TRABALHO E ENERGIA
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CAPÍTULO 4
TRABALHO E ENERGIA
4.1 MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL COM FORÇAS CONSTANTES
Consideremos um bloco em contato com uma superfície horizontal, conforme mostra a
G
figura 4.1. Vamos determinar o trabalho efetuado por uma força F para deslocar o bloco de um
certo ∆x.
Figura 4.1
G
O trabalho W de uma força constante F que provoca, no ponto de aplicação, um
deslocamento ∆x é definido por
G
G
G
G
G
G
W = F ⋅ ∆x i = Fx i ⋅ ∆x i = F cos θ i ⋅ ∆x i
( )
(
W = F cos θ ∆x
)
4.1
G
onde θ é o ângulo entre F e o eixo dos x.
-
W será positivo se Fx e ∆x tiverem sinais iguais.
-
W será negativo se Fx e ∆x tiverem sinais opostos.
Unidades de trabalho no SI: 1J = 1 N.m
4.2 O TEOREMA DA ENERGIA CINÉTICA
Há uma importante relação entre o trabalho efetuado sobre uma partícula, ou corpo rígido, e
as velocidades inicial e final destes.
dá
Se Fx é a resultante das forças que atuam sobre uma partícula, a segunda lei de Newton nos
Fx = ma x
4.2
O trabalho efetuado pela resultante das forças é igual ao trabalho total efetuado sobre a
partícula
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TRABALHO E ENERGIA
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Wtotal = Fx ∆x = ma x ∆x
4.3
Se a força for constante, a aceleração é constante, e podemos escrever a equação de
Torricelli
1 (v f2 − v i2 )
v = v + 2a x ∆x ⇒ a x =
2 ∆x
2
f
2
i
4.4
Substituindo a equação 33 na equação 32, temos
Wtotal =
1
1
mv f2 − mv i2 = K f − K i
2
2
4.5
onde mv2/2 é a energia cinética K da partícula, e é uma grandeza escalar.
Logo, o trabalho efetuado sobre uma partícula é a variação da energia cinética da partícula.
Exemplo 4-1: Um trenó é rebocado por uma pessoa sobre um campo gelado. A pessoa puxa o trenó
(massa total de 80 kg) com uma força de 180 N, fazendo um ângulo de 20° com a horizontal.
Calcular (a) o trabalho efetuado pela pessoa e (b) a velocidade do trenó depois de cobrir 5 m.
Admitir que o trenó parte do repouso e que a força de atrito é desprezível.
a) Diagrama de Forças
Wtotal = Fx ∆x = (F cos 20° ) ∆x = (180 N )(cos 20° )(5m ) = 846J
Wtotal = 846J
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b) O teorema da energia cinética nos leva à velocidade final:
Wtotal =
vf =
1
1
1
mv f2 − mvi2 = mv f2
2
2
2
2Wtotal
=
m
2(846J )
80kg
v f = 4,60 m / s
4.3 TRABALHO DE UMA FORÇA VARIÁVEL
Muitas forças variam com a distância. A força de uma mola espiral, por exemplo, é
proporcional à extensão ou à compressão da mola. A força gravitacional da Terra sobre uma nave
espacial varia inversamente ao quadrado da distância entre os dois corpos. Uma força variável pode
ser aproximada por uma seqüência de forças constantes (figura 4.2), sobre pequenos intervalos.
Figura 4.2
O trabalho de cada força resultante, no respectivo intervalo, é representado pela área do
retângulo correspondente. A soma dessas áreas corresponde ao trabalho efetuado pelas forças
constantes que são aproximações da força variável. No limite de ∆x muito pequeno, a soma das
áreas dos retângulos é a área subtendida pela curva toda.
Dessa forma,
W = lim
∆x i →0
∑ F ∆x
x
i
= área subtendida pela curva de Fx contra x
4.6
i
O limite da soma é a integral de Fx sobre x. Então, o trabalho da força variável Fx que
atua sobre uma partícula que se desloca de x1 até x2 é
x2
W = ∫ Fx dx = área subtendida pela curva de Fx contra x
x1
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4.7
TRABALHO E ENERGIA
70
Exemplo 4-2: Uma força Fx varia com x conforme mostra o gráfico da figura abaixo. Calcular o
trabalho feito pela força sobre uma partícula que se desloca, sob a sua ação, de x = 0 até x = 6 m.
O trabalho é a área subtendida pela curva de Fx contra x: W = A = A1 + A2
W = (5 N )(4m ) +
1
(5N )(2m ) = 25J
2
Exemplo 4-3: Um corpo de 4 kg está pousado numa mesa
G sem atrito e preso a uma mola horizontal
G
que exerce uma força dada pela lei de Hooke F = − kx i com k = 400 N/m e x em metros medido a
partir da posição de equilíbrio da mola. Originalmente, a mola está comprimida com o corpo em x1
= -5 cm. Calcular (a) o trabalho feito pela mola sobre o corpo no deslocamento de x1 = - 5 cm até a
posição de equilíbrio x2 = 0 e (b) a velocidade do corpo em x2 = 0.
a) O trabalho W da mola sobre o corpo é a integral de Fx dx de x1 = - 5 cm até x2 = 0.
x2
0
0
0
 x 1+1 
1
 = − k 0 2 − x 12
W = ∫ Fx dx = ∫ − kx dx = − k ∫ x dx = − k 
2
 1 + 1  x1
x1
x1
x1
W=
(
1
(400 N / m )(0,05m )2 = 0,5 J
2
Podemos também calcular o trabalho fazendo o gráfico da força Fx contra x:
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)
TRABALHO E ENERGIA
O trabalho é a área sob a curva: W =
71
1
(0,05m )(20 N ) = 0,5 J
2
b) Com o teorema da energia cinética e v1 = 0 podemos calcular v2:
W=
v2 =
1
1
1
mv 22 − mv12 = mv 22
2
2
2
2W
2(0,5J )
=
= 0,5 m / s
m
4kg
4.4 TRABALHO E ENERGIA EM TRÊS DIMENSÕES
Em três dimensões o trabalho é o produto escalar da força pelo deslocamento
G G
W = F⋅ r
4.8
G
G
onde F é a força e r é o deslocamento sofrido pelo corpo.
Em três dimensões o trabalho também é proporcional à variação da energia cinética,
de tal modo que podemos escrever
W = K f − K i = ∆K
4.9
4.5 ENERGIA POTENCIAL E FORÇAS CONSERVATIVAS
Uma força é conservativa se for nulo o trabalho que ela efetua sobre uma partícula que
descreve uma trajetória fechada e retorna à posição inicial. Dessa forma, o trabalho efetuado por
uma força conservativa não depende da trajetória da partícula, mas somente dos pontos inicial e
final.
A energia potencial associada ao trabalho é
W = − ∆U = − U f − U i
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4.10
TRABALHO E ENERGIA
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-
Energia potencial gravitacional nas vizinhanças da superfície da Terra:
U = U 0 + mgh
4.11
onde U0 é uma constante, e seu valor é o valor da energia potencial em h = 0.
-
Energia potencial de uma mola:
1
U = Kx 2
2
4.6
4.12
POTÊNCIA
A potência P proporcionada por uma força é a taxa temporal com que ela efetua trabalho.
G
Seja uma partícula com a velocidade instantânea v . Num pequeno intervalo de tempo dt, o
G
deslocamento da partícula é v dt . O trabalho feito neste intervalo de tempo é
G G G G
dW = F ⋅ r = F ⋅ v dt
4.13
A potência então é dada por:
P=
dW G G
= F⋅ v
dt
4.14
Unidade de potência no SI: [P] = W (watt) = 1 J/s
Exemplo 4-4: Um pequeno motor é usado para operar um elevador de carga que movimenta um
lote de tijolos, de 800 N, até uma certa altura de 10 m, em 20 s. Qual a potência mínima do motor?
a) Diagrama de Forças
y
G
F
G
P
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TRABALHO E ENERGIA
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∆y 10m
=
= 0,5m / s
∆t 20s
Potência do motor: P = F . v = (800 N) (0,5 m/s) = 400 Nm/s = 400 J/s = 400 W
Velocidade dos tijolos: v =
P = 400 W
4.7
POTÊNCIA CONSTANTE COM ACELERAÇÃO
Imaginemos a força resultante Fx atuando sobre uma partícula em uma dimensão. A taxa
temporal do trabalho efetuado pela força é
P = Fx v x
4.15
mas Fx = m ax,0
 dv  d  1
 dK
P = ma x v x = m v x  x  =  mv 2x  =
 dt
 dt  dt  2
4.16
Sendo P constante, e integrando sobre ∆t,
P∆t = ∆K (potência constante)
4.17
O intervalo de tempo para um avião ou automóvel, acelerar, a potência constante, de uma
velocidade a outra é proporcional à variação de energia cinética.
4.8
RENDIMENTO
Uma máquina em que o trabalho recebido é igual ao trabalho produzido é chamada de
máquina “ideal”. Em uma máquina real, as forças de atrito sempre efetuarão algum trabalho, e o
trabalho produzido será menor que o trabalho recebido.
O rendimento mecânico de uma máquina é definido pela relação
η=
trabalho produzido
trabalho recebido
η = 1 ⇒ máquina ideal
η < 1 ⇒ máquina real
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4.18
TRABALHO E ENERGIA
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4ª LISTA DE EXERCÍCIOS
1.
Para puxar um caixote de 50 kg em um piso horizontal sem atrito, um trabalhador aplica uma
força de 210 N, fazendo um ângulo de 20° para cima medido a partir da horizontal. Quando o
caixote se move de 3,0 m, qual o trabalho realizado sobre o caixote (a) pela força do
trabalhador, (b) pela força gravitacional que atua sobre o caixote e (c) pela força normal que o
piso exerce sobre o caixote? (d) Qual é o trabalho total realizado sobre o caixote?
R: a) 590 J; b) 0; c) 0; d) 590 J
2.
Um trenó pequeno, de um lugar, e seu piloto, com uma massa total de 85 kg, emergem de uma
trilha em declive para uma trilha reta e horizontal com uma velocidade inicial de 37 m/s. Se eles
param com uma desaceleração constante de 2,0 m/s2, (a) qual a intensidade F da força necessária
para esta desaceleração, (b) qual a distância d que eles percorreram enquanto eram desacelerados
e (c) qual o trabalho W realizado sobre eles pela força de desaceleração? Quais os valores de (d)
F, (e) d e (f) W para uma desaceleração de 4,0 m/s?
R: a) 170N; b)340 m; c) –5,8 x 104 J; d) 340 N; e) 170 m; f) –5,8 x 104 J
3.
A figura ao lado mostra três forças aplicadas a um baú que se move
para a esquerda por 3,0 m sobre um piso sem atrito. Os módulos das
forças são F1 = 5,00 N, F2 = 9,00 N e F3 = 3,00 N. Durante o
deslocamento, (a) qual é o trabalho resultante que as três forças
realizam sobre o baú, e (b) a energia cinética do baú aumenta ou
diminui? Justifique. R: a) 1,50 J; b) aumenta
4.
A figura ao lado mostra uma vista superior de três forças horizontais
agindo sobre uma caixa de carga que estava inicialmente em repouso,
mas que agora se move em um piso sem atrito. As intensidades das
forças são F1 = 3,00 N, F2 = 4,00 N e F3 = 10,00 N. Qual é o trabalho
resultante realizado sobre a caixa pelas três forças durante os
primeiros 4,00 m de deslocamento? R: 15,3 J
5.
Na figura abaixo, uma corda passa por duas roldanas de massas e atritos
desprezíveis; uma lata cilíndrica metálica de massa m = 20G kg está
pendurada em uma das roldanas. Se você exercer uma força GF sobre a
extremidade livre da corda, (a) qual deve ser a intensidade de F a fim de
que a lata seja suspensa com velocidade constante? (b) Para suspender a
lata de 2,0 cm, quantos centímetros você deve puxar a extremidade livre
da corda? Durante esse levantamento, qual é o trabalho realizado sobre a
lata (c) pela sua força (transmitida via corda) e (d) pela força
gravitacional sobre a lata? (Sugestão: Quando uma corda passa em volta
de uma roldana como mostrado, ela puxa a roldana com uma força
resultante que é o dobro da tração na corda.) R: a) 98,0 N; b) 4,0 cm; c)
3,9 J; d) – 3,9 J
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TRABALHO E ENERGIA
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6.
Uma corda é usada para baixar verticalmente um bloco de massa M, inicialmente em repouso,
com uma constante aceleração para baixo de g/4. Quando o bloco tiver caído uma distância d,
encontre (a) o trabalho realizado pela força da corda sobre o bloco, (b) o trabalho realizado pela
força gravitacional sobre o bloco, (c) a energia cinética do bloco e (d) a velocidade do bloco.
R: -3Mgd/4; b) Mgd; c) Mgd/4; d) gd / 2
7.
Uma mola com constante de mola de 15 b N/cm tem uma gaiola presa a uma das suas
extremidades (figura abaixo). (a) Quanto trabalho a força da mola realiza sobre a gaiola quando
a mola for esticada de 7,6 mm a partir de sua posição indeformada? (b) Quanto trabalho
adicional será realizado pela força da mola quando a mola for esticada outros 7,6 mm?
R: a) – 0,43 J; b) – 0,13 J
8.
Uma partícula de 3 kg tem a velocidade de 2 m/s quando está em x = 0. Sobre a partícula atua
uma única força Fx que varia com a posição, como mostra o gráfico da figura abaixo. (a) Qual a
energia cinética da partícula em x = 0? (b) Que trabalho é feito pela força quando a partícula se
desloca de x = 0 até x = 4 m? (c) Qual a velocidade da partícula em x = 4 m? R: a) 6 J; b) 12 J;
c) 3,46 m/s
9.
Uma força Fx atua sobre uma partícula. A força varia com a posição conforme a equação Fx =
Cx3, em que C é uma constante. Calcular o trabalho da força sobre a partícula quando esta se
desloca de x = 1,5 m até x = 3 m. R: 19C J
10. Um corpo de 3 kg está se deslocando com a velocidade de 2,40 m/s, na direção dos x positivos,
quando passa pela origem. Sobre ele atua uma força Fx que varia com x conforme a figura
abaixo. (a) Qual o trabalho da força entre x = 0 e x = 2 m? (b) Qual a energia cinética do corpo
em x = 2 m? (c) Qual a velocidade do corpo em x = 2 m? (d) Qual o trabalho sobre o corpo de x
= 0 até x = 4 m? (e) Qual a velocidade do corpo em x = 4 m? R: a) 2,75 J; b) 11,4 J; c) 2,76
m/s; d) 3,5 J; e) 2,84 m/s
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11. Uma vara retilínea, de massa desprezível, está montada num pivô sem atrito, como mostra a
figura. As massas m1 e m2 estão penduradas nas distâncias l1 e l2, respectivamente. (a) Dar a
expressão da energia potencial gravitacional das massas em função do ângulo θ entre a vareta e
a horizontal. (b) Que ângulo θ corresponde ao mínimo da energia potencial? A afirmação “os
sistemas tendem a se deslocar para a configuração de energia potencial mínima” é compatível
com o resultado encontrado? (c) Mostrar que, se m1l1 = m2l2, a energia potencial não depende de
θ. Quando vale a igualdade o sistema está em equilíbrio qualquer que seja θ. Este resultado é a
lei do equilíbrio das alavancas, de Arquimedes.) R: a) U(θ) = g senθ (m2 l2 – m1 l1) b) θ = π/2
12. Um dos guindastes mais poderosos em atividade, operando na Suíça, pode levantar lentamente
uma carga M = 6000 toneladas métricas até a altura h = 12,0 m. (a) Qual o trabalho do
guindaste nestas circunstâncias? (b) Se o levantamento da carga, a velocidade constante, durar
1,00 min, qual a potência do motor do guindaste? R: a) 706 MJ; b) 11,8 MW
6
13. A água de uma represa é canalizada para uma turbina à taxa de 1, 5 x 10 kg/min. A turbina está
localizada 50 m abaixo do nível da água na represa e na sua saída a corrente de água tem a
velocidade de 5m/s. (a) Desprezando quaisquer dissipações de energia, qual a potência da
turbina? (b) Quantas pessoas consumiriam a energia desta turbina se cada uma consumisse 3 x
1011 J de energia por ano? R: a)1,2 MW; b) 1261 cidadãos
14. Para operar um dos geradores da represa do Grand Coulee, em Washington, é necessária a
potência mecânica de 7,24 x 108 W. Essa potência é proporcional pela gravidade ao efetuar
trabalho sobre a água, que cai de uma altura de 87 m na turbina do gerador. A energia cinética
adquirida na queda provoca a rotação do gerador. (a) Provar que a potência disponível na água
é mgh/t, onde m é a massa de água que cai de uma altura h durante o tempo t. (b) Calcular a
vazão em quilogramas por segundo. (c) Determinar o volume de água necessário para acionar o
gerador durante um dia. (d) Se a água usada em um dia fosse armazenada num lago circular de
10 m de profundidade, qual seria o raio do lago? R: b) 8,49 x 105 kg/s; c) 7,34 x 107 m3; d) 1,53
km
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