Geometria Plana – 2015
1. (Unicamp 2015) Seja r a reta de equação cartesiana x  2y  4. Para cada número real t
tal que 0  t  4, considere o triângulo T de vértices em (0, 0), (t, 0) e no ponto P de
abscissa x  t pertencente à reta r, como mostra a figura abaixo.
a) Para 0  t  4, encontre a expressão para a função A(t), definida pela área do triângulo T,
e esboce o seu gráfico.
b) Seja k um número real não nulo e considere a função g(x)  k x, definida para todo
número real x não nulo. Determine o valor de k para o qual o gráfico da função g tem
somente um ponto em comum com a reta r.
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2. (Uerj 2015) Uma ferramenta utilizada na construção de uma rampa é composta pela
seguinte estrutura:
- duas varas de madeira, correspondentes aos segmentos AE e AD, que possuem
comprimentos diferentes e formam o ângulo DÂE igual a 45;
- uma travessa, correspondente ao segmento BC, que une as duas varas e possui uma marca
em seu ponto médio M;
- um fio fixado no vértice A e amarrado a uma pedra P na outra extremidade;
- nesse conjunto, os segmentos AB e AC são congruentes.
Observe o esquema que representa essa estrutura:
Quando o fio passa pelo ponto M, a travessa BC fica na posição horizontal. Com isso, obtémse, na reta que liga os pontos D e E, a inclinação α desejada.
Calcule α, supondo que o ângulo AÊD mede 85.
3. (Unicamp 2015) A figura abaixo exibe um retângulo ABCD decomposto em quatro
quadrados.
O valor da razão
AB
BC
é igual a
5
.
3
5
b) .
2
4
c) .
3
3
d) .
2
a)
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4. (Unesp 2015) A figura representa duas raias de uma pista de atletismo plana. Fábio (F) e
André (A) vão apostar uma corrida nessa pista, cada um correndo em uma das raias. Fábio
largará à distância FB da linha de partida para que seu percurso total, de F até a chegada em
C', tenha o mesmo comprimento do que o percurso total de André, que irá de A até D'.
Considere os dados:
- ABCD e A 'B'C'D' são retângulos.
- B', A ' e E estão alinhados.
- C, D e E estão alinhados.
- A 'D e B'C são arcos de circunferência de centro E.
Sabendo que AB  10 m, BC  98 m, ED  30 m, ED'  34 m e α  72, calcule o
comprimento da pista de A até D' e, em seguida, calcule a distância FB. Adote nos cálculos
finais π  3.
5. (Fuvest 2015) No triângulo retângulo ABC, ilustrado na figura, a hipotenusa AC mede
12cm e o cateto BC mede 6cm.
Se M é o ponto médio de BC, então a tangente do ângulo MAC é igual a
a)
2
7
b)
3
7
c)
2
7
d)
2 2
7
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e)
2 3
7
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6. (Fuvest 2015) Na figura abaixo, a circunferência de centro em O e raio r tangencia o lado
BC do triângulo ABC no ponto D e tangencia a reta AB no ponto E. Os pontos A, D e O
são colineares, AD  2r e o ângulo ACO é reto. Determine, em função de r,
a) a medida do lado AB do triângulo ABC;
b) a medida do segmento CO.
7. (Ita 2015) Seja ABCD um trapézio isósceles com base maior AB medindo 15, o lado AD
ˆ reto. A distância entre o lado AB e o ponto E em que as
medindo 9 e o ângulo ADB
diagonais se cortam é
21
a)
.
8
27
b)
.
8
35
c)
.
8
37
d)
.
8
45
e)
.
8
8. (Unesp 2015) Em 09 de agosto de 1945, uma bomba atômica foi detonada sobre a cidade
japonesa de Nagasaki. A bomba explodiu a 500 m de altura acima do ponto que ficaria
conhecido como “marco zero”.
No filme Wolverine Imortal, há uma sequência de imagens na qual o herói, acompanhado do
militar japonês Yashida, se encontrava a 1km do marco zero e a 50 m de um poço. No
momento da explosão, os dois correm e se refugiam no poço, chegando nesse local no
momento exato em que uma nuvem de poeira e material radioativo, provocada pela explosão,
passa por eles.
A figura a seguir mostra as posições do “marco zero”, da explosão da bomba, do poço e dos
personagens do filme no momento da explosão da bomba.
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Se os ventos provocados pela explosão foram de 800 km h e adotando a aproximação
5  2,24, os personagens correram até o poço, em linha reta, com uma velocidade média,
em km h, de aproximadamente
a) 28.
b) 24.
c) 40.
d) 36.
e) 32.
9. (Pucpr 2015) Um mineroduto é uma extensa tubulação para levar minério de ferro extraído
de uma mina até o terminal de minério para beneficiamento. Suponha que se pretenda instalar
um mineroduto em uma mina que está à margem de um rio com 200 metros de largura até um
porto situado do outro lado do rio, 3.000 metros abaixo. O custo para instalar a tubulação no
rio é R$10,00 o metro e o custo para instalar a tubulação em terra é R$6,00 o metro. Estudos
mostram que, neste caso, o custo será minimizado se parte do duto for instalada por terra e
parte pelo rio. Determine o custo de instalação do duto em função de x, em que x é a
distância da mina até o ponto P, como mostra a figura.
a) C(x)  6x  10  200  3000  x  
b) C(x)  6 2002   3000  x   10x
2
c) C(x)  4 2002   3000  x 
2
d) C(x)  6x  10 2002   3000  x 
2
e) C(x)  10 2002   3000  x 
2
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10. (Uerj 2015) Um tubo cilíndrico cuja base tem centro F e raio r rola sem deslizar sobre um
obstáculo com a forma de um prisma triangular regular. As vistas das bases do cilindro e do
prisma são mostradas em três etapas desse movimento, I,II e III, nas figuras a seguir.
Admita que:
- as medidas do diâmetro do círculo de centro F e da altura do triângulo ABC são
respectivamente iguais a 2 3 decímetros;
- durante todo o percurso, o círculo e o triângulo sempre se tangenciam.
Determine o comprimento total, em decímetros, do caminho descrito pelo centro F do círculo
que representa a base do cilindro.
11. (Uerj 2015) Uma chapa de aço com a forma de um setor circular possui raio R e perímetro
3R, conforme ilustra a imagem.
A área do setor equivale a:
a) R2
b)
R2
4
c)
R2
2
d)
3R2
2
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12. (Pucrj 2015) A figura mostra um triângulo equilátero de lado 1, um círculo inscrito e um
segundo círculo tangente a dois lados do triângulo e tangente exteriormente ao primeiro
círculo.
a) Encontre o raio do maior círculo.
b) Encontre o raio do menor círculo.
c) Encontre a área da região sombreada, limitada por um lado do triângulo e pelos dois
círculos.
13. (Unicamp 2015) A figura abaixo exibe um círculo de raio r que tangencia internamente um
setor circular de raio R e ângulo central θ.
a) Para θ  60, determine a razão entre as áreas do círculo e do setor circular.
b) Determine o valor de cosθ no caso em que R  4r.
14. (Pucrj 2015) A medida da área, em cm2 , de um quadrado que pode ser inscrito em um
círculo de raio igual a 5 cm é?
a) 20
b) 25 2
c) 25
d) 50 2
e) 50
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15. (Unicamp 2015) A figura a seguir exibe um pentágono com todos os lados de mesmo
comprimento.
A medida do ângulo θ é igual a
a) 105.
b) 120.
c) 135.
d) 150.
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
t

a) Sabendo que P pertence à reta r, temos P   t, 2   . Além disso, para todo 0  t  4,

2
o triângulo T é retângulo em (t, 0). Em consequência, segue que
A(t) 
1 
t
t
 t   2      (t  4).
2

2
4
O gráfico da função A é uma parábola com concavidade voltada para baixo, e cujas raízes
são 0 e 4. Além disso, o vértice tem coordenadas (2, 1).
b) As abscissas dos pontos de interseção da reta y  
x  0, satisfazem a equação

x
k
 2 com a função g(x)  , sendo
2
x
x
k
 2   x2  4x  2k  0.
2
x
Para que exista um único ponto de interseção, o discriminante dessa equação deve ser igual a
zero, ou seja, Δ  (4)2  4  1 2k  0, o que implica em k  2.
Resposta da questão 2:
Considerando BC / /DF, temos:
ˆ  45  85  180  ADE
ˆ  50
ADE
ˆ  180  45  67,5
ADF
2
Portanto, α  67,5  50  17,5  1730'
Resposta da questão 3:
[A]
Há três tipos de quadrados, com
3

1 2
1
 3  1. Portanto, temos

2
AB
BC


3
sendo os seus lados. É fácil ver que
3

3
2

2
 2
1
e
5
.
3
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Resposta da questão 4:
Se ABCD e A 'B'C'D' são retângulos e os percursos de Fábio e André têm o mesmo
comprimento, então
FB  B'C  A 'D
2π

 (40  30)
5
 12 m.
Resposta da questão 5:
[B]
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, vem
2
2
2
2
AC  AB  BC  AB  122  62
 AB  108
 AB  6 3 cm.
Do triângulo ABM encontramos
tgBAM 
BM
AB
 tgBAM 
3
6 3

3
.
6
É fácil ver que tgBAC  2  tgBAM. Logo, obtemos
tgMAC  tg(BAC  BAM)



2  tgBAM  tgBAM
1  2  tgBAM  tgBAM
tgBAM
1  2  tg2 BAM
3
6
 3
1 2  

 6 

3 6

6 7

3
.
7
2
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Resposta da questão 6:
a) No ΔAOE : AE2  r 2   3r   AE  8r 2  AE  2r 2
2
ΔADB ~ ΔAEO 
AB
2r
3r
3 r  2

 AB 
 AB 
3r
2
2 2 r
2
b) No ΔACO, temos:
CO2  (2r  r)  r  CO2  3  r 2  CO  r  3
Resposta da questão 7:
[E]
No ΔABD, temos:
BD2  92  15  BD  12
ΔBEM
15
EM
45
ΔADB 
 2  EM 
9
12
8
Portanto, a distância pedida é
45
.
8
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Resposta da questão 8:
[D]
A distância d do ponto em que a bomba explodiu até o poço é dada por
d2  12  (0,5)2  d  1,25
 d  0,5  2,24
 d  1,12km.
1,12
 0,0014 h e, portanto, podemos
800
0,05
concluir que a velocidade média dos personagens foi de
 36km h.
0,0014
Desse modo, a nuvem de poeira atinge o poço em
Resposta da questão 9:
[D]
O custo total será dado por: C(x)  6  x  10  d
Onde, d 
 3000  x 2  2002
Daí, temos:
C(x)  6  x  10 
3000  x 2  2002
Portanto, a opção correta é C(x)  4 2002   3000  x  .
2
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Resposta da questão 10:
Na figura, temos:
3
tg60 
 x 1
x
a 3
2 3 a4
2
2π  3  120 2π 3
y

360
3
Portanto, a distância d percorrida pelo centro F é dada por:

2π 3 
d  a  x  a  x  y  6 
 dm

3 

Resposta da questão 11:
[C]
A área do setor é dada por
R  AB R  R R2


.
2
2
2
Resposta da questão 12:
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a) R 
b) r 
1
3
3
 1

3
2
6
1  3 2 3
3


 

3  2
6  18
c) Teremos:
(R  r)2  x 2  (R  r)2
R2  2Rr  r 2  x 2  R2  2  R  r  r 2
x 2  4Rr
x2  4 
x
3 3

6 18
1
3
A  A(trapézio)  A(setor I)  A(setor II)
2
 3
1  3
3 1 1
1  3
A  

    π  
  π  


2  6
18  3 3
6  6 
 18 
A
2
3
π
π


27 324 72
Resposta da questão 13:
a) Considere a figura.
Como o círculo e o setor são tangentes internamente, temos AC  R, OB  OC  r e
BAO  30. Logo, segue que AO  AC  OC  R  r. Portanto, do triângulo ABO, vem
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senBAO 
OB
AO
 sen30 

r
Rr
r 1

R 3
Em consequência, a razão pedida é igual a
2
πr 2
2
r
 6   .
R
3
2 60
πR 
360
b) Se R  4r, então, do triângulo ABO, obtemos
sen
θ
r
θ 1

 sen  .
2 Rr
2 3
Por conseguinte, vem
cos θ  1  2sen2
 1
 1 2   
3
7
 .
9
θ
2
2
Resposta da questão 14:
[E]
Na figura x é a medida do lado do quadrado e AC  10cm, daí temos:
x2  x2  102  x2  50
Portanto, a área do quadrado é 50cm2 .
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Resposta da questão 15:
[B]
Considere o pentágono equilátero ABCDE de lado
da figura.
É fácil ver que o triângulo CDE é isósceles, com CD  ED.
Sabendo que BAE  90, tem-se que o triângulo ABE é retângulo isósceles, com BE 
2.
Em consequência, sendo ABC  135, concluímos que o triângulo ABC é retângulo em B.
Agora, pelo Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo BCE, encontramos CE 
3.
Finalmente, aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo CDE, vem
(
3)2 
2

2
 2    cos θ  cos θ  
1
2
 θ  120.
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