Escola Secundária c/3º CEB José Macedo Fragateiro
Curso Profissional de Nível Secundário
Componente Técnica
Disciplina de
Sistemas Digitais e Arquitectura de Computadores
2009/2010
Módulo 1: Sistemas de Numeração
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Conhecer a estrutura de um Sistema de Numeração
Um numeral é um símbolo ou grupo de símbolos que representa um número. Os
numerais diferem dos números do mesmo modo que as palavras diferem das coisas a que se
referem. Os símbolos "11", "onze" e "XI" são numerais diferentes, representando todos o
mesmo número.
Um sistema de numeração, (ou sistema numeral) é um sistema em que um conjunto de
números é representado por numerais de uma forma consistente. Pode ser visto como o
contexto que permite ao numeral "11" ser interpretado como o numeral romano para dois, o
numeral binário para três ou o numeral decimal para onze.
Em condições ideias, um sistema de numeração deve:
 Representar uma grande quantidade de números úteis (ex: todos os números
inteiros, ou todos os números reais);
 Dar a cada número representado uma única descrição (ou pelo menos uma
representação padrão);
 Reflectir as estruturas algébricas e aritméticas dos números.
Por exemplo, a representação comum decimal dos números inteiros fornece a cada
número inteiro uma representação única como uma sequência finita de algarismos, com as
operações aritméticas (adição, subtracção, multiplicação e divisão) estando presentes como os
algoritmos padrões da aritmética. Contudo, quando a representação decimal é usada para os
números racionais ou para os números reais, a representação deixa de ser padronizada:
muitos números racionais têm dois tipos de numerais, um padrão que tem fim (por exemplo
2,31), e outro que se repete periodicamente (como 2,30999999...).
Sistema decimal
O sistema decimal é um sistema de numeração de posição1 que utiliza a base dez.
Baseia-se numa numeração de posição, onde os dez algarismos indo-arábicos : 0 1 2 3
4 5 6 7 8 9 servem para contar unidades, dezenas, centenas, etc. da direita para a esquerda.
Contrariamente à numeração romana, o algarismo árabe tem um valor diferente
segundo a sua posição no número: assim, em 111, o primeiro algarismo significa 100, o
segundo algarismo 10 e o terceiro 1, enquanto que em VIII (oito em numeração romana) os três
I significam todos 1.
Assim:
347  3 100  4 10  7 1  3 102  4 101  7 100
No sistema decimal o símbolo 0 (zero) posicionado à esquerda do número escrito não
altera seu valor representativo. Assim: 1; 01; 001 ou 0001 representam a mesma grandeza,
neste caso a unidade. O símbolo zero posto à direita implica em multiplicar a grandeza pela
base, ou seja, por 10 (dez).
1
Valor atribuído a um símbolo dependente da posição em que ele se encontra no conjunto de símbolos
que representa uma quantidade. O valor total do número é a soma dos valores relativos de cada algarismo
(decimal).
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Sistema binário
O sistema binário é um sistema de numeração posicional em que todas as quantidades
se representam utilizando como base o número dois, com o que se dispõe das cifras: zero e
um (0 e 1).
Os computadores digitais trabalham internamente com dois níveis de tensão2, pelo que
o seu sistema de numeração natural é o sistema binário (aceso, apagado). Com efeito, num
sistema simples como este é possível simplificar o cálculo, com o auxílio da lógica booleana3.
Em computação, chama-se um dígito binário (0 ou 1) de bit, que vem do inglês Binary Digit. Um
agrupamento de 8 bits corresponde a um byte (Binary Term).
O sistema binário é base para a álgebra booleana, que permite fazer operações lógicas
e aritméticas usando-se apenas dois dígitos ou dois estados (sim e não, falso e verdadeiro,
tudo ou nada, 1 ou 0, ligado e desligado). Toda a electrónica digital e computação está
baseada nesse sistema binário e na lógica de Boole, que permite representar por circuitos
electrónicos digitais (portas lógicas) os números, caracteres, realizar operações lógicas e
aritméticas. Os programas de computadores são codificados sob forma binária e armazenados
em dispositivos (memórias, discos, etc) sob esse formato.
Binários a decimais
Dado um número N, binário, para expressá-lo em decimal, deve-se escrever cada
número que o compõe (bit), multiplicado pela base do sistema (base = 2), elevado à posição
que ocupa. A soma de cada multiplicação de cada dígito binário pelo valor das potências
resulta no número real representado.
Exemplo:
1011 ( 2 )  ___ (10)
1 23  0  22  1 21  1 20  11
130 21110
Portanto, 1011 ( 2 )  11(10 ) .
Decimais a Binários
Dado um número decimal, para convertê-lo em binário, basta dividi-lo sucessivamente
por 2, anotando o resto da divisão inteira (da direita para a esquerda):
12
0
2
6
0
2
3
1
2
1
Portanto, 12 (10 )  1100 ( 2 ) .
2
Tensão eléctrica é a diferença de potencial eléctrico entre dois pontos. Sua unidade de medida é o volt,
o nome é homenagem ao físico italiano Alessandro Volta.
3
Álgebras booleanas são estruturas algébricas que "capturam a essência" das operações lógicas E, OU e
NÃO, bem como das operações da teoria de conjuntos soma, produto e complemento.
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Aritmética com números de base binária
Soma de números binários
Recordando as seguintes somas básicas:
1. 0+0=0
2. 0+1=1
3. 1+1=10
Assim, ao se somar 100110101 com 11010101, tem-se:
bit 10
bit 9
bit 8
bit 7
bit 6
bit 5
bit 4
bit 3
bit 2
bit 1
11
0 1
0 1
11
0 1
0
1
0
0
0
1
1
0
0 1
1
0
1
1
0
1
1
0
+
1
0
1
0
1
Transporte
Opera-se como em decimal: começa-se a somar desde a direita, no exemplo, 1+1=10,
então escreve-se 0 “e vai" 1. Soma-se este 1 à coluna seguinte.
Subtracção de números binários
Diminuendo
Diminuidor
Resultado:
-
bit 5
bit 4
bit 3
bit 2
bit 1
1
0 1
1
11
0
0 1
0
1 0
1
1
0
1
1
1
0
Transporte
A subtracção bit a bit faz-se da seguinte forma:
Bit 1: 1  1  0 (transporte 0)
Bit 2: 0 1  1 (transporte 1)
Bit 3: soma-se o diminuidor com o transporte, isto é,
0  1  1 (transporte da soma é 0). Depois realiza-se a subtracção do
diminuendo com o resultado da soma.
0 1  1 (transporte 1)
Bit 4: soma-se o diminuidor com o transporte, isto é,
1  1  0 (transporte da soma é 1). Faz-se a subtracção do diminuendo com o
resultado da soma, isto é,
1  0  1 (transporte 0)
Bit 5: soma-se o diminuidor com o transporte, isto é,
0  1  1 (transporte da soma é 0). Faz-se a subtracção do diminuendo com o
resultado da soma, isto é,
1 1  0 (transporte 0)
Verificar:
11001( 2 )  25(10 )
 1011( 2 )  11(10)
0110( 2 )  14(10 )
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Octal a Decimal
A base octal utiliza oito algarismos ou dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; por isso se diz que a
base deste sistema de numeração é oito (octal) e cada dígito também tem um valor posicional.
Para obtermos o equivalente decimal do número 24643701 (8 ) na base octal temos
que executar as seguintes operações:
24643701
(8 )
 ___ (10 )
7 6 5 4 3 2 1 0
2 4 6 4 3 7 01
2  87  4  86  6  85  4  84  3  83  7  82  0  81  1 80  5457857(10)
Decimal a Octal
Dado um número decimal, para convertê-lo em octal, basta dividi-lo sucessivamente
por 8, anotando o resto da divisão inteira (da direita para a esquerda):
524
4
8
65
1
8
8
0
8
1
Portanto, 524 (10 )  1014 (8 ) .
Hexadecimal a Decimal
A base hexadecimal tem mais vantagem do que a octal, pois representa um número
com grande quantidade de bits, numa forma simples e reduzida. Por exemplo, o número binário
1001110100 110110 ( 2 )  9 D36 (16) .
A base hexadecimal é formada por 16 elementos. Como a base dez apenas tem 10
símbolos, os restantes 6 símbolos são representados pelas primeiras 6 letras do nosso
alfabeto: A, B, C, D, E, F.
Para obtermos o equivalente decimal do número 9D 36 (16 ) na base hexadecimal temos
que executar as seguintes operações:
9 D36 (16)  ___ (10)
9 163  13162  3161  6 160  40246(10)
93 D 2 3160 ( D  13)
Decimal a Hexadecimal
Dado um número decimal, para convertê-lo em hexadecimal, basta dividi-lo
sucessivamente por 16, anotando o resto da divisão inteira (da direita para a esquerda):
19030
6
16
1189
5
16
74
10
16
4
Portanto, 19030 (10 )  4 A56 (16 ) .
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Binário-Octal e vice-versa
Utiliza-se o princípio de que para escrever cada dígito octal são necessários somente 3
dígitos binários, visto a relação entre as bases respectivas ser uma potência 3, isto é, 8  2 .
O maior dígito em octal corresponde ao dígito 7: 111 ( 2 )  7 (8) .
3
Dado o número 100101 ( 2 ) , podemos realizar a seguinte conversão:
100
1 2  0  21  0  20
4
101
1 2  0  21  1 20
5
2
2
45 (8)
Fazendo a operação inversa chegamos da base octal à base binária:
5
7
Octal
6



101
111
110
O equivalente na base binária é 576 (8 )  101111110
Binário
( 2)
.
Binário-Hexadecimal e vice-versa
Utiliza-se o princípio de que para escrever um dígito em hexadecimal chegam 4 dígitos
4
em binário, dada a relação entre as bases respectivas ser a potência 4 , isto é, 16  2 .
Por exemplo, dado o número 1101101 ( 2 ) , podemos efectuar a seguinte conversão:
0110
0  2  1 22  1 21  0  20
1101
1 2  1 22  0  21  1 20
13( D)
3
3
6
6D(16 )
Fazendo a operação inversa chegamos da base hexadecimal à base binária:
2
4
A
8




0010
0100
1010
1000
Hexadecimal
Binário
O equivalente na base binária é: 24 A8(16 )  1001001010 1000 ( 2 ) .
Octal-Hexadecimal e vice-versa
O método que vamos utilizar é a conversão da base octal para binário e de seguida da
base binária para a hexadecimal.
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Números negativos
Os computadores lidam com números positivos e números negativos, logo é
necessário encontrar uma representação para números com sinal negativo. Uma possibilidade
é inverter todos os bits de um número para representar o número correspondente com sinal
negativo. Esta representação é designada por complemento para um.
Exemplo
10010 = 011001002 utilizando 8 bits.
Invertendo todos os bits obtemos:
-10010 = 100110112
O problema desta representação é que existem 2 padrões de bits para o 0.
Nomeadamente 010 = 000000002 = 111111112. A solução encontrada consiste em
representar os números em complemento para 2. Para determinar o negativo de um número
negam-se todos os seus bits e soma-se uma unidade.
Exemplo
10010 = 011001002 utilizando 8 bits.
Invertendo todos os bits obtemos:
100110112
Somando uma unidade:
100110112 + 1 = 100111002 = -10010
A representação em complemento para 2 tem as seguintes características:
 O bit da esquerda indica o sinal;
 O processo indicado no parágrafo anterior serve para converter um número de
positivo para negativo e de negativo para positivo;
 O 0 tem uma representação única: todos os bits a 0;
 A gama de valores que é possível representar com bits é -2 n-1 ... 2 n-1 -1.
Exemplo
Qual o número representado por 111001002?
Como o bit da esquerda é 1 este número é negativo.
Vamos inverter:
000110112
Somando uma unidade:
000110112 + 1 = 000111002 = 2810
Logo
111001002 = - 2810
Exemplo
Representar os seguintes números com 16 bits.
0011101010
Positivo, logo:
0000000011101010
11011110
Negativo, logo:
1111111111011110
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Exercícios
1. Dados os números na base decimal, converte-os para as bases binária, hexadecimal e
octal.
a. 281 (10 )
b.
2437 (10)
c.
19 (10)
d.
41672 (10 )
e.
62462 (10 )
f.
256 (10)
2. Dados os números na base binária, converte-os para as bases decimal, hexadecimal e
octal.
a. 1111 ( 2 )
b. 11011011
( 2)
c.
11111111
( 2)
d.
0011 ( 2 )
e. 1110111001 101100
f.
1010101010
( 2)
( 2)
3. Dados os números na base hexadecimal, converte-os para as bases binária, decimal e
octal.
a. FF(16 )
b.
A10B(16)
c.
10 C 0 A(16)
d.
FFFF(16 )
e.
E12834 (16 )
f.
D(16 )
4. Dados os números na base octal, converte-os para as bases binária, decimal e
hexadecimal.
a. 7 (8)
b.
213 (8 )
c.
77 (8)
d.
6345 (8 )
e.
746325 (8)
f.
267 (8 )
5. Realiza as seguintes operações aritméticas.
a. 10011001 ( 2 )  01110 ( 2 )
b.
0110010111 001100
c.
101001 ( 2 )  1011 ( 2 )
( 2)
 1001110
( 2)
d. 1101001111 010101 ( 2 )  1110100110 11101 ( 2 )
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6. Para cada uma das contas abaixo
45 – 56
– 23 + 48
– 10 – 14
111 + 30
a. Represente a conta como soma de binários em complemento para 2 usando 8
bits.
b. Faça a conta em binário.
c. Converta o resultado binário obtido em decimal.
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