Aula-8
Fótons e ondas de matéria III
Curso de Física Geral F-428
A equação de Schrödinger
• Embora tenha obtido alguns sucessos notáveis,
a velha teoria quântica (1900 ~ 1920) tinha
sérios defeitos. Era uma mistura arbitrária de
física clássica com novos postulados, alheios e
contraditórios à própria física clássica.
Erwin Schrödinger
• Em 1926, Schrödinger foi convidado a dar um seminário na
universidade de Zurich sobre a teoria de de Broglie.
Durante o seminário um dos ouvintes perguntou como ele
podia falar abertamente sobre uma onda associada ao elétron,
se não havia nenhuma equação de onda !
Alguns meses depois, Schrödinger apresentou a equação de onda,
dando início a mecânica quântica moderna.
A equação de Schrödinger
“ Nossa mecânica clássica talvez seja completamente análoga
à óptica geométrica e por isso falha, estando em desacordo
com a realidade… Portanto é preciso estabelecer uma
mecânica ondulatória…” - Schrödinger, 1926.
A equação de Schrödinger não pode ser deduzida, assim como
não podem ser deduzidas as equações da dinâmica de Newton.
Ela só pode ser postulada.
A forma escolhida deveria incorporar o sucesso das teorias
anteriores. Fatalmente, ela também levaria a novas previsões
(e interpretações) que poderiam ser testadas.
A equação de Schrödinger
• Os fenômenos ondulatórios, independentemente da sua origem,
têm a sua evolução temporal descrita por equações de onda do tipo:
 
 
1  F (r , t )
2
  F (r , t )  0
2
2
c
t
2
 
onde F (r , t ) é a variável dinâmica de interesse; por exemplo: o
campo elétrico ou o campo magnético da radiação EM.
• Se quisermos investigar a evolução temporal da densidade de



probabilidade  (r , t ) |  (r , t ) |2 , devemos estudar como  (r , t )
varia no tempo. No que segue, vamos fazer essa análise apenas
para partículas massivas!
A equação de Schrödinger
Em geral podemos dizer que para uma onda plana temos:
 

 (r , t )   0 exp i(k  r  t )

Derivando  (r , t ) com relação a t :

 (r , t )

 i (r , t )
t

Tomando o gradiente de  (r , t ) e depois a sua divergência
 
 
 ( r , t )  ik  ( r , t ) 
  


2
2
  [ ( r , t )]    ( r , t )  k  ( r , t )
A equação de Schrödinger
Então:
e

 (r , t )


i
  (r , t )  E (r , t )
t

2 2 
2k 2 
p2 

  (r , t) 
 (r , t ) 
 ( r , t )  E ( r , t )
2m
2m
2m
Equação de Schrödinger da partícula livre (E = Ek ; V = 0) :

 (r , t )
2 2 
i

  (r , t )
t
2m
A equação de Schrödinger
Mas, no caso geral , não – relativístico:
p2

E
 V (r )
2m
p2 



 E (r , t ) 
 (r , t )  V (r ) (r , t )
2m
Equação de Schrödinger (Postulada!)



 ( r , t )
2 2 
i

  ( r , t )  V ( r ) ( r , t )
t
2m
A equação de Schrödinger
Onda estacionária:


 (r , t )   (r ) exp(it )
substituindo na Eq. de Schrödinger:

 (r , t )
2 2 


i

  (r , t )  V (r ) (r , t )
t
2m
obtemos:
2




 
2
 (r )  E (r )  
  (r )  V (r ) (r )
2m
Equação de Schrödinger independente do tempo.
A partícula livre em 1-D
Para encontrar a solução geral de:
 ( x, t )
   ( x, t )
i

t
2m x 2
2
2
devemos resolver inicialmente:
 2 d 2 ( x)

 E ( x) ;
2
2m dx
ou:
d 2 ( x )
dx
2
 k  ( x )  0 ; onde
2
V (r)  0
k 
2
2mE

2
A partícula livre em 1-D
Solução geral:
como:
 ( x)  A exp(ikx)  B exp(ikx)
exp(  i )  cos   i sin
 ( x)  A cos kx B sin kx ; com A'  ( A  B) ; B'  i ( A  B)
 ( x, t )  exp i(kx  t )
 ( x, t )  exp[i (kx t )]
Onda propagante para a direita:
Onda propagante para a esquerda:
A partícula livre em 1-D
Façamos: A = 0 e B = 0
 ( x)  0 exp(ikx)
(p/ direita)
k 2
e  ( x, t )  0 exp i ( kx   t ) onde    ( k ) 
2m
2
2 2
pois:   p   k
2m
2m
A densidade de probabilidade para encontrar a partícula será:
 ( x, t ) | ( x, t ) |2   02  Constante! para -   x  
• Ou seja, uma partícula livre
pode ser encontrada em
qualquer ponto sobre o eixo x,
com a mesma probabilidade.
 02
 ( x, t )
0
x
wavemechanics-freepacket
O princípio da incerteza
1
• Seja um “pacote de ondas”:  ( x, t ) 
2

 A(k ) exp i[kx  (k )t ] dk

 ( x  x0 (t )) 2 
Densidade de probab.:  ( x, t )  | ( x, t ) | 
exp 
2 
2
2
[

x
(
t
)]
2 [ x (t )]


2
k0
x0 (t )  x0 
t
m
1
| ( x, t ) |2
e
4 2t 2
x(t )  x0 1  2
m (x0 ) 4
x(t )
onde: x  1
0
2k
1
2 (x(t ))2
x
x0 (t )
O princípio da incerteza
Propriedade da distribuição gaussiana:
1
x0 
2k

1
x0 k 
2
Como: x0  x(t )  x


x0 p 
2
Werner Heisenberg

x p 
2
• Relação conhecida como princípio da incerteza de Heisenberg!
 Não podemos determinar a posição e o momento linear de uma
partícula quântica com precisão arbitrária em ambas as medidas!
O princípio da incerteza
• Apesar de termos mostrado essa propriedade partindo de uma
distribuição gaussiana (pacote de ondas), ela é inerente à
mecânica quântica. Ela se aplica sempre aos pares das
chamadas variáveis incompatíveis. Essas são variáveis que
não podem ser medidas simultaneamente!
Em 3-D:
x p  
x

2



y p y 
2




z

p

z

2
Prob.1:
a) Uma bola de gude, com 25 g, está numa caixa que tem 10 cm
de lado. Achar a incerteza mínima no seu momento linear p e na
sua velocidade v.
b) Resolver o mesmo problema, para um elétron confinado numa
região de comprimento de 1 Å , que é da ordem de grandeza do
diâmetro de um átomo.
Prob.1:
m
v
L
a) Uma bola de gude, com 25 g, está numa caixa que tem 10 cm de lado. Achar a
incerteza mínima no seu momento linear p e na sua velocidade v.
b) Resolver o mesmo problema, para um elétron confinado numa região de
comprimento de 1 Å , que é da ordem de grandeza do diâmetro de um átomo.
a)

h (erg .s )
b
b
b
b ,min
x  10 cm 
 x p x  (10 cm )p x  p x 
2
4 (10 cm )
6.63  10 27 (erg .s )
b ,min
p x 
 5.28  10 29 ( g cm / s )
40 (cm )
b
p
b ,min
x
 m v
b
b ,min
x
 v
b) elétron num átomo:
8
x  10 cm  p
e
p xe,min  5.28  10 20 ( g
e ,min
x
b ,min
x
6.63  10 27 (erg .s )

 2.11  10 30 (cm / s )
40 (cm )  25 ( g )
b ,min
h (erg .s )
9
b ,min
e ,min
9 p x

 10 p x ; v x  10
8
4 (10 cm )
me
cm
) ; v xe,min 
s
cm
)
s  5.8  107 ( cm )  0.019c
(g)
s
5.28  10 11 ( g
9.1  10 28
Prob. 2:
Mostre que o número de onda angular k, de uma partícula livre
não-relativística de massa m, pode ser escrito na forma abaixo,
onde K é a energia cinética da partícula.
2 2m K
k
p  k ;
2mK
k  2

2
h
p 2 2k 2
K

2m
2m
2mK 2 2mK
 k


h
A corrente de probabilidade
Da equação de Schrödinger pode-se mostrar que:
 ( x, t )
d J ( x, t )

t
dx
onde
 ( x, t ) | ( x, t ) |2
e
i 
d  ( x, t )
d ( x, t ) 

J ( x, t ) 
  ( x, t )
 ( x, t )

2m 
dx
dx 
é a densidade de probabilidade
é a corrente de probabilidade. No caso estacionário, há
conservação da corrente de probabilidade!
J ( x)  const .
O potencial degrau
1
2
E
V0
0
x
I) E > V0 :
d 21 ( x )
2mE
2
2
se x  0;
 k1 1 ( x )  0 ; onde k1  2
2
dx

2m( E  V0 )
d 2 2 ( x )
2
2
se x  0;
 k 2  2 ( x )  0 ; onde k 2 
2
dx
2
O potencial degrau
E > V0 :
x
0
1
2
Soluções gerais:
2mE
x < 0 : 1 ( x )  A exp( ik1 x )  B exp( ik1 x ) ; onde k  2

I
R
2
1
x > 0 :  2 ( x )  C exp( ik 2 x )  D exp( ik 2 x ) ; onde k 22 
T
R
mas : D = 0 , pois não há onda refletida para x > 0.
2m( E  V0 )
2
O potencial degrau
d
Como  e
são funções contínuas  J ( x  0  )  J ( x  0  )
dx
daí:
B k1  k 2

A k1  k 2
; amplitude de reflexão
C
2k1

A k1  k 2
; amplitude de transmissão
J inc | A | v1 , J ref   | B | v1 , J trans
2
2
 k1  k 2 
J ref B
R



J inc A
 k1  k 2 
2
2
ki
| C | v2 onde vi 
m
2
2
J trans k 2 C
4k1k 2
T


J inc k1 A
(k1  k 2 ) 2
R T 1
O potencial degrau
1
2
V0
E
0
x
II) E < V0 :
d 21 ( x )
2
se x  0;

k
; onde
1 1 ( x )  0
2
dx
2mE
k  2

d 2 2 ( x )
2
se x  0;


; onde
2 2 ( x)  0
2
dx
2m(V0  E )
 
2
2
1
2
2
O potencial degrau
E < V0 :
x
0
1
2
x<0:
1 ( x)  A exp(ik1 x)  B exp(ik1 x) ; onde
x>0:
 2 ( x)  C exp( 2 x)  D exp( 2 x) ; onde :  22 
0
k12 
2mE
2
2m(V0  E )
2
O potencial degrau
Como  e
d
são funções contínuas  J ( x  0 )  J ( x  0 )
dx
B k1  i 2
1   2  ; amplitude de reflexão

 exp( 2i ) ,   tan  
A k1  i 2
 k1 
J inc | A | v1 , J ref
2
ki
  | B | v1 , onde vi 
m
2
2
J ref
B
R

1
J inc
A
;
T 0

 2 ( x )  C exp(  2 x )     
2m(V0  E )
1
2
wavemechanics-step
Comprimento de penetração
A barreira de potencial
1
2
E
3
V0
0
x
L
I) E > V0 :
se x  0;
d 21 ( x )
dx
se L  x  0;
se x  L;
2
 k121 ( x )
d 2 2 ( x )
dx
d 2 3 ( x )
dx
2
2
 0 ; onde
 k 22 2 ( x )
 k 32 3 ( x )
k12
 0 ; onde
 0 ; onde
k 32
2mE

2
k 22


k12
2m( E  V0 )

2
2mE
2
A barreira de potencial
E > V0 :
1
2
1 ( x )  A exp(ik1 x )  B exp( ik1 x ) ; onde
3
k12

2mE
2
2m( E  V0 )
 2 ( x )  C exp(ik 2 x )  D exp( ik 2 x ) ; onde
k 22 
 3 ( x )  E exp(ik 3 x )  F exp( ik 3 x ) ; onde
k 32  k12 
0
2
2mE
2
A barreira de potencial
1
2
3
V0
E
0
x
L
II) E < V0 :
se x  0;
d 21 ( x )
dx
se L  x  0;
se x  L;
2
 k121 ( x )
d 2 2 ( x )
dx 2
d 2 3 ( x )
dx 2
 0 ; onde
k12
  22 2 ( x )  0 ; onde
 k 32 3 ( x )  0 ; onde

2mE
2
 22 
k 32  k12 
2m(V0  E )
2
2mE
2
A barreira de potencial
E < V0 :
1
2
1 ( x )  A exp(ik1 x )  B exp( ik1 x ) ; onde
3
k12

 2 ( x )  C exp(  2 x )  D exp( 2 x ) ; onde  22 
 3 ( x )  E exp(ik 3 x )  F exp( ik 3 x ) ; onde
0
2mE
2
2m(V0  E )
2
2mE
2
2
k 3  k1  2

A barreira de potencial
d
Como  e
são funções contínuas  J ( x  0  )  J ( x  0  )
dx
Coeficiente de transmissão ou taxa de tunelamento:
T  exp(2 L)
; onde
2m(V0  E )

2
R  1  T  1  exp( 2 L)
Coeficiente de reflexão
wavemechanics-barrier
Prob. 3:
a) Um feixe de prótons de 5,0 eV incide em uma barreira de
energia potencial de 6,0 eV de altura e 0,70 nm de largura,
com uma intensidade correspondente a uma corrente elétrica
de 1000 A. Quanto tempo é preciso esperar (em média) para
que um próton atravesse a barreira?
b) Quanto tempo é preciso esperar se o feixe contém elétrons em
vez de prótons?
Prob. 3:
a) Um feixe de prótons de 5,0 eV incide em uma barreira de energia potencial de 6,0 eV de
altura e 0,70 nm de largura, com uma intensidade correspondente a uma corrente elétrica de
1000 A. Quanto tempo é preciso esperar (em média) para que um próton atravesse a barreira?
b) Quanto tempo é preciso esperar se o feixe contém elétrons em vez de prótons?
a) Taxa de incidência de prótons: r = 1000(C/s) / 1,610-19(C)  6,251023 s-1
No tempo de espera t* para 1 próton tunelar: r t* T = 1 ; T  exp(2 L)

8 2 m p (Vb  E ) 
 2 (0,70 nm)

1
1



t  exp 2 L

exp
8
(
938
Mev
)(
6
eV

5
eV
)
 1240 ( eV .nm)

 6,25  10 23 ( s 1 )
r
h2




*
t *  3,37  10111 s  10104 anos (maior que a idade do universo ! )
b) Feixe de elétrons: me  0.511MeV / c2
te* 
 2 (0,70 nm)

1


exp
8
(
0
.
511
Mev
)(
6
eV

5
eV
)
23
1

6,25  10 ( s )
 1240 (eV .nm)

9
t  2.1  10 s !
*
e
onde: mp = 938 MeV/c2 ; me = 0.511 MeV/c2
hc = 1240 eV nm
O microscópio de varredura
Nobel Laureates 1986:
Heinrich Rohrer , Gerd
Binnig e Ernst Ruska
wavemechanics-stm