SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE
SCHRÖDINGER EM DUAS DIMENSÕES
2
2
iħdt 
iħdt 
i. dtV
x, y
i. dtV
x, y

x, y, t dtexp 
exp
exp
exp


x, y, t
2
2
2m
2m

x

y
2ħ
2ħ



1
Aplicação do Método da Transformada de Fourier
Quando o problema envolve condições de contorno periódicas,
como é o caso do apresentado pela estrutura de interesse,
podemos aplicar o método da Transformada de Fourier.
O sistema de interesse é composto por
um gás de elétrons bidimensional
confinado na interface da
heteroestrutura AlGaAs/GaAs, no topo
da qual há um sistema periódico de
gates. Quando uma tensão negativa é
aplicada aos gates, as regiões na
interface abaixo delas são depletadas e
os fios quânticos são formados.
http://www.sbfisica.org.br/bjp/files/v26_337.pdf
2
Para o sistema periódico, o próximo passo é calcular
2

x exp
ip x dt

x
2mħ

x exp
2
iħdt 

x
2
2m 
x
Eq. ( 1 )
Para usarmos o método da transformada de Fourier vamos
primeiramente definir as transformadas direta e inversa.

k 
x e ikx 
x
Eq. ( 2 )
x

x 1 
k  1  e ikx 
k
2
k
Eq. ( 3 )
3
Substituindo a Eq.(3) na Eq. (1) ficamos com
x exp
2
iħdt 
2m 
x2
1  e ikx 
k
2
Eq. ( 4 )
k
e substituindo a Eq. (2) na Eq. (4)
2
iħdt 
1
ikx
x 
exp
e

2
2m 
x2
k
 e ikx x 
Eq. ( 5 )
x
Como c(x) é uma função de onda de um sistema periódico, então
podemos usar o teorema de Bloch, que afirma que a autofunção da
equação de Schrödinger para um potencial periódico é o produto de
uma onda plana por uma função u(x), que tem a mesma
periodicidade do potencial.

x e iqx u
x
Eq. ( 6 )
4
Substituindo a Eq. (6) na Eq. (5) e reorganizando os termos
2
iħdt 
1
ikx ikx iqx

x 
exp
e
e 
e u
x 


2
2
2m 
x
k
x
2
iħdt 
1
ikx iqx
ikx


x 
exp
e
e
e
u
x 


2
2
2m 
x
k
x
Eq. ( 7 )
Comparando o final à direita da Eq. (7) com a Eq. (2) podemos
escrever
2
iħdt 
1
i
qk
x

x 
exp
e
u
k

2
2
2m 
x
k
O próximo passo é aplicar o operador
exp
Eq. ( 8 )
2
iħdt 
2m 
x2
5
Geralmente, para qualquer operador temos
2
X
exp X 1 X   . . .
2!
Assim sendo, vamos escrever
exp
2
2
iħdt 
iħdt 
i
qk
x

e
u
k
1

e iqkx u
k
2
2
2m 
2m
x

x
e iqkx u
k 
iħdt
2m
e iqkx u
k 
1
 1
exp 
iħdt
2m
iħdt
2m
2


e iqkx u
k 
2

x
iħdt
2m

q k 2 e iqkx u
k

q k 2 e iqkx u
k

q k 2 e iqkx u
k
6
Substituindo o resultado anterior na Eq.(8)
iħdt

x  1  exp 
2
2m

q k 2 e iqkx u
k
Eq. ( 9 )
k
Reescrevemos a Eq. (9)
iħdt

x  1  e ikx exp 
2
2m

q k 2 e iqx u
k
Eq.( 10 )
k
k 

k  e ikx 
x 

x 
x
Eq.( 11 )
7
Se substituirmos agora a Eq.(10) na Eq. (11)
k   e ikx
x
1  e ik x exp  iħdt
2 
2m

q k 2 e iqx u
k 
Eq.( 12 )
k
Substituindo
u
k  e ik x u
x 

x
Ficamos com
k   e ikx
x
1  e ik x exp  iħdt
2 
2m
k

q k 2 e iqx  e ik x u
x 

x
8
E rearranjando os termos resulta
iħdt
k  1  exp 
2 
2m
 e i kqk

q k 2

 e ik x ux 

x
x
x
k
2
k ,kq
Este termo (delta) cria a condição
k k q
e resulta
iħdt
k  1 exp 
2
2m
k2
 e ikq x ux 

x
9
k exp 
iħdt
2m
k2
 e ikx e iqx ux 


x
x 
k exp 
iħdt
2m
k2
 e ikx x 

x
k 

k exp 
iħdt
2m
k 2 
k exp 
iħdt
2m
k 2 

x 
10

x 1 

k 

x 1 exp 

x, y, t dt1 exp 
iħdt
2m
iħdt
2m
k 2 

x 
k 2 

x 
A forma obtida para a equação acima é mais conveniente
computacionalmente. Para obtermos a (x,y,t+dt) basta
multiplicarmos a (x,y,t+dt) por
exp i
V
x, y
dt
2ħ

x, y, t dtexp i
V
x, y
dt

x, y, t dt
2ħ
11