Cilindro e cone – II
MA13 - Unidade 23
Eduardo Wagner
PROFMAT - SBM
Cone
Em um plano H considere uma curva simples fechada C e seja V
um ponto fora de H. Por cada ponto P de C trace a reta VP. A
reunião dessas retas é uma superfı́cie cônica de vértice V .
A parte do espaço limitada pela superfı́cie cônica e pelo plano H é
o cone de base C e vértice V . A distância de V ao plano H é a
altura do cone. O segmento VP é uma geratriz do cone.
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Teorema
Toda seção paralela à base de um cone é uma figura semelhante à
base.
Considere um cone de base C vértice V e altura h. Um plano
paralelo à base distando h0 de V produziu no cone uma seção C 0 .
Para cada ponto X ∈ C considere X 0 a interseção de X com C 0 .
A função s : C → C 0 tal que S(X ) = X 0 é uma semelhança.
De fato, para quaisquer X , Y ∈ C e suas imagens X 0 , Y 0 ∈ C 0
h0
X 0Y 0
= .
tem-se
XY
h
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Teorema
O volume do cone é a terça parte do produto da área da base pela
altura.
Dado um cone com base de área A e altura h considere uma pirâmide
com mesma altura e base de mesma área. Coloque os dois sólidos com as
bases no mesmo plano H. Um plano paralelo a H corta os dois sólidos
formando seções de áreas A1 e A2 .
0 2
A1
h
A2
Pelas propriedades do cone e da pirâmide temos
=
=
.
A
h
A
Logo, A1 = A2 e os dois sólidos têm mesmo volume.
O volume do cone com base de área A e altura h é V = 31 Ah.
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Cone circular reto
Seja C uma circunferência contida no plano H e seja V um ponto
tal que OV seja perpendicular a H. O cone de base C e vértice V
é o cone circular reto.
Todas as geratrizes do cone circular reto são iguais.
O cone pode ser imaginado como o sólido de revolução resultado
da rotação do triângulo retângulo VOP em torno da reta que
contém OV .
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Área lateral do cone circular reto
Considere um cone de raio R e geratriz g .
Cortando o cone ao longo de uma geratriz podemos aplicar sua
superfı́cie lateral sobre um plano sem alterar sua área. Obtemos
um setor circular de raio g que subtende um arco de comprimento
2πR. A área lateral SL do cone é igual à área desse setor.
Como a área do setor circular é proporcional ao comprimento do
arco correspondente temos que
2πR
SL =
· πg 2 = πRg
2πg
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Tronco de cone circular de bases paralelas
Um cone com base de raio R foi cortado por um plano paralelo ao
plano de sua base. A seção tem raio r e a distância entre os dois
planos é h. O segmento da geratriz do cone compreendido entre os
dois planos paralelos é a geratriz g do tronco de cone.
πh 2
(R + r 2 + Rr ).
3
A área lateral do tronco de cone é S = π(R + r )g .
As demonstrações estão no Apêndice 1 desta aula.
O volume do tronco de cone é V =
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Esferas inscrita e circunscrita
Todo cone circular reto (cone de revolução) admite esfera inscrita e
circunscrita.
Cone e esfera são sólidos de revolução. Então os centros das esferas
inscrita no cone e circunscrita ao cone estão no eixo comum, ou seja, a
reta que contém o vértice e o centro da base.
Corte o cone por um plano que contém o eixo. A seção é a figura a
seguir.
eixo
V
b
b
A
b
b
O
B
O ponto V é o vértice do cone e o segmento AB é o diâmetro da base.
O raio da esfera inscrita no cone é o raio da circunferência inscrita no
triângulo VAB.
O raio da esfera circunscrita ao cone é o raio da circunferência
circunscrita ao triângulo VAB.
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Apêndice 1
a) Volume do tronco de cone de altura h com bases de raios R e r .
Faça uma figura.
Do cone original de altura x foi retirado um cone de altura y . Assim,
x − y = h.
O volume do tronco de cone é a diferença entre os volumes dos cones:
1 2
1
V =
πR x − πr 2 y
3
3
1 2
1
1
1
1
V =
πR (h + y ) − πr 2 y = πR 2 h + πR 2 y − πr 2 y
3
3
3
3
3
1 2
1
1
1
V =
πR h + π(R 2 − r 2 )y = πR 2 h + π(R + r )(R − r )y
3
3
3
3
R
r
Da semelhança entre os dois cones temos x = y = R−r
h , ou seja,
(R − r )y = rh.
Substituindo na fórmula do volume temos
1 2
1
1
1
1
V =
πR h + π(R + r )rh = πR 2 h + πRrh + r 2 h
3
3
3
3
3
πh 2
2
V =
(R + r + Rr )
3
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b) Área lateral do tronco de cone de geratriz g com bases de raios
R e r.
Faça uma figura.
Seja x a geratriz do cone original e seja y a geratriz do cone que
foi retirado. Assim, x − y = g .
A área lateral do tronco de cone é a diferença entre as áreas
laterais dos dois cones:
SL = πRx − πry
SL = πR(g + y ) − πry = πRg + πRy − πry
SL = πRg + π(R − r )y
Da semelhança entre os dois cones temos
(R − r )y = rg .
Substituindo na fórmula da área temos
R
x
=
r
y
=
R−r
g ,
ou seja,
SL = πRg + πrg = π(R + r )g
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Seções em superfı́cie cônica de revolução
As retas r e e (eixo) são concorrentes em V. A reta r gira em torno
de e produzindo uma superfı́cie cônica de revolução (de duas
folhas). Faça uma figura.
a) O plano corta todas as geratrizes de uma folha.
A seção é uma elipse.
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b) O plano corta as duas folhas
A seção é uma hipérbole.
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c) O plano corta uma folha e é paralelo a uma geratriz.
A seção é uma parábola.
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