinar, então, o
ângulo mı́nimo requerido pelo sistema para que o bloco/objeto se movimente.
Neste ponto, teremos a situação limite entre a atuação do atrito estático e
dinâmico. Dizemos que este ponto define o coeficiente de atrito estático.
7 ATRITO ESTÁTICO
28
Figura 3: Objeto em um plano inclinado. As linhas tracejadas mostram os
eixos coordenados x (paralelo ao eixo do plano inclinado) e y (paralelo à
normal a este plano)
Neste experimento, vamos determinar o coeficiente de atrito estático para
dois tipos diferentes de superfı́cies. Mas, além disso, vamos também realizar decomposição de forças usando, agora, além de dinamômetros (como no
experimento anterior), também a força gravitacional, com o auxı́lio de um
plano inclinado. Vamos deixar um carrinho em equilı́brio estático, em um
plano inclinado, sob a ação de i) uma força de tensão (providenciada por um
dinamômetro), ii) a força gravitacional e iii) a força de atrito (obviamente,
teremos que determinar o coeficiente de atrito estático deste sistema).
7.2
Material e método
Plano inclinado, blocos de madeira com duas superfı́cies distintas, dinamômetros e carros deslizantes. Dados os objetos em questão, faremos variar
a inclinação de uma superfı́cie até o momento da iminn̂cia do movimento.
Neste caso, mede-se o ângulo e, com as massas envolvidas, pode-se decompor
corretamente as forças em questão em um diagrama de forças.
7.3
Roteiro experimental
• Montem o plano inclinado disponibilizado com um ângulo φ = 0 de
inclinação (horizontal).
7 ATRITO ESTÁTICO
29
• Meçam a massa do bolco de madeira disponibilizado, coloque-o sobre
a superfı́cie do plano inclinado e inicie o processe de aumento gradual
e contı́nuo do ângulo de inclinação.
• Meçam o ângulo segundo o qual o bloco inicia o seu movimento.
• Repitam esta operação pelo menos 5 (cinco) vezes.
• Repitam todo o procedimento anterior para a outra superfı́cie do bloco.
• Parte B: Repitam o procedimento da Parte A acima, mas agora com
o carro deslizante. Obtenham o coeficiente de atrito estático para este
sistema (com um mı́nimo de cinco medidas).
• Fixem o dinamômetro na parte superior do plano inclinado.
• Façam a calibragem do dinamômetro.
• Meçam a massa do carro deslizante disponibilizado e, suavemente,
acople-o à extremidade livre do dinamômetro. Meçam a força no dinamômetro (de novo, pelo menos cinco vezes).
• Meçam a massa do disco metálico disponibilizado, acrescente-o ao sistema e refaça a medida da força no dinamômetro (pelo menos cinco
medidas...).
• Acrescente outra massa ao sistema e refaça o procedimento, com todas
os discos que foram disponibilizados.
7.4
Guia para apresentação dos resultados
• Discutam a questão teórica envolvida no atrito estático e dinâmico na
introdução.
• Na primeira parte do experimento, momtem as tabelas necessárias e
apresentem os resultados dos coeficientes de atrito estático para os blocos de madeira.
• Na segunda parte, apresentem, primeiro, o coeficiente de atrito estático
medido para o sistema carro-plano e, depois, apresente um desenho
pormenorizado do arranjo completo (dinamômetro, carro, plano, discos
metálicos, forças envolvidas, diagramas de força etc).
7 ATRITO ESTÁTICO
30
• Calculem cada força envolvida e comparem as soluções experimentais
com o que deveria-se esperar teoricamente.
8 ASSOCIAÇÃO DE MOLAS EM SÉRIE E EM PARALELO
8
8.1
31
Associação de molas em série e em paralelo
Intdrodução
Vimos no Capı́tulo 4 que uma mola, quando deixada em repouso verticalmente, responde linearmente à atuação da força peso. Em particular, vimos
que dependurando-se massas cada vez maiores na extremidade livre da mola,
obtinhamos deformações sucessivamente maiores. Esta proporcionalidade é
expressa pela chamada Lei de Hooke, a qual repetiremos aqui por completeza:
F = k∆x
onde F aqui é a força elástica, k a constante elástica da mola e ∆x sua
deformação com relação à posição de repouso (da mola).
O que faremos aqui neste experimento será obter os valores para a constante elástica de uma combinação em série de duas molas e, também, de uma
combinação em paralelo de duas molas. Fica para o estudante a tarefa de
mostrar que as equações para a constante elástica efetiva, para os casos em
que temos duas molas (mola 1 e mola 2) em série e em paralelo serão dadas,
respectivamente, por:
kserie =
k1 k2
k1 + k2
kparalelo = k1 + k2
(21)
(22)
onde k1 é a constante elástica da mola 1 e k2 é a constante elástica da mola
2.
Nosso objetivo aqui, então, será mostrar a validade destas duas equações,
experimentalmente.
8.2
Material e método
Tripé universal, suporte horizontal para as molas, duas molas de constantes
elásticas indeterminadas, k1 e k2, lâmina metálica, gancho metálico para
suporte dos discos metálicos, discos metálicos. Balança, régua e fita métrica.
8 ASSOCIAÇÃO DE MOLAS EM SÉRIE E EM PARALELO
Discos
m (g)
20,2
1
20,1
20,3
40,6
1+2
40,9
40,7
60,4
1+2+3
60,5
60,6
80,7
1+2+3+4
80,9
80,8
101,0
1+2+3+4+5 100,8
100,9
m̄ (g)
P (N)
20,2 ± 0,1
(202,0 ± 1,0)×10−3
40,7 ± 0,1
(407,0 ± 1,0)×10−3
60,5 ± 0,1
(605,0 ± 1,0)×10−3
80,8 ± 0,1
(808,0 ± 1,0)×10−3
32
100,9 ± 0,1 (1009,0 ± 1,0)×10−3
Tabela 1: Massa medida, massa média e peso dos objetos
8.3
Roteiro experimental
• Montem o conjunto do tripé universal com o suporte horizontal para
dependurar as molas;
• Com os cinco discos metálicos fornecidos, numere-os de 1 a 5. Meça suas
massas na balança fornecida, na ordem e da forma (ou seja, agrupados)
em que serão dependurados (ou seja, disco 1, disco 1 e 2, disco 1, 2 e 3
etc). Monte uma tabela com o formato sugerido (ver Tabela 1 acima).
Chame esta tabela de TABELA 1 2 .
• Escolha uma das molas. Chame-a de MOLA 1. Dependure a mola, com
o gancho, e determine sua deformação no repouso (∆x0 ) Meça este valor
três vezes e anote no relatório o valor da deformção de repouso (valor
médio e desvio).
2
Note que a Tabela APRESENTA O DESVIO EM CADA MEDIDA. Contudo, eles
deverão ser calculados a posteriori, após o trabalho de laboratório, no feitio do relatório.
Obviamente, vocês deverão indicar se se trata do desvio padrão, da incerteza padrão etc,
seja lá o que vocês definirem como desvio.
8 ASSOCIAÇÃO DE MOLAS EM SÉRIE E EM PARALELO
Discos
∆xi (cm)
15,5
1
15,4
15,3
20,5
1+2
20,4
20,3
25,5
1+2+3
25,4
25,3
30,5
1+2+3+4
30,4
30,3
35,5
1+2+3+4+5 35,4
35,3
¯ i (cm)
∆x
33
∆xi − ∆x0 (m)
15,4 ± 0,1 (5,4 ± 0,1)×10−2
20,4 ± 0,1 (10,4 ± 0,1)×10−2
25,4 ± 0,1 (15,4 ± 0,1)×10−2
30,4 ± 0,1 (20,4 ± 0,1)×10−2
35,4 ± 0,1 (25,4 ± 0,1)×10−2
Tabela 2: Deformações da Mola 1
• Dependure o disco 1 na mola e meça (três vezes) a deformação total da
mola (∆x1 ). Adicione sucessivamente os outros discos (respeitando sua
numeração) e repita este procedimento. Monte uma Tabela (chamemna de TABELA 2), para a mola 1, contendo, na primeira coluna o objeto
dependurado (Disco 1, no primeiro caso; Disco 1 e 2, no segundo caso,
Disco 1, 2 e 3, no terceiro caso, etc), na segunda coluna o valor medido
da variação provocada (∆xi , onde ∆xi é a deformação correspondente
aos sussecivos pesos: i = 1, Disco 1; i = 2, Disco 1 e 2; i = 3, Disco 1,
2 e 3, etc), na terceira coluna o valor médio desta deformação (já com
os desvios, mas, calculados depois, no relatório) e, na quarta coluna,
finalmente, o cálculo da variação lı́quida na deformação, isto é, ∆xi −
∆x0 (já, obviamente, com seus valores médios, acrescidos da incerteza
associada; este item deve ser feito depois, no relatório). Veja a Tabela
2 como exemplo.
• Repita os dois últimos itens para a MOLA 2 (e, obviamente, construa
outra tabela; chamem-na de TABELA 3; estas duas tabelas, TABELA
2 e TABELA 3 servem para obter o valor da constante elástica da mola
8 ASSOCIAÇÃO DE MOLAS EM SÉRIE E EM PARALELO
34
1 e da mola 2, respectivamente).
• Uma vez feito isto, façam a montagem da associação em série das duas
molas. Meçam a posição de equilı́brio do conjunto, com o gancho. Dependurem os cinco discos metálicos (um de cada vez, obviamente, e na
seqüência correta), e meçam as deformações ocasionadas. Construam
outra tabela com as informações (esta tabela, que será a TABELA 4
do Relatório, pode ser idêntica à Tabela 2 acima, desde que com a legenda apropriada, demonstrando claramente que trata-se do caso da
associação em série).
• Façam a montagem da associação em paralelo com as duas molas. Dependurem os cinco discos metálicos (um de cada vez, obviamente), e
meçam as deformações ocasionadas. Construam outra tabela com as
informações (esta tabela, que será a TABELA 5 do Relatório, pode
ser idêntica à Tabela 2 acima, desde que com a legenda apropriada,
demonstrando claramente que trata-se do caso da associação em série).
8.4
Guia para apresentação dos resultados
• Consultem TODO o material de apoio fornecido. Vocês precisam rever
os conceitos de regressão linear.
• Consultem livros textos onde se discute associação em série e em paralelo de molas. Estudem a teoria e façam uma boa introdução ao tema.
Deduzam as equações que serão utilizadas neste relatório, a saber, as
equações das constantes elásticas efetivas para o caso em série e em
paralelo.
• Apresentem os resultados em tabelas “limpas”, como as aqui sugeridas. Preparem a tabela de modo que sua última coluna seja um ponto
do gráfico, como nas Tabelas 1 e 2 acima. Reparem que utilizando a
última coluna da Tabela 1 e a última coluna da Tabela 2 vocês já podem construir, diretamente, o gráfico para a determinação da constante
elástica da mola.
• Assim, com a TABELA 2 e TABELA 3 (nomes estes sugeridos ao
longo deste Roteiro), vocês construirão dois gráficos do peso versus
deformação, um para a mola 1 e outro para a mola 2. Aplicando
8 ASSOCIAÇÃO DE MOLAS EM SÉRIE E EM PARALELO
35
conceitos de regressão linear, vocês obterão as constantes elásticas k1 e
k2 , com seus respectivos desvios.
• Com os valores médios obtidos no item anterior para k1 e k2 , calculem
os valores das constantes elásticas efetivas dadas pelas equações (21)
e (22) explicitadas na introdução deste Roteiro. Como se trata de
uma medida indireta (estamos usando dois mensurandos para obter o
valor de uma constante, não medida diretamente), temos que fazer o
cálculo da propagação de erros. Apresente este cálculo (dedução) e,
obviamente, o valor final das constantes com suas incertezas.
• Calculem, via método dos mı́nimos quadrados, o coeficiente angular das
retas obtidas experimentalmente para o caso da associação em série e
para o caso da associação em paralelo. Isto se faz utilizando-se os dados
nas TABELAS 4 e 5 do Relatório (repito, a seqüência da numeração
das tabelas foi sugerida ao longo deste Roteiro, e nada tem a ver com
a seqüência da numeração das Tabelas que apareçem neste Roteiro,
apenas a tı́tulo de ilustração).
• Compare e DISCUTA os resultados obtidos via regressão linear e via
cálculo através das equações.
9 LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS
9
9.1
36
Lançamento de projéteis
Introdução
Remonta a vários séculos os primeiros estudos sistemáticos dos lançamentos de projéteis. Excluı́ndo-se o interesse bélico no problema, é possı́vel
extrair uma boa quantidade de informações com a observação (e mensuração)
deste fenômeno. Nesta aula em particular investigaremos três fenômenos:
i) a cinemática de corpos sujeitos a uma aceleração gravitacional g, ii) o
caso particular do lançamento horizontal de um projétil a uma determinada
velocidade vx,0 e, como sub-produto, iii) a conservação da energia.
Sabemos, por exemplo, que um corpo sob a atuação de um campo gravitacional deve ter seu comportamento cinemático ditado pelas seguintes
equações:
x = x0 + vx,0 t
(23)
1
y = y0 + vy,0 t − gt2
(24)
2
onde os termos, nestas equações, possuem seus significados usuais (x é a
posição ao longo do eixo x, x0 é a posição inicial neste eixo de coordenadas; y
é a posição ao longo do eixo y, y0 é a posição inicial neste eixo de coordenadas;
vx,0 é a componente x da velocidade na posição x0 , vy,0 é a componente y da
velocidade na posição y0 , t é a coordenada temporal e g a aceleração local
da gravidade).
Assim, ao lançarmos um projétil horizontalmente, medindo-se o seu deslocamento em x, podemos avaliar, via equação (23), o valor da velocidade
com o qual o mesmo foi lançado. Também, neste caso, estamos necessariamente, forçando vy,0 = 0. Determinando-se o tempo que o mesmo leva para
chegar ao solo e, concomitantemente, a altura do qual ele se desprendeu da
rampa, podemos obter, via equação (24), uma estimativa para o valor da
aceleração da gravidade local, g. Em outras palavras, estudando (medindose) a cinemática do corpo em queda livre lançado por uma rampa horizontal,
podemos estimar a velocidade horizontal do projétil, bem como ter uma idéia
9 LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS
37
Figura 4: Figura que exemplifica a montagem experimental utilizada nesta
aula. Note a relação das distâncias a serem medidas. Veja que y2 e y1 são
as alturas máxima e mı́nima, respectivamente, da rampa utilizada. Como a
origem do sistema de referência horizontal será a projeção da extremidade
livre da rampa, x, na figura, já nos dará uma medida da trajetória da esfera
(ver texto para uma discussão detalhada do aparato).
do valor da constante g. Estes serão dois dos nossos objetivos neste experimento.
Um terceiro objetivo será, após concluı́da a etapa anterior, comparar
os resultados obtidos com as equação (23) e (24) com o resultado previsto
pela conservação de energia. Como sabemos, um corpo que parta de uma
determinada altura y2 com velocidade inicial igual a zero, deverá chegar
ao final da rampa (aqui considerada horizontal, e com altura y1 ) com uma
velocidade dada por (Ver Figura 4):
vx0 =
p
2gh
(25)
onde h = y2 − y1 (ver Figura 4) e g são, ambos, fornecidos pelo experimento.
Contrastando a velocidade assim obtida com aquela fornecida pela equação
(23), podemos chegar a interessantes conclusões. É fundamental o correto
tratamento das incertezas neste experimento.
9 LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS
9.2
38
Material e método
Tripé e haste universais, cronômetro, fita métrica, papel milimetrado, rampa
com saı́da horizontal, esfera metálica, fio de prumo e fita adesiva.
O experimento consistirá em abandonar, do repouso, uma esfera metálica
do topo de uma rampa cuja saı́da é horizontal. Deveremos realizar medidas
repetitivas do tempo que a esfera leva para atingir o solo, após sua saı́da
definitiva da rampa, bem como as tomadas das medidas de altura (caracterização da rampa com relação ao solo) e deslocamentos horizontais sofridos
pela esfera. Estas medidas subsidiarão os cálculos da aceleração da gravidade
local, da velocidade horizontal inicial (onde inicial aqui quer dizer o ponto
onde a esfera deixa a rampa). Ver Figura 4 para o reconhecimento inicial do
problema de medição.
9.3
Roteiro experimental
• Alinhe a lateral da rampa horizontal fornecida em sala de aula com uma
referência na bancada, como a linha divisória nas tampas de mármore
das bancadas. Deixe a extremidade horizontal da rampa coincidir com
a extremidade livre da bancada (isto lhe assegurará que a projeção vertical da extremidade livre da rampa coincidirá, no chão do laboratório,
com a posição que chamaremos de x0 ; a qual faremos, por conveniência,
ser nossa origem do sistema de coordenadas, ou seja, x0 = 0). Esta
posição deverá se manter constante durante todo o processo de medida.
• Utilize o fio de prumo para determinar, no chão do laboratório, as
projeções da extremidade livre da rampa. Pode-se utilizar uma fita
adesiva para marcar, no chão, o inı́cio do sistema de coordenadas em
x.
• Feito isto, faça alguns lançamentos com a esfera de metal, utilizando
a altura máxima disponibilizada pela rampa. Estes testes iniciais irão
nos fornecer uma idéia de onde a esfera tocará o solo, após lançada.
Assim, pode-se proceder com a fixação do papel milimetrado no piso
do laboratório (utilize as junções do porcelanato no piso para auxiliar
na decisão de onde fixar o papel milimetrado).
• Montado o aparato experimental (rampa no lugar correto, caracte-
9 LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS
39
rização do sistema de coordenadas no piso do laboratório, fixação do
papel milimetrado), podemos proceder com o experimento.
• Faça um lançamento da esfera, a partir do topo da rampa. Enquanto
um membro do grupo lança a esfera, outro membro do grupo deverá ser
responsável pela medição do tempo. O tempo a ser medido é o tempo
entre a saı́da da esfera na rampa de lançamento e o toque da mesma
no piso do laboratório. Deve-se, também, medir a distância entre a fita
adesiva no solo (aquela que caracteriza nossa origem, x0 ) e o ponto que
será produzido pelo impacto da esfera com o papel milimetrado. Como
sugestão, após medida a distância, marque com uma caneta o ponto
medido (para não confundir depois, com vários lançamentos e vários
pontos no papel).
• Repita o item anterior pelo menos vinte (20) vezes. É muito importante, como dissemos, uma boa representação estatı́sticas dos resultados neste experimento.
• Uma vez medidos o tempo e o deslocamento horizontal, precisamos caracterizar a rampa. É preciso fazer medidas da altura da extremidade
superior da rampa (y2 ; aquele na qual a esfera será abandonada inicialmente) e da extremidade inferior da rampa (y1 ; aquela na qual a esfera
deixa a rampa; ver Figura 4). Para isto, utilize a fita métrica e obtenha,
sem mexer no arranjo originalmente proposto, cinco (5) valores para a
altura y1 (a saber, da extremidade da rampa ao solo) e, depois, altere
a posição original da rampa, colocando-a de modo que se possa medir
y2 .
• É fundamental, neste experimento, termos o controle sobre as incertezas. Para o limite de resolução da fita métrica, utilize 0,5 cm. Já para
o limite de resolução do cronômetro, adote o seguinte procedimento:
Com o cronômetro zerado, ligue e desligue-o com a máxima velocidade
possı́vel. Anote o resultado. Repita o procedimento pelo menos vinte
(20) vezes. O valor médio desta grandeza, dividido por dois (2), será o
limite de resolução temporal.
40
9 LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS
9.4
Guia para apresentação dos resultados
• Consultem TODO o material de apoio fornecido. Vocês precisam rever
os conceitos de propagação de incertezas.
• Consultem livros textos onde se discute o problema da cinemática em
duas dimensẽs de um corpo em queda livre. Estudem a teoria e façam
uma boa introdução ao tema. Deduzam as equações que serão utilizadas neste relatório, a saber, as equações (23), (24) e (25).
• Na apresentação dos resultados, mostrem i) uma tabela do tempo (t)
versus deslocamento horizontal (x); TABELA 1, ii) uma tabela para as
medidas de y1 ; TABELA 2, e iii) outra tabela para as medidas de y2 ;
TABELA 3.
• Apresentem os valores médios dos dados das três tabelas acima mencionados (pode ser, inclusive, na própria tabela).
• Com os valores médios de t, y1 , y2 e x, obtenha as incertezas amostrais
dos mensurandos. Ou seja, utilizem a equação:
v
u
u
σ=t
N
1 X
(yi − ȳ)2
N − 1 i=1
(26)
onde, aqui, N é o número de medidas, yi é o valor do mensurando
relativo à i-ésima medida e ȳ é o valor médio do mensurando. Estas
incertezas deverão ser combinadas com o limite de resolução para gerar
a incerteza padrão, que será utilizada no item abaixo. Apresentem,
finalmente, o valor de cada mensurando com sua respectiva incerteza
(padrão).
• Com o valor médio do tempo de queda livre da partı́cula, bem como
o valor médio do deslocamento horizontal da mesma, calculem a velocidade vx0 , a partir da equação (23). Apresente o resultado obtido
com o respectivo desvio. Aqui, para o cálculo do desvio, é necessário
utilizar a regra de propagação de incertezas, baseada em derivadas parciais quadráticas combinadas com as incertezas padrões determinadas
no item anterior.
9 LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS
41
• Repita o item anterior, mas usando a equação (24) para determinar um
valor para g (e seu respectivo desvio, assim como no item anterior).
• Utilizando o valor médio de g, obtido no item anterior, e o valor médio
de y2 − y1 , calcule, via equação (25), a velocidade (teórica) obtida por
meio de métodos de conservação de energia.
• Discuta, nas conclusões, os valores obtidos. O valor encontrado para g é
razoável? E as velocidades tangenciais, são compatı́veis (considerandose os erros)? Se não, porque elas são incompatı́veis e, eventualmente,
porque uma delas é maior do que a outra (estou me referindo à vx,0
calculado via experimento, ou seja, via cinemática, e via teoria, ou
seja, via dinâmica da conservação de energia).
10 DETERMINAÇÃO DE VELOCIDADE INSTANTÂNEA
10
10.1
42
Determinação de velocidade instantânea
Introdução
Vimos no experimento anterior que, por conservação de energia, um projétil
deixa uma rampa com uma determinada velocidade. Estimamos, utilizando
a trajetória em queda livre deste projétil, a velocidade de lançamento do
projétil. O que faremos aqui será determinar, em distintos pontos da trajetória de um corpo sobre um plano inclinado, as velocidades instantâneas de
deslocamento do corpo. Para isto, devemos estimar o tamanho do objeto e o
tempo que ele leva para atravessar um determinado ponto em sua trajetória.
Como os tempos envolvidos são, em geral, muito curtos, utilizaremos uma
placa de aquisição de tempo automatizada. Isto facilitará nossa abordagem
ao problema. Contudo, temos complicadores. De fato, a utilização do teorema de conservação de energia para este caso, que envolve o atrito, não é
adequada. Contudo, vamos utilizá-la assim mesmo, uma vez que não dispomos, no momento, de um trilho de ar para a realização deste experimento.
Também, como forma de verificar o experimento do Capı́tulo anterior,
vamos medir efetivamente a velocidade instantânea da partı́cula ao deixar
a rampa que utilizamos, com o auxı́lio dos medidores de tempo baseado na
interrupção de um feixe de laser. Esta medida deverá ser contrastada com
os valores obtidos no relatório anterior.
10.2
Material e método
Plano inclinado, placa de aquisição, micro-computador, temporizadores eletrônicos, esfera sólida, paquı́metro, rampa de lançamento de projétil e balança.
O experimento consistirá em duas partes.
• Na primeira parte, vamos lançar uma esfera sólida do topo de uma
rampa e fazer aquisições sistemáticas do tempo que a esfera leva para
passar na extremidade livre da rampa. Medindo-se também o diâmetro
da esfera, podemos determinar a velocidade instantânea do projétil.
Este resultado deverá ser contrastado com o valor obtido experimentalmente no Capı́tulo anterior (via cinemática do corpo em queda livre).
10 DETERMINAÇÃO DE VELOCIDADE INSTANTÂNEA
43
Figura 5: Disposição dos temporizadores no plano inclinado para a obtenção
das velocidades instantâneas de deslocamento da esfera. Note que as grandezas h e D devem ser obtidas. Deve-se, também, medir o ângulo θ de
inclinação da rampa.
Na segunda parte do experimento, utilizaremos um plano inclinado (devemos medir a inclinação do plano e a distância que separa os dois temporizadores, de modo a determinar h = y2 − y1 ; ver Figura 5). Deixaremos um
corpo esférico rolar livremente neste plano e determinaremos os tempos de
passagem em pontos fixos da trajetória (onde fixaremos os temporizadores).
Com o diâmetro da esfera e os tempos medidos, podemos calcular precisamente as velocidades instantâneas, no topo (y2 ) e na base (y1 ) da trajetória.
Medindo-se a distância vertical (∆h = y2 − y1 ) entre estes dois pontos fixos,
podemos utilizar o teorema da conservação de energia para comparar os resultados. A Figura 5 mostra a montagem do experimento, com as grandezas
a serem avaliadas. Neste experimento, a massa da esfera deverá ser medida.
10.3
Guia para apresentação dos resultados
• Apresentem um relatório suscinto mostrando os principais resultados
do experimento.
11 REFERÊNCIAS
11
44
Referências
• Chaves, A.S. Fı́sica Volume 1 - Mecânica, Ed. Reichmann e Autores,
Primeira Edição (2001)
• da Silva, M.F. e colaboradores, Mecânica Fı́sica I Experimental, (Roteiro das Experiências do Instituto de Fı́sica da UERJ, 1999)
• Halliday, D., Resnick, R., Krane, K.S. Fı́sica, Volume 1, Ed. Livros
Técnicos e Cientı́ficos, Quinta Edição (2003)
• INMETRO, Vocabulário Internacional de Termos Fundamentais e Gerais de Metrologia, 3 Edição, Rio de Janeiro, 2003
• Vários Autores, Apostila de Laboraório de Fı́sica I - UFMG (2005)
• Vasconcelos, F.H. Sistemas de Medição, Apostila do Curso de Sistemas
de Medição do Departamento de Engenharia Elétrica, UFMG (2006)
• Vuolo, J.H. Fundamentos da Teoria de Erros, Ed. Edgard Blücher
LTDA., São Paulo, Segunda Edição (1996)
A DERIVADAS PARCIAIS E PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS
A
45
Derivadas parciais e propagação de incertezas
Imagine uma função (f ) que seja determinada por duas variáveis independentes (x e y, por exemplo). Dizemos então, que temos uma função de duas
variáveis, f (x, y). Podemos ter uma função de várias variáveis 3 . Podemos
utilizar o conceito de derivada de uma função a uma única variável, f (x):
df
f (x + ∆x) − f (x)
= lim
(27)
dx ∆x→0
∆x
para extender à funções de mais variáveis. Em nosso exemplo, seja f (x, y)
uma função contı́nua e definida. Por analogia à equação (27), teremos:
f ′ (x) =
fx (x, y) =
f (x + ∆x, y) − f (x, y)
∂f
= lim
∂x ∆x→0
∆x
(28)
fy (x, y) =
f (x, y + ∆y) − f (x, y)
∂f
= lim
∆y→0
∂y
∆y
(29)
Note que o sı́mbolo ∂, aqui, denota derivada parcial, ou seja, indica que
a derivada está sendo calculada sobre uma, e apenas uma, das duas variáveis
que depende a função f . Este mesmo raciocı́nio pode ser aplicado a uma
função qualquer de n variáveis.
A “receita”acima nos diz que, dada uma função qualquer de duas variáveis, o cálculo da derivada parcial é bastante simples. Por exemplo, seja a
função:
f (x, y) = 5xy 2
logo:
fy (x, y) =
3
∂f
∂
∂
=
(5xy 2) = 5x (y 2) = 10xy
∂y
∂y
∂y
Por exemplo, a velocidade de um carro de passeio, que depende das coordenadas x,
y e z, e também do tempo t; mas, para nosso exemplo aqui, basta considerarmos uma
função de duas variáveis.
A DERIVADAS PARCIAIS E PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS
46
ou seja, basta considerar todas as outras variáveis constantes e derivar segundo a variável pertinente (no caso acima, y).
Em uma função de uma única variável, f (x + ∆x) pode ser aproximado
por:
df
· ∆x
dx
Isto pode ser facilmente verificado se lembrarmos que df /dx é a tangente
de um ângulo α, que representa a inclinação da função no ponto x: logo,
tanα · ∆x ≡ ∆f . É fácil vermos que a equação acima pode ser escrita como:
f (x + ∆x) ≈ f (x) +
df
· ∆x
dx
(pois, no limite, esta é a própria definição da derivada!). Assim, reescrevamos
esta equação:
f (x + ∆x) − f (x) ≃
df
· ∆x
dx
Agora, vamos imaginar que a função possa ter duas variáveis, por exemplo. Neste caso, temos dois ∆’s associados, um a x e outro a y 4 :
∆f ≡ f (x + ∆x) − f (x) =
∆fx ≡ f (x + ∆x, y) − f (x, y) =
∂f
· ∆x
∂x
∆fy ≡ f (x, y + ∆y) − f (x, y) =
∂f
· ∆y
∂y
Note que, aqui, utilizamos o conceito de derivada parcial, definido anteriormente.
É também intuitivo ver, a partir das equações acima, que a variação total
será dada pela soma dos quadrados das variações parciais (a hipotenusa de
um triângulo):
2 2
∂f
∂f
2
2
2
(∆f ) = (∆fx ) + (∆fy ) =
· ∆x +
· ∆y
∂x
∂y
logo, tomando o limite quando ∆x e ∆y tenderem a zero, e fazendo ∆ = σ
obtemos, finalmente, a seguinte equação:
4
Geometricamente, eles representam a variação ao longo de x e de y da função, que
neste caso é uma superfı́cie no espaço 3-D.
A DERIVADAS PARCIAIS E PROPAGAÇÃO DE INCERTEZAS
2
σ =
∂f
∂x
2
σx2
+
∂f
∂y
2
σy2
47
(30)
Quando estivermos lidando com grandezas derivadas, esta é a equação geral que devemos utilizar no cálculo da incerteza. No Roteiro 3 trabalharemos
diretamente com estes conceitos.
B O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
B
48
O método dos mı́nimos quadrados
No que se segue, apresentamos a obteção dos coeficientes lineares e angulares
de uma reta, através do método dos mı́nimos quadrados. Esta descrição foi
baseada nos trabalhos apresentados em da Silva et al. (1999) e Vuolo (1996),
cujas leituras recomendo fortemente.
Como não sabemos qual a melhor função para representar os dados, vamos
considerar a seguinte função genérica:
f (x) = β0 g0 (x) + β1 g1 (x) + ... + βm gm (x)
(31)
onde βi são os coeficientes (a serem determinados) e gi (x) funções contı́nuas
no intervalo considerado. O que queremos é aproximar esta função f (x)
aos valores determinados experimentalmente, ajustando as funções g e os
coeficientes β acima.
Na Figura 1, por exemplo, o que temos é uma série de medidas, xi ,
gerando uma série de pontos yi 5 . Temos que determinar, portanto, uma
função que melhor reprensente estes dados experimentais. Uma forma de
fazê-lo é utilizando o conceito (já conhecido) de desvio: di = yi − f (xi ).
Nesta equação, di é o desvio, yi o ponto experimental e f (xi ) a função de
xi dada pela equação (31). Uma boa maneira de obter a função que melhor
ajusta aos dados é fazer com que o desvio seja mı́nimo para todos os pontos
i = 1, 2, 3, ... n. Logo, definindo:
D(β0 , β1 , ..., βm ) =
n
X
i=1
=
n
X
i=1
d2i =
n
X
i=1
[yi − f (xi )]2 =
[yi − β0 g0 (x) − β1 g1 (x) − ... − βn gn (x)]2
(32)
A técnica dos mı́nimos quadrados consiste em derivar parcialmente a
função D(β0 , β1 , ..., βm ) acima em relação aos coeficientes βi e igualar estas
5
Note que estamos simplificando nosso linguajar: xi para nós agora são as deformações
lı́quidas a que nos referimos anteriormente, ∆x; e yi é, agora, a força elástica exercida pela
mola; veja o Roteiro numero 3.
B O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
49
derivadas a zero (encontrando os pontos de mı́nimos). Fica como exercı́cio
para o aluno esta derivação (∂D/∂β0 , ∂D/∂β1 , etc). Derivando e igualando
a zero, encontra-se um sistema linear de equações, determinando-se assim os
coeficientes β’s. Embora este procedimento seja geral e se possa fazê-lo para
um número n qualquer, vamos aqui calcular o caso de n = 2. Vamos assumir:
g0 = 1
g1 = x
logo:
f (x) = β0 + β1 x
(33)
que é a equação de uma reta. Encontrando β0 e β1 estamos encontrando o
coeficiente linear e o coeficiente angular, respectivamente. Como dissemos,
usando a equação (32), teremos:
X
D(β0 , β1 ) =
[yi − β0 − β1 xi ]2
(34)
onde suprimimos os ı́ndices do somatório para simplificar a notação. Derivando com relação a β0 e β1 , como manda a receita:
X
∂D
= (2)( [yi − β0 − β1 xi ])(−1)
∂β0
X
∂D
= (2)( [(yi − β0 − β1 xi )(−xi )])
∂β1
(35)
(36)
Fazendo as derivadas serem iguais a zero (pontos de mı́nimo) e rearranjando
os termos ligeiramente, obtemos:
X
X
(n)β0 + (
xi )β1 =
yi
(
X
X
X
xi )β0 + (
x2i )β1 =
xi yi
estas duas equações podem ser escritas de forma mais elegante, como um
produto de matrizes:
P P y
n
β0
P
P x2i
= P i
(37)
β1
xi yi
xi
xi
B O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
50
É fácil agora provar (resolvendo o sistema linear de equações acima através dos determinantes; vocês podem fazê-lo!) que os coeficientes β0 e β1 são
dados, respectivamente, por:
P P
P 2P
yi − xi xi yi
xi
P
P
β0 =
(38)
N x2i − ( xi )2
P
P P
n xi yi − xi yi
P
P
β1 =
(39)
n x2i − ( xi )2
as quais são, respectivamente, dadas pelas equações (19) e (20), já discutidas
no texto, mas sem provas. A dedução aqui é completamente geral e você
pode extender esta análise para casos de polinômios de maior grau.
Os desvios associados a estas constantes serão dados por:
s
P 2
D
x
P 2 iP 2
(40)
∆β0 =
(N − 2) N xi − ( xi )
∆β1 =
D
1
p P
P
2
(N − 2) N xi − ( xi )2
(41)
onde, nesta equação, D é a soma quadrática dos resı́duos, dada pela equação
(34).