Comparação de Médias de Duas Populações
Prof. Antonio Fernando Branco Costa
e-mail: [email protected]
Página da FEG: www.feg.unesp.br/~fbranco
Comparação de Médias de Duas Populações
Dados Emparelhados
Exemplo: xi: peso da cobaia i no início da semana
yi: peso da cobaia i no fim da semana
COBAIA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Xi
635
704
662
560
603
745
698
575
633
669
Yi
640
712
681
558
610
740
707
585
635
682
H 0 : d  0
H1 : d  0
Comparação de Médias de Duas Populações
Dados Emparelhados
Exemplo: xi: peso da cobaia i no início da semana
yi: peso da cobaia i no fim da semana
COBAIA
1
2
3
4
Xi
635
704
662
560
Yi
640
712
681
558
5
6
603
745
610
740
7
8
9
10
TOTAL
698
575
633
669
707
585
635
682
d

d 
n
i
Di
5
8
19
-2
7
-5
9
10
2
13
66
66

 6,6
10
Comparação de Médias de Duas Populações
Dados Emparelhados
Exemplo: xi: peso da cobaia i no início da semana
yi: peso da cobaia i no fim da semana
sd2
COBAIA
1
2
3
4
Xi
635
704
662
560
Yi
640
712
681
558
5
6
603
745
610
740
7
8
9
10
TOTAL
698
575
633
669
707
585
635
682


di2  (

n 1
di )2 / n
Di
5
8
19
-2
7
Di2
25
64
361
4
-5
49
25
9
10
2
13
66
81
100
4
169
882
882 ( 66 )2 / 10

 49,6
10  1
Comparação de Médias de Duas Populações
Dados Emparelhados
Exemplo: xi: peso da cobaia i no início da semana
yi: peso da cobaia i no fim da semana
COBAIA
1
2
3
4
Xi
635
704
662
560
Yi
640
712
681
558
5
6
603
745
610
740
7
8
9
10
TOTAL
698
575
633
669
707
585
635
682
Di
5
8
19
-2
7
Di2
25
64
361
4
-5
49
25
9
10
2
13
66
81
100
4
169
882
H 0 : d  0
H1 : d  0
Rejeitar H0 se:
d
 tn1,
sd / n
H 0 : d  0
H1 : d  0
Ac Ho
t n1, sd / n
t n1, sd / n
Rej Ho
Ac Ho
d  0
d  0
Rejeitar H0 se:
Rej Ho
d
d
d
 t n1,
sd / n
Comparação de Médias de Duas Populações
Dados Emparelhados
Exemplo: xi: peso da cobaia i no início da semana
yi: peso da cobaia i no fim da semana
COBAIA
1
2
3
4
Xi
635
704
662
560
Yi
640
712
681
558
5
6
603
745
610
740
7
8
9
10
TOTAL
698
575
633
669
707
585
635
682
Di
5
8
19
-2
7
Di2
25
64
361
4
-5
49
25
9
10
2
13
66
81
100
4
169
882
H 0 : d  0
H1 : d  0
d
6,6

 2,96  tn1,  t9 ,0 ,01  2,821
sd / n 7,043/ 10
Comparação de Médias de Duas Populações
Dados Emparelhados
Exemplo: xi: peso da cobaia i no início da semana
yi: peso da cobaia i no fim da semana
COBAIA
1
2
3
4
Xi
635
704
662
560
Yi
640
712
681
558
5
6
603
745
610
740
7
8
9
10
TOTAL
698
575
633
669
707
585
635
682
Di
5
8
19
-2
7
Di2
25
64
361
4
-5
49
25
9
10
2
13
66
81
100
4
169
882
H 0 : d  2
H1 : d  2
d 2
4,6

 2,07  tn1,  t9 ,0 ,01  2,821
sd / n 7 ,043/ 10
Comparação de Médias de Duas Populações
Dados Não Emparelhados
Exemplo: Resistência de dois tipos de concreto.
Concreto 1
54
55
58
51
57
x1  55
Concreto 2
50
54
56
52
53
x2  53
s12  7,5
s22  5,0
Ao nível de significância de 5%, há evidência de que o Concreto 1
seja mais resistente do que o Concreto 2 ?
H 0 : 1   2
H1 : 1   2
Rejeitar H0 se:
x1  x 2
s / n1  s / n2
2
1
2
2
 tn  n 1,
1
2
H 0 : 1   2
H1 : 1   2
s  s12 / n1  s22 / n2
tn  n 1, s
1
Ac Ho
1  2  0
2
Rej Ho
X1  X 2
Rejeitar H0 se:
x1  x 2
 t n  n 1,
2
2
s1 / n1  s2 / n2
1
2
Comparação de Médias de Duas Populações
Dados Não Emparelhados
Exemplo: Resistência de dois tipos de concreto.
Concreto 1
54
55
58
51
57
x1  55
Concreto 2
50
54
56
52
53
x2  53
s12  7,5
s22  5,0
Ao nível de significância de 5%, há evidência de que o Concreto 1
seja mais resistente do que o Concreto 2 ?
H 0 : 1   2
H1 : 1   2
x1  x 2
s / n1  s / n2
2
1
2
2
 1,26  tn  n 1,  1,86
1
2
Comparação de Duas Proporções
Pesquisa de Opinião acerca da revista X
Apreciam
Homens (1)
Mulheres (2)
32
26
Não Apreciam
48
24
Total
80
50
H0 : p1  p 2
H1 : p1  p 2
f1
32
p'1 

 0,40
n1 80
f2 26
p'2  
 0,52
n2 50
Comparação de Duas Proporções
Pesquisa de Opinião acerca da revista X
Apreciam
Homens (1)
Mulheres (2)
32
26
Não Apreciam
48
24
Total
80
50
H0 : p1  p 2
H1 : p1  p 2
Rejeitar H0 se:
| p'1  p'2 |
 Z / 2
p'1( 1  p'1 ) / n1  p' 2 ( 1  p'2 ) / n2
Comparação de Duas Proporções
Pesquisa de Opinião acerca da revista X
Apreciam
Homens (1)
Mulheres (2)
32
26
Não Apreciam
48
24
Total
80
50
H0 : p1  p 2
H1 : p1  p 2
| p'1  p' 2 |
 1,34  Z / 2  1,96
p'1( 1  p'1 ) / n1  p' 2 ( 1  p'2 ) / n2
Comparação de Duas Proporções
n1 p1'  5


n1 1  p1'  5
n2 p2'  5


n2 1  p2'  5

p1 1  p1  
p  Normal  p1 ,

n1


'
1

p2 1  p2  
p  Normal  p2 ,

n


2
'
2