Transformação Conforme
Transformações
u  u ( x, y )
 (I )
v  v( x, y ) 
O conjunto de equações
define, em geral, uma transformação que estabelece uma
correspondência entre os pontos dos planos uv e xy.
Jacobiano de uma transformação
Sob a transformação (I), uma região R do plano xy é, em geral,
transformada numa região R’do plano uv. Assim, se Axy e Auv
representam, respectivamente, as áreas dessas regiões, se u e v são
continuamente diferenciáveis,
A
)v ,u(
 vu
mil
) y ,x (
y xA
onde lim é o limite quando Axy (ou Auv ) tende a zero e o
determinante
u
u
 (u , v )

 ( x, y )
x
v
x
y
v
y

uv
uv

xy
yx
é chamado o jacobiano da transformação (I).
Transformações Complexas
Quando u e v são as partes real e imaginária de uma função analítica de uma variável
complexa z = x + iy, isto é, w = u + iv = f(z) = f(x + iy) o jacobiano da
(u, v)
2
transformação é dado por
 f ' ( z)
 ( x, y )
Transformação Conforme
Suponha que a transformação (I) leva o ponto (x0, y0) do plano xy, no ponto (u0, v0)
do plano uv e as curvas C1 e C2 [interceptam-se em (x0, y0)] nas curvas C1’ e C2’,
respectivamente [interceptam-se em (u0, v0)].
Então, se a transformação é tal que o ângulo entre C1 e C2 em (x0, y0) é igual ao
ângulo entre C1’ e C2’ em (u0, v0) em valor absoluto e sentido, a transformação é
conforme em (x0, y0).
Teorema: Se f(z) é analítica e f ' ( z)  0 numa região R, então, a transformação w = f(z)
é conforme em todos os pontos de R.
Para as transformações conformes, pequenas figuras numa vizinhança de um ponto
z0 no plano z transformam-se em pequenas figuras no plano w e são ampliadas (ou
reduzidas) num valor aproximadamente dado por f ' ( z0 ) 2 , chamado fator de
extensão de área ou simplesmente fator de extensão.
Algumas Transformações Gerais
Consideremos  e  constantes complexas, enquanto a e 0
constantes reais.
 Translação. W = z +  (Figuras no plano z são deslocadas ou
transladadas em direção ao vetor )
 Rotação. W = ei 0z (Figuras no plano z são giradas de um ângulo 0)
 Dilatação. W = az (Figuras no plano z são dilatadas (ou contraídas)
na direção de z.
 Inversão. W = 1/z
 Transformações sucessivas
Se w = f1() leva a região R do plano  na região Rw do plano w e
 = f2(z) leva a região Rz do plano z na região R , então, w = f1[f2(z)]
leva Rz em Rw.
 Transformação linear. W = z + .
z  
     0
 Transformação Bilinear ou Fracionária. w 
z  
Se z1, z2, z3, z4 são distintos, então, a quantidade (i) é chamada a
razão direta de z1, z2, z3, z4. ( z  z )(z  z )
4
1
2
3
(i )
( z2  z1 )(z4  z3 )