NOTAS DE AULA
Prof. Pedro Donizete Parzzanini
Introdução
Geodésia é a ciência que estuda o
conjunto de métodos e procedimentos
adotados para definir a forma e a
dimensão da terra, o seu campo de
gravidade e suas variações temporais,
tendo
como
principal
objetivo
a
determinação de coordenadas de pontos
situados sobre a superfície terrestre.
Divisões da Geodésia
Geodésia Geométrica
estuda o tamanho e forma da terra,
a determinação das coordenadas dos pontos, comprimento e
azimutes de linhas da superfície terrestre.
Geodésia Física estuda o campo de gravidade da Terra ou
direção e magnitude das forças que mantêm os corpos na
superfície e atmosfera da terra.
Geodésia Espacial
estuda a determinação de pontos na
superfície terrestre através da observação de satélites artificiais
Histórico
Até o século IV antes de cristo os sábios acreditavam que
a terra era plana e que era circundada pelas águas dos
mares.
Pitágoras (580-500 a.c.) introduziu pela primeira vez a
ideia da Terra esférica
Aristóteles (384-322 a.c.) Introduz pela 1ª vez a hipótese
da atração da gravidade e formula os primeiros
argumentos plausíveis para a esfericidade da terra, que
são:
Contorno circular da sombra da Terra sobre a Lua
Variação do aspecto do céu estrelado com a latitude.
Para lugares diferentes os eclipses ocorrem a horas diferentes
Histórico
Erastótenes(276 – 175 AC), considerado o pai da
Geodésia, por volta de 220 AC idealizou uma maneira
para a determinação do raio da terra.
Observou que no dia 21 de junho em Siena os raios do sol iluminavam o fundo de um poço e que neste
mesmo dia os raios do sol em Alexandria eram inclinados em 1/50 do círculo completo, que equivale a
7º12`
Considerou que a distância entre Siena e Alexandria era de 5000 Stadia. Não se sabe ao certo se
Erastótenes mediu a distância entre Siena e Alexandria ou se ele utilizou os dados obtidos por
agrimensores da época.
Considerando que o valor de 01 stadium era de 157,5m chega-se ao valor de 6.266.726m.
Histórico
Histórico
Cláudio Ptolomeu (100-178 DC) viveu no Egito e foi o
autor do sistema geocêntrico que atravessou intacto 14
séculos até ser desmentido por Copérnico.
Em 1619, na França, Picard, utilizando pela primeira vez
uma luneta com retículos, estabeleceu uma rede de
triangulação e mediu o arco de meridiano, de Paris a
Amiens, em função do qual calculou o raio da Terra.
Obteve o valor de 6.372,0 km. Newton utilizou o
resultado obtido por Picard, na sua teoria da gravitação
universal.
O polonês Copérnico destruiu o mito da imobilidade da
Terra, que remontava a Aristóteles, conferindo-lhe além
do movimento de rotação o movimento de translação em
torno do Sol.
Triangulações Geodésicas no Brasil
Formas de Representação da Terra
Geoide:
Superfície equipotencial que coincide com
nível médio das águas tranquilas dos mares prolongado
pelos continentes. É a superfície que melhor representa
a forma da terra mas, por se tratar de uma superfície
complexa e não desenvolvível matematicamente não é
utilizado como referência para o cálculo de posições
planimétricas de pontos situados sobre a terra. É
utilizado como referência para o cálculo das altitudes
ortométricas.
Formas de Representação da Terra
Elipsóide de Revolução:
Sólido geométrico
gerado pela rotação da elipse em torno do seu semi-eixo
menor. É a superfície matemática adotada pelos
geodesistas para todos os cálculos geodésicos.
Formas de Representação da Terra
Esfera:
Em alguns cálculos geodésicos o elipsóide
pode ser substituído por uma esfera, sem perda
apreciável de precisão. Neste caso o raio da esfera a
ser utilizada deve ser determinado de forma que a
precisão do trabalho não seja comprometida pelo uso da
esfera em substituição ao elipsóide. A esfera assim
determinada é chamada de esfera local.
Circulo Máximo: É todo círculo da superfície
terrestre que tem seu centro coincidente com o
centro do globo terrestre.
Milha Náutica: Corresponde ao comprimento
sobre a superfície da terra do arco de meridiano
que subtende um ângulo de 1 minuto no centro
da terra. 1MN=1’=1852m
Formas de Representação da Terra
Plano:
É a forma adotada na topografia. Como
sabemos a topografia se preocupa em representar uma
porção limitada da superfície terrestre, pois na
topografia a curvatura resultante da esfericidade
terrestre é desprezada. Desta forma na topografia
utilizamos um plano horizontal tangente ao esferoide
terrestre no ponto central da área a ser levantada.
Formas de Representação da Terra
Sistema de Coordenadas
Elipsoidais – Cartesianas Tridimensionais
Sistema geocêntrico cartesiano de três
eixos ortogonais (X,Y,Z) utilizado para
calcular posições em geodésia pelo sistema
GPS
Eixo X: Pertence ao plano do equador positivo apontando para a longitude zero (Grw).
Eixo Y: Pertence ao plano do equador positivo apontando para longitude 90° Este Grw.
Eixo Z: Coincidente com o eixo de rotação da Terra positivo para Norte.
Sistema de Coordenadas
Elipsoidais – Geodésicas Curvilíneas
Latitude Geodésica é o ângulo formado entre a normal que passa pelo ponto P e a sua projeção
sobre o plano do equador.
Longitude Geodésica é o ângulo diedro formado pelo meridiano geodésico de Greenwich e pelo
meridiano geodésico do ponto P
Altitude Geodésica é a distância contada sobre a normal desde a superfície terrestre até o
elipsóide
Altitudes
Altitude
Ortométrica
Altitude Elipsoidal
Superfície Terrestre
Elipsóide
Geóide
Ondulação geoidal - N
H=h–N
H = Altitude ortométrica
h = Altitude elipsoidal
N = Ondulação geoidal
Convenção:
N + = Geóide acima do elipsóide
N - = Geóide abaixo do elipsóide
h é obtido diretamente a partir da utilização
de receptores de sinais do sistema GPS.
N é obtido a partir de um mapa geoidal,
sendo que para o Brasil o mapa geoidal
atual é o MAPGEO2010
Sistema de Referência Astronômico
As coordenadas determinadas através da posição das estrelas são
chamadas de coordenadas astronômicas
Não são mais usadas porque são dependentes da vertical do local
e portanto sujeitas a variações devido a anomalias das massas.
As coordenadas astronômicas são determinadas em relação ao
geóide portanto a linha projetante é a vertical
Latitude Astronômica ou Geográfica é o ângulo formado pela vertical que
passa pelo ponto com sua projeção equatorial
Longitude Astronômica ou Geográfica é o ângulo diedro formado pelo
meridiano astronômico de Greenwich e pelo meridiano astronômico do ponto
Altitude Ortométrica é a distância contada sobre a vertical desde a superfície
terrestre até o geóide
Coordenadas Geodésicas e Astronômicas
Desvio da vertical (i) é o ângulo formado entre a normal
e a vertical.
O cálculo do desvio da vertical não é feito diretamente,
mas sim através de seus componentes ξ e η e
chamados respectivamente de componente meridiana e
componente 1º vertical (GEMAEL, 1999, p.19).
Componentes do Desvio da Vertical
O Elipsóide de Revolução
Parâmetros Definidores de um Elipsóide: Um elipsóide fica
perfeitamente definido por meio de dois parâmetros, o semi-eixo
maior a e o semi-eixo menor b. Em geodésia o elipsóide é
tradicionalmente definido pelo semi-eixo maior a e o achatamento f.
O achatamento f é definido por: f = (a-b)/a
Por exemplo os parâmetros do SAD69 são:
a = 6378160m
f = 1/298,25
Excentricidade: A excentricidade é a relação entre a semi-distância
focal c e o semi-eixo maior da elipse a, traduz a divergência da
elipse em relação a circunferência. O valor da excentricidade varia
entre 0 e 1. O elipsóide estudado em geodésia tem excentricidade
fraca com valor próximo de zero
Nos cálculos geodésicos quase sempre utilizamos o quadrado da
excentricidade que é dada pela seguinte fórmula: e2= (a2-b2)/a2
A segunda excentricidade e’ ao quadrado também muito comum em
cálculos geodésicos é dada por: e’2= (a2-b2)/b2
Sistema Geodésico Brasileiro (SGB)
O IBGE responsável pela definição, implantação e manutenção do
SGB resolveu através da resolução R.PR 1/2005 adotar como
sistema geodésico de referência para o SGB o Sistema de
Referência Geocêntrico para as Américas SIRGAS2000:
Caracterização do Sirgas2000:
Elipsóide: GRS 1980
Semi-eixo maior a = 6378137m
Achatamento: f = 1/298,257222101
Origem: Datum geocêntrico, ou seja, centro do elipsóide coincidente
com o centro de massa da terra
O IBGE estipulou um prazo de 10 anos para a transição do
SAD1969 para o SIRGAS2000, durante este período os dois
sistemas poderão ser utilizados
Sistema Geodésico Brasileiro (SGB)
Caracterização do SAD 1969
Elipsóide:Elipsóide Internacional de 1967
a = 6.378.160,00m f = 1/298,25.
Orientação: Datum topocêntrico, ou seja, o ponto geodésico de
origem está sobre a superfície terrestre e é escolhido de forma a se
a se ter a melhor coincidência entre o elipsóide e o geóide para a
área a ser representada.
Ponto Datum: Vértice de triangulação CHUÁ
Φ = 19°45’41,6527”S
λ = 48°06’04,0639”W
Azimute geodésico para VT-Uberaba = 271°30’04,05”SWNE
Ondulação geoidal = 0,00m
O elipsóide utilizado pelo sistema GPS é o WGS84 e seus
parâmetros são os seguintes:
a = 6378137m f = 1/298,257223563
Datum Geocêntrico x Topocêntrico
Enquanto no datum topocêntrico
procura-se fazer coincidir o
geóide com o elipsóide nas
vizinhanças do ponto de fixação
no datum geocêntrico busca-se
minimizar as diferenças entre
ambos, em todo o globo.
Grande Normal e Pequena Normal
A linha projetante perpendicular ao
elipsóide chama-se normal que na
figura é representada pelo segmento
P’P’’’. A normal é dividida ou
caracterizada por duas partes que
são a grande e pequena normal:
P’P’’’ = N = Grande Normal
P’P’’ = N’ = Pequena Normal
Os comprimentos da grande e pequena normal variam com a latitude e podemos observar
que para a latitude de zero graus a grande normal é igual ao semi-eixo maior do elipsóide.
Para o cálculo do comprimento da grande e pequena normal utilizamos as seguintes
formulas.
Latitude Geocêntrica
Latitude geocêntrica ( ) de um ponto P é o ângulo que o raio
vetor(distância que vai do centro do elipsóide até o ponto P) forma
com sua projeção sobre o plano do equador.
O comprimento do raio vetor pode ser calculado da seguinte maneira:
Transformação entre Coordenadas
Geodésicas e Cartesianas
Geodésicas para Cartesianas
= Latitude
= Longitude
N = Grande Normal
h = Altitude Elipsoidal
e = Excentricidade
Transformação Coordenadas Geodésicas
e Cartesianas
Cartesianas para Geodésicas
= Latitude
= Longitude
a = Semi-eixo maior
b = Semi-eixo menor
e = Excentricidade
e’= Segunda excentricidade
N = Grande normal
θ = Ângulo teta, não confundir com a Latitude( ).
Seções Normais do Elipsóide
Por um ponto A sobre a superfície do elipsóide
de revolução é possível conduzir infinitos planos
que contém a normal à superfície. Qualquer
plano que contém a normal e portanto seja
perpendicular ao plano tangente ao elipsóide
nesse ponto é chamado de plano normal. A
curva resultante da interseção de um plano
normal com a superfície episódica chama-se
seção normal. Chama-se raio de curvatura
principal em um ponto A de uma superfície, à
seção produzida por um plano normal à mesma,
tal que o raio de curvatura correspondente seja o
máximo ou o mínimo dentre todos os possíveis.
Em cada ponto do elipsóide existem duas
seções normais principais que são mutuamente
perpendiculares e cujas curvaturas nesse ponto
são, uma máxima e uma mínima.
As seções principais do elipsóide são, a da
elipse meridiana, chamada de seção meridiana,
com curvatura máxima e a seção primeiro
vertical que é produzida por um plano que
contém a normal no ponto A e é perpendicular a
seção meridiana, cuja curvatura é mínima. No
polo, onde Φ = 90° o raio de curvatura da seção
meridiana e primeiro vertical são iguais, em
qualquer outra região o raio da seção primeiro
vertical é maior do que o raio da seção
meridiana. Os raios da seção meridiana e seção
primeiro vertical são representadas pelas letras
M e N respectivamente.
Seções Normais do Elipsóide
Raio da Seção Meridiana:
Raio da Seção Primeiro Vertical:
Raio Médio de Curvatura:
Raio do Paralelo:
Raio vetor: é a distância entre um ponto situado sobre a superfície do
elipsóide e o centro do elipsóide, pode ser calculado a partir das
coordenadas cartesianas tridimensionais de P(X,Y,Z) pela seguinte fórmula:
RV = ( X2 + Y2 + Z2 )1/2
Seções Normais do Elipsóide
Teorema de Euler:
A curvatura de uma seção normal qualquer é igual a soma dos
produtos das curvaturas das seções normais principais,
respectivamente pelo quadrado do cosseno e do seno do ângulo
que a seção forma com o plano de uma das seções principais.
Onde Az é o azimute da seção normal qualquer, ou seja, o ângulo
formado por esta seção e pela seção meridiana
Exercício
Para o ponto de coordenadas abaixo referenciado ao datum
SIRGAS2000 pede-se:
A)
B)
C)
D)
E)
F)
G)
H)
I)
J)
K)
Lat: -20° 12' 39,65354”
Elipsóide SIRGAS2000
Long: -42° 52' 10,47662”
a = 6378137m
Alt. 678,111m
f = 1/298,257222101
Semi-eixo menor do elipsóide
Excentricidade ao quadrado
Segunda excentricidade ao quadrado
Grande normal
Coordenadas cartesianas X, Y e Z
Raio da seção meridiana
Raio da seção primeiro vertical
Raio médio
Raio do paralelo que contém o ponto
Raio Vetor
Raio de uma seção normal qualquer que tem azimute de 30°
Seções Normais Recíprocas e Linha
Geodésica
Sejam dois pontos P1 e P2 sobre
a superfície de um elipsóide de
revolução, com latitudes e
longitudes diferentes.
As
normais
à
superfície
elipsóidica
de
cada
ponto
interceptam o eixo Z em dois
pontos diferentes n1 e n2 . Os
segmentos de reta definidos por
P1 n1 = N1 e P2 n2 = N2 são as
grandes normais dos pontos P1 e
P2 .
As normais não se interceptam ,
embora encontrem o eixo de
rotação.
Do exposto, vemos que elas não
pertencem a um mesmo plano.
Seções Normais Recíprocas e Linha
Geodésica
A seção normal resultante da interseção do
plano que contém a normal em P1 e o
Ponto P2, com o elipsóide de revolução, é
dita “seção normal direta” em relação a P1 ,
ou “seção normal recíproca” em relação em
relação a P2, indicada por uma seta no
sentido de P2 .
A seção normal resultante da interseção do
plano que contém a normal em P2 e o ponto
P1 , com o elipsóide de revolução, é
chamada “seção normal direta” em relação
a P2 ou “seção normal recíproca” em
relação a P1 , indicada por uma seta no
sentido de P1 . Para identificar a seção
normal direta de um ponto P1 para um
ponto P2 toma-se como referência o ponto
que estiver mais ao Sul. A seção direta do
ponto mais ao Sul é a curva mais ao Sul.
As duas seções, a direta e a recíproca, são
chamadas “seções normais recíprocas”. Os
planos que definem as seções normais
recíprocas não coincidem quando as
latitudes e longitudes são diferentes.
Seções Normais Recíprocas e Linha
Geodésica
Quando os dois pontos P1 e P2
possuem a mesma latitude,
situando-se portanto no mesmo no
mesmo paralelo as normais irão
interceptar o eixo de rotação em
um mesmo ponto e as normais
pertencem a um mesmo plano.
Quando os dois pontos P1 e P2
possuem a mesma longitude,
situando-se portanto no mesmo
meridiano
as
normais
se
interceptam e estão em um
mesmo plano.
Portanto,
para
latitudes
ou
longitudes iguais, as seções
normais
recíprocas
são
coincidentes
Seções Normais Recíprocas e Linha
Geodésica
Ângulo Formado por Duas Seções Normais Recíprocas
A diferença entre os ângulos θ1 e θ2 é
muito pequena e estes ângulos podem ser
considerados iguais e podem ser
calculados pela seguinte equação:
Seções Normais Recíprocas e Linha
Geodésica
Sejam três pontos P1 , P2 e P3 sobre a superfície do elipsóide
de revolução. Se fosse possível instalar um teodolito no vértice P1,
fazendo o eixo vertical coincidir com a normal ao ponto P1, ao
apontá-lo para o ponto P2 o plano de visada coincidiria com o
plano da seção normal direta de P1 para P2 . De P2 para P1 o
plano de visada do teodolito interceptaria a superfície do elipsóide
ao longo do plano da seção normal direta de P2 para P1 . A
mesma análise pode ser feita para os outros vértices. Conclui-se
que o triângulo P1-P2-P3 não é determinado de maneira unívoca
devido à duplicidade de seções normais.
Para definir o triângulo elipsóidico P1-P2-P3 de maneira unívoca,
os vértices P1 , P2 e P3 devem ser unidos pelo menor caminho. A
curva que representa o menor caminho entre dois vértices
geodésicos P1 e P2 sobre o elipsóide de revolução, não é a seção
normal direta de P1 nem a sua seção normal recíproca, mas sim
uma curva, em geral reversa, situada entre duas seções normais
recíprocas, denominada de linha geodésica. Se os dois pontos
pertencem ao mesmo meridiano, ou ao equador, a linha
geodésica é uma linha pertencente a um plano. Se não, é uma
linha reversa. Curva reversa é uma curva que não está contida em
um plano.
O menor caminho entre dois pontos no plano é um segmento de
reta, na esfera, um arco de circunferência máxima e no elipsóide
de revolução, a linha geodésica. Sobre a superfície esférica a
geodésica é um arco de circunferência máxima.
Seções Normais Recíprocas e Linha
Geodésica
Ângulo entre a Geodésica e a Seção Normal
O ângulo formado pela geodésica e a seção normal
direta de P1 para P2 corresponde a 1/3 do ângulo
formado por duas seções normais recíprocas. O
ângulo formado pela geodésica e a seção normal
recíproca de P1 para P2 é 2/3 do ângulo formado
pelas seções normais recíprocas.
O azimute da linha Geodésica pode ser obtido por :
Ag = A12 – θ/3
Ag = Azimute da linha geodésica
A12 = Azimute da seção normal direta em relação a P1
A diferença de comprimento entre a linha geodésica e a seção normal em milímetros
pode ser calculada pela seguinte equação: ds = 7,7 x 10-17 x Sk x sen2Az.cos4Φ
Sk = Distância da seção normal ou da geodésica
Az = Azimute da seção normal o da geodésica
Seções Normais Recíprocas e Linha
Geodésica
A diferença entre o azimute elipsoidal(azimute da seção normal) e o
azimute da linha geodésica também pode ser obtido pela
fórmula(Ewing,1979):
Onde:
Correções a serem Aplicadas no ângulo
Horizontal
1- Em função do desvio da vertical na estação:
Nas operações de campo o ângulo horizontal é medido com referência
a vertical. Quando este ângulo é usado para cálculos no elipsóide ou
mesmo para cálculos em projeções do elipsóide no plano, por
exemplo, o sistema UTM, deve sofrer uma correção devido ao desvio
da vertical, ou seja, devido a diferença entre a normal e a vertical no
ponto de instalação do instrumento de medição
Conforme Cooper(1987) podemos calcular a correção da seguinte
forma:
Onde:
e são as componentes do desvio da vertical
Az é o azimute da direção observada
Z é o ângulo zenital
Correções a serem Aplicadas ao Ângulo
Horizontal
2 – Em função da altitude do ponto visado:
Sejam dois pontos A e B com latitudes e longitudes diferentes, como
visto anteriormente a seção normal direta em relação a A não contém
a normal de B, ou seja, as seções normais direta e inversa entre estes
pontos não são coincidentes e uma das normais estará inclinada em
relação a outra, são reversas. Ao visar B a partir de A e sendo a
altitude geométrica de B diferente de zero haverá uma diferença no
ângulo azimutal da projeção normal sobre o elipsóide. Isto porque o
ponto A será projetado sobre o elipsóide por sua normal mas o mesmo
não ocorre com B que neste caso será projetado segundo a seção
normal direta A B numa posição diferente da projeção da normal que
passa por B.
Para visualizar o erro cometido nesta observação podemos fazer uma
analogia com a observação de um ângulo horizontal, na qual a baliza
observada está inclinada. Se a observação é feita no pé da baliza
temos um ângulo horizontal e se visamos a parte superior da baliza
temos outo 6angulo afetado pelo erro da inclinação da baliza.
Correções a serem Aplicadas ao Ângulo
Horizontal
2 – Em função da altitude do ponto visado:
Onde:
a” é a correção do ângulo azimutal em segundos
é a latitude do ponto visado
Az é o azimute da direção observada
h é a altitude geométrica do ponto observado, em metros
N é o raio de curvatura da seção primeiro vertical no ponto de latitude média
Quando o ponto observado está a nordeste ou sudoeste do observado, o
azimute deverá ser aumentado de a” e quando o ponto observado estiver a
noroeste ou a sudeste do observador o azimute deverá ser diminuído de a”.
Para pequenas altitudes esta correção pode ser desprezada.
Transformação de Coordenadas em Diferentes
Sistemas Geodésicos de Referência.
Os parâmetros oficiais do IBGE definidos na resolução 01/2005
para transformação de coordenadas entre os sistemas SAD69 e
SIRGAS2000 são os seguintes:
A transformação de coordenadas em diferentes sistemas
geodésicos pode ser realizado pelas coordenadas cartesianas ou
pelas equações simplificadas de Molodenskii
Transformação de Coordenadas em Diferentes
Sistemas Geodésicos de Referência.
1.
2.
Pelas Coordenadas Cartesianas
Transformar as coordenadas geodésicas do sistema conhecido
para coordenadas cartesianas. As coordenadas cartesianas
obtidas, continuam referenciadas ao mesmo sistema já
conhecido.
Transformar as coordenadas cartesianas do sistema conhecido
para o sistema de interesse, utilizando os parâmetros oficiais do
IBGE.
Exemplo:
3.
XSIRGAS2000 = XSAD69(Conhecido) - 67,35m
YSIRGAS2000 = YSAD69(Conhecido) + 3,88m
ZSIRGAS2000 = ZSAD69(Conhecido) – 38,22m
Transformar as coordenadas cartesianas do sistema de
interesse, obtidas no item anterior, em coordenadas geodésicas.
Exercícios
1 – Explique o que é:
a) Geoide
b) Elipsóide de Revolução
c) Latitude e Longitude Geodésica
d) Altitude geométrica, altitude ortométrica e a diferença entre elas.
e) Desvio da vertical e como pode ser calculado.
2- Qual a diferença entre datum Geocêntrico e Topocêntrico
3 - Converter as coordenadas do sistema SIRGAS2000 para o sistema
SAD69 utilizando as coordenadas cartesianas.
Lat: 20° 12' 39,6535”S
Long: 44° 52' 10,4766”W
Altitude elipsoidal: 678,111m
Transformação de Coordenadas em Diferentes
Sistemas Geodésicos de Referência.
Pelas Equações Simplificadas de Molodesnkii
h2 = h1 + ΔN
h2 = Altitude geométrica sistema S2
N = diferença entre as altitudes geométricas do pontos 1 e 2
Exercícios
Transformar as coordenadas abaixo referenciadas ao SIRGAS2000
em coordenadas referidas ao SAD69, através das equações
simplificadas de Molodenskii.
φ1 = 25º 26’ 54,1362’’ S
λ1 = 49º 13’ 51,4116’’ W
Triângulos Geodésicos
Em uma triangulação geodésica após a medição de todos os
ângulos é necessário conhecer as distâncias entre os vértices para
que seja efetuado o transporte de coordenadas do vértice
inicial(datum) para os demais vértices da triangulação geodésica. A
distância entre os vértices será calculada, uma vez que na
triangulação, a não ser a base inicial, só medimos ângulos. A
obtenção das distâncias entre os vértices é feita através da
resolução de triângulos geodésicos.
Sabemos que em geodésia os cálculos são conduzidos no
elipsóide. Assim os triângulos a serem calculados serão triângulos
episódicos. No entanto, as fórmulas que adotamos para este cálculo
são as fórmulas da trigonometria esférica.
Triângulos Geodésicos
Sabe-se que o fato de calcular os triângulos geodésicos como se
fosse numa esfera em vez do elipsóide, pouca diferença faz, não
afetando a precisão exigida para triangulações de primeira ordem. A
única restrição é que o raio da esfera sobre a qual se efetua o
cálculo, seja o raio médio de curvatura(RM= (NxM)1/2) do centro da
superfície do triângulo.
Holmer(1946) cita Clarke para mostrar que ao calcular um triângulo
elipsoidal grande como se fosse esférico as diferenças são
negligenciáveis. Num triângulo cujo os lados medem 360 Km o
resultado é o seguinte:
Elipsóide
Esfera
A’ = 98°44’37,0965”
A = 98°44’37,1899”
B’ = 58°16’46,5994”
B = 58°16’46,4737”
C’ = 23°00’12,7303”
C = 23°00’12,7634”
Triângulos Esféricos
O triângulo esférico é a porção da superfície esférica limitada por
três arcos de círculos máximos. Somente estrudaremos os
triângulos esféricos que tem lados inferiores a 180°
Os ângulos do triângulo esférico ABC são simbolizados com as
letras A,B, C e os lados opostos, com respectivas letras minúsculas:
a, b, c
Propriedades Triângulos Esféricos
Num triangulo esférico, a lados iguais se opõem ângulos iguais
ângulos e reciprocamente. Se a = b então A = B (e reciprocamente)
Se dois lados de um triângulo esférico são diferentes, os ângulos
opostos também o são, e ao maior lado se opõe o maior ângulo e
vice-versa.
A soma dos lados de um triângulo esférico (perímetro) é menor que
360°.
Conhecendo-se três elementos quaisquer de um triângulo esférico é
possível determinar os outros três.
A soma dos ângulos de um triângulo esférico é maior que 180° e
menor que 540°. A diferença para 180° é chamado de excesso
esférico.
Num triângulo esférico, um lado é menor que a soma dos outros
dois e maior que a sua diferença (a < b + c) e (a > b – c).
Propriedades Triângulos Esféricos
Todo ângulo de um triangulo esférico aumentado de dois retos, é
maior que a soma dos outros dois. (A + 180° > B + C)
Um triângulo esférico pode ter um, dois ou três ângulos retos
(retângulo, birretângulo ou trirretângulo).
Todo triangulo esférico birretilátero é birretangulo (a = b = 90º) e
(A = B = 90°)
Todo triângulo esférico trirretângulo é trirretilátero (a = b = c = 90°) e
(A = B = C = 90°).
Num triângulo birretilátero, o lado diferente de 90° e o seu ângulo
oposto são iguais: (a = A)
Transformação entre Graus e Radianos
Radiano é o ângulo central que subtende um arco de comprimento
igual ao raio do circulo
rad =
L/R
Para a circunferência inteira temos que L = 2 R
Logo em 360º temos 2 radianos
º------------------360º
rad---------------2 radianos
rad
= ( /180) x º
Considerando = 01º temos que:
sen1º
rad = ( /180) x 1º = 0,0174532925199rad
Considerando = 01’ temos que:
sen1’
rad = ( /180) x (1/60) = 0,000290888208665rad
Considerando = 01”temos que:
sen1”
rad = ( /180) x (1/3600) = 0,00000484813681108rad
Assim podemos converter satisfatoriamente um ângulo em segundos para
radianos usando o seguinte: rad = ” x sen1”
Excesso Esférico
Excesso esférico é o excesso da soma dos três ângulos de um
triangulo esférico sobre 180°.
A + B + C- 180°= Σ (excesso esférico)
Chamando S a área de um triângulo esférico e de R o raio da
esfera, teremos que Σ (excesso esférico) em radianos é
proporcional a área do triangulo:
Σrad = S/R²
O excesso esférico pode ser calculado em segundos pela seguinte
equação
Σ” = S/(R² x sen1”)
Assim, podemos calcular a área do triângulo esférico em função dos
seus ângulos internos:
S = Σrad x R²
S = Σ” x sen1” x R²
Fórmulas Fundamentais
Fórmula dos quatro elementos:
Relativa aos lados: envolvendo três lados e um ângulo.
Enunciado: “Em todo triângulo esférico, o cosseno de
um dos lados é igual ao produto do cosseno dos outros
dois lados, mais o produto dos senos dos mesmos lados
pelo cosseno do ângulo por eles formados.”.
Cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A
Cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B
Cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C
Fórmulas Fundamentais
Relativa aos ângulos:envolvemos três ângulos e um lado.
Enunciado: “Em todo triângulo esférico, o cosseno de um
ângulo é igual ao produto dos senos dos outros ângulos
pelo cosseno do lado a eles adjacente, menos o produto
dos cossenos dos dois ângulos.”
Cos A = sen B sen C cos a - cos B cos C
Cos B = sen A sen C cos b - cos A cos C
Cos C = sen A sen B cos c - cos A cos B
Fórmulas Fundamentais
Analogia dos senos: Envolve dois lados e dois ângulos
opostos.
Enunciado: “Em todo triângulo esférico, os senos dos
lados são proporcionais aos senos dos ângulos
opostos”. Logo:
sena
senb
senc


senA senB SenC
Exercícios
1) Para o triângulo esférico abaixo pede-se:
a) Calcular o lado c
b) Calcular os ângulos A e B
c) Calcular o excesso esférico
d) Calcular a área do triângulo.
Dados :
a = 88° 10’ 30” b = 60° 10’ 10” C = 70° 48’ 40”
Considerar R= 6.370 Km
2) Calcular o excesso esférico do triângulo esférico abaixo:
Dados :
a = 15° 38’ 07”
b = 16° 06’ 22”
c = 20° 15’ 35”
3) Calcular a distância entre Belo Horizonte e Goiânia, a partir de suas
coordenadas geográficas:
BH = 19º49’41”S
GO = 16º40’21”S
BH = 43º49’27”W
GO = 49º15’29”W
Cálculo do Triângulo Geodésico
Teorema de Legendre
B’= B - (Σ/3)
B
a
c
c
S
a
S’
C
A’= A - (Σ/3)
A
b
C’= C - (Σ/3)
b
O teorema de Legendre nos diz que , tendo dois triângulos, um esférico e
um plano, o triângulo esférico de área S e lados a, b,c, o triângulo plano
de área S’e lados do mesmo comprimento dos lados do esférico, as áreas
S e S’são iguais; os ângulos do triângulo plano, a menos de um terço do
excesso esférico, são iguais aos ângulos do triângulo esférico
Cálculo do Triângulo Geodésico
Formula para o Cálculo Excesso Esférico
a  b  sen(C' )
" 
2  M  N  sen1"
Fórmula Para Cálculo dos Lados - Analogia dos senos
triângulo plano:
a
b
c


senA' senB' SenC '
Cálculo do Triângulo Geodésico
Cálculo dos ângulos do Triângulo Plano:
A + B + C – W =180º + Σ
W = Erro de fechamento angular
W + Σ = A + B + C - 180º
A’= A – (Σ/3) – (W/3)
B’= B - (Σ/3) - (W/3)
C’= C - (Σ/3) - (W/3)
 W
A'  A  (
)
3
 W
B'  B  (
)
3
 W
C'  C  (
)
3
A’+B’+C’ = 180º
Transporte de Coordenadas Geodésicas
Já vimos que uma das finalidades da triangulação é fornecer as
coordenadas geodésicas de pontos situados sobre a superfície
terrestre. Esta determinação e realizada tendo como referência um
ponto de coordenadas conhecidas, o azimute e a distância até o
ponto que se pretende calcular. Esse procedimento é chamado de
forma genérica de transporte de coordenadas.
Poderá haver o caso em que o interesse seja calcular a distância e
o azimute entre dois pontos de coordenadas conhecidas.
Daí surgiu a divisão do transporte de coordenadas em dois
problemas: problema direto e o problema inverso
Tanto para o problema direto como para o problema inverso
adotaremos as fórmulas usadas comumente no Brasil, que são as
fórmulas de Puissant. As fórmulas de Puissant, quando usadas para
distâncias de até 80 km, dão uma precisão de 1 ppm.
As fórmulas são satisfatórias quando nos cálculos usam-se pelo
menos sete casas decimais. Nos resultados finais utiliza-se até a
terceira casa decimal.
Transporte de Coordenadas Geodésicas
Problema Direto: Conhecidas as coordenadas geodésicas de
um ponto P1 ( P1, P1), a distância desse ponto até um ponto P2
(sP1P2) e o azimute de P1 para P2 (AZP1P2), pede-se:
As coordenadas geodésicas do ponto P2 ( P2, P2);
O contra-azimute de P1 para P2 (AZP2P1)
Transporte de Coordenadas Geodésicas
Problema Inverso: Conhecidas as coordenadas geodésicas de
dois pontos P1 e P2 ( P1, P1, P2, P2), pede-se:
A distância entre esses pontos (sP1P2);
O Azimute de P1 para P2 (AZP1P2)
Fórmulário de Puissant – Problema Direto
Cálculo da Latitude
P 2  P1   ' '
''  '' D   ''
2
 ' '  B  s  cos AZ  C  s 2  sen2 AZ  E  h  s 2  sen2 AZ
onde:
s é o comprimento da geodésica de P1 a P2;
AZ é o azimute da direção P1P2.
Ainda, os coeficientes B, C, D, E e h são calculados pelas fórmulas abaixo:
tg P1
1
3  e 2  sen  P1  cos  P1  sen 1''
B
C
D
2  M  N  sen 1''
M  sen1' '
2  1  e 2  sen 2  P1 
1  3  tg 2  P1
E
6 N2
h  B s  cos AZ
Fórmulário de Puissant – Problema Direto
Cálculo da Longitude: Para o cálculo da longitude necessitamos ter
conhecimento da latitude do segundo ponto, calculada no item
anterior
 P2   P1  ''
 ' ' 
s  senAZ
 A'
cos P 2
1
A' 
N 'sen1' '
Na última fórmula para o cálculo de A’, N’ se refere à grande normal calculada
com a latitude do ponto P2, ou seja, ao ponto cujas coordenadas estão sendo
calculadas.
Fórmulário de Puissant – Problema Direto
Cálculo do Contra-Azimute de P1 para P2 (AZP2P1)
Para o cálculo do contra azimute em geodésia deve-se considerar a
convergência meridiana geodésica(W), que ocorre devido a
tangente ao meridiano de pontos que estão localizados em latitudes
e longitudes diferentes, não serem paralelas. Este não paralelismo
ocorre pelo fato dos meridianos no elipsóide convergirem para os
polos
A convergência meridiana geodésica é calculada pela seguinte
fórmula:
W' ' 
sen  m   ' '
  ' ' 3 Fm
 ' ' 
cos 

 2 
 P1   P 2
m 
2
sen  m  cos2  m  sen 2 1''
Fm 
12
Notar que no hemisfério sul Fm será negativo.
Fórmulário de Puissant – Problema Direto
Cálculo do Contra-Azimute de P1 para P2 (AZP2P1)
Desta maneira o contra azimute de P1 para P2 será dado pela
seguinte fórmula:
AZ P 2 P1  AZ P1P 2  W  180
Onde:
AZP2P1 é o contra-azimute de P1 para P2;
AZP1P2 é o azimute de P1 para P2 e;
W é a convergência meridiana
Na aplicação das fórmulas de Puissant considera-se a latitude (φ)
negativa no Hemisfério Sul e a longitude (λ) negativa a oeste de
Greenwich.
Exercício
Utilizando o sistema geodésico SAD 69 e o formulário do problema
DIRETO segundo Puissant calcular as coordenadas geodésicas do
ponto P2, a convergência meridiana, o contra-azimute da direção P1P2,
e indicar os quadrantes do azimute e do contra-azimute da direção
P1P2.
Coordenadas de P1 : φ = 25º 31’ 11,1900” S λ = 49º 06’ 27,1595” W
Azimute da direção P1P2 AZ = 257º 08’ 13,1200”
Distância entre P1 e P2 : s = 2019,328 m
Fórmulário de Puissant – Problema Inverso
Conhecidas as coordenadas geodésicas de dois pontos P1 e P2
( P1, P1, P2, P2), pede-se:
A distância geodésica(s) entre esses pontos (sP1P2);
O Azimute de P1 para P2 (AZP1P2).
s  X Y
2
 ' ' cos P 2
X
A'P 2
2
tgAZ P1 P 2
X

Y
'' X  C m  X  ''E m   ''  D m
Y
Bm
2
2
2
Os coeficientes B, C, D e E são calculados utilizando as mesmas fómulas do
problema direto mas com a latitude média dos pontos. O índice m nos coeficientes
indica que a latitude a ser utilizada no cálculo é a média entre os dois pontos.
O Coeficiente A’ é calculado utilizando a mesma fórmula do problema direto.
Considerar a latitude (φ) negativa no Hemisfério Sul e a longitude (λ) negativa a
oeste de Greenwich.
Exercício
Calcular a distância e o azimute geodésicos entre os seguintes pontos:
P1 : φ = 20º 32’ 54,0400” S λ = 42º 16’ 37,313” W
P2 : φ = 20º 35’ 24,1730” S λ = 42º 04’ 41,895” W
Elipsóide SAD69
Redução de Distâncias ao Elipsóide
Distância Inclinada(Di): Distância medida de forma inclinada diretamente
sobre a superfície física terrestre.
Distância Horizontal(Dh): Distância reduzida ao horizonte, no plano
topográfico local. Dh = Di x sen(ângulo zenital).
Distância Geoidal(Dn): Distância reduzida ao nível médio do mar, ou reduzida
ao nível médio do geóide.
Distância Elipsoidal(De): Distância projetada sobre a superfície do elipsóide
Distância Pana UTM(DpUTM): Distância obtida a partir das coordenadas UTM
Redução das Distâncias ao Elipsóide
As distâncias inclinadas medidas sobre a superfície física da terra
para serem utilizadas nos cálculos geodésicos precisam ser
reduzidas ao elipsóide, seguindo as seguintes etapas:
1) Correções em função da refração atmosférica:
Os equipamentos modernos de medição fazem esta correção
automaticamente, para tanto basta que o operador introduza no
equipamento os valores da temperatura e pressão atmosférica e desta
forma a distância inclinada apresentada pelo equipamento já estará
corrigida dos efeitos da refração atmosférica.
2) Redução da distância inclinada ao horizonte:
Como normalmente o instrumento de medição não é instalado na
mesma altura do alvo/prisma de leitura, torna-se necessário reduzir os
ângulos zenitais medidos em leituras recíprocas para o nível do solo,
ou seja, ao nível do topo dos marcos geodésicos. Após esta redução
os ângulos zenitais corresponderão à inclinação do terreno.
Redução das Distâncias ao Elipsóide
2) Redução da distância inclinada ao horizonte:
Convencionalmente o ângulo zenital medido em campo é representado
pela letra Z maiúscula e o ângulo zenital reduzido ao solo pela letra z
minúscula. Considerando leituras recíprocas dos ângulos zenitais nos
pontos 1 e 2, temos que as distâncias zenitais reduzidas ao solo serão:
z1 = Z1 + (hp2 – hi1) x senZ1 x (1/3600)
Di12 x senZ1 x sen1”
z2 = Z2 + (hp1 – hi2) x senZ2 x (1/3600)
Di21 x senZ2 x sen1”
z1 e z2 são as distâncias zenitais reduzidas ao solo
Z1 e Z2 são as distâncias zenitais medidas
hi1 e hi2 são as alturas do instrumento nos pontos 1 e 2 respectivamente
hp1 e hp2 são as alturas do alvo/prisma nos pontos 1 e 2 respectivamente
Di12 é a distância inclinada medida entre os pontos 1 e 2
Redução das Distâncias ao Elipsóide
2) Redução da distância inclinada ao horizonte:
Finalmente a distância horizontal pode ser obtida da seguinte forma:
Dh12 = Dim x cos((z2 –z1)/2)
Dim = Di12 + Di21
2
Onde:
Dh12 = Distância entre os pontos 1 e 2 reduzida ao horizonte
Di12 = Distância inclinada de 1 para 2
Di21 = distância inclinada de 2 para 1
Redução das Distâncias ao Elipsóide
3) Redução da distância horizontal à superfície do geoide:
Dn12 = Dh12 - (Dh12 x Hm)/Rm
Hm = (H1 + H2)/2
Rm = a(1-e2)1/2/(1-e2sen2
m)
Onde:
Dn12 = Distância reduzida ao nível do geoide – Distância geoidal
Dh12 = Distância horizontal entre os pontos 1 e 2
H1 e H2 = Altitude ortométrica dos pontos 1 e 2
Hm = Altitude média ortométrica entre os pontos 1 e 2
a = semi-eixo maior do elipsóide
e2 = Excentricidade ao quadrado
m = Latitude média entre os pontos 1 e 2
Redução das Distâncias ao Elipsóide
4) Redução da distância geoidal à superfície do elipsóide:
De12 = Dn12 + (1,027xDn123x10-15)
Onde:
De = Distância reduzida ao nível do elipsóide – Distância elipsoidal
Dn = Distância geoidal
Transformação da Distância Elipsoidal em
Distância Plana UTM
Para esta transformação é necessário o cálculo do fator de escala K
do sistema UTM. Como o valor de K varia ao longo do fuso UTM,
cada ponto terá um valor para K diferente e por isso para este
cálculo deve-se calcular um fator de escala médio Km.
DpUTM = De x Km
K = KMC /[ 1-[(cos
2 1/2
m.sen(λm-λMC)] ]
Onde:
DpUTM = Distância plana no sistema UTM.
KMC = Valor de K no meridiano central – sistema UTM = 0,9996
λm = Longitude média
λMC = Longitude do meridiano central
Cálculo de Distâncias
TOPOGRÁFICA
UTM
UTM
TOPOGRÁFICA
1- Dh = Di x senZ
1 – DpUTM = [(N2-N1)2 + (E2-E1)2]1/2
2 - Dn = Dh - (Dhx Hm)/Rm
2 – Km = KMC /[ 1-[(cosΦm.sen(λm-λMC)]2]1/2
3 - De = Dn + (1,027xDn3x10-15)
3 – De = DpUTM /Km
4 - Km = KMC /[ 1-[(cos
2 1/2
m.sen(λm-λMC)] ]
4 – Dn= De – (1,027xDe3x10-15)
5 - DpUTM = De x K
5 – Dh = Dn+ ((Dnx Hm)/Rm)
Rm = a(1-e2)1/2/(1-e2sen2 m)
6 - Di = [Dh2 + (H2-H1)2]1/2
Rm = a[(1-e2)1/2]/(1-e2sen2Φm)
Observar que nas fórmulas acima o ângulo zenital não foi determinado a partir
de leituras recíprocas.
Exercício
Dada a caderneta abaixo pede-se calcular a distância UTM entre os
pontos 02 e 03:
Estação 2
Estação 3
Z2-3 = 88°25'05,0"
Z3-2=91°34'12,5"
AI2 = 1,480m
AI3 = 1,475m
AP2 = 1,600m
AP3 = 1,600m
DI2-3 = 697,653m
DI3-2=697,640m
H=1415,257m
H=1434,447
Coordenadas Geodésicas
Lat = 28° 23' 35,04728"S
Lat = 28° 23' 16,44848“S
Long = 43° 32' 54,20188“W
Long = 43° 33' 08,81658“W
Elipsóide SAD69
a = 6378160m
f = 1/298,25
Cálculo de Distâncias
Dadas as coordenadas planas - sistema UTM – Elipsóide SAD69, as
coordenadas geodésicas e as altitudes dos pontos P1 e P2 determinar
as distâncias.
a)
Distância Plana
b)
Distância Elipsoidal
c)
Distância Geoidal
d)
Distancia Horizontal
e)
Distância Inclinada
P1 Φ1 = 28°41’56,7639”S
N1 = 6.824.421,709m
λ1 = 52°29’50,4474”W
E1 = 353.728,623m
H1 =803,410
P2 Φ2 = 28°43’38,9147”S
N2 = 6.821.310,415m
λ2 = 52°28’13,0594”W
E2 = 356.410,363m
H2 = 810,453
MC=-51°
KMC = 0,9996