Universidade Estadual do
Sudoeste da Bahia
Departamento de Ciências Exatas e
Naturais
4.1- Rotações, Centro de Massa e
Momento
Física I
Prof. Roberto Claudino Ferreira
Índice
1.
2.
3.
4.
5.
Movimento Circular Uniformemente Variado;
Movimento Circular Variado não Uniforme;
Centro de Massa;
Momento e Colisões;
Lei da Conservação do Momento.
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OBJETIVO GERAL
Alcançar um entendimento sobre os
conceitos e grandezas que envolvem os
movimentos rotacionais, centro de massa,
momento e lei da conservação do
movimento, assim como suas expressões,
unidades de medida e aplicações.
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MOVIMENTO CIRCULAR
UNIFORMEMENTE VARIADO (MCUV)
 MCUV, apresenta:
 Trajetória circular;
 Velocidade escalar varia de acordo com
v = vo + at, e (a = constante ≠ 0); cuja
intensidade = aceleração tangencial (at);
Aceleração centrípeta não - nula, pois a
velocidade varia em direção e sentido.
  
 Aceleração resultante: ar  at  acp
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ACELERAÇÕES (MCUV)
Aceleração tangencial
tem sempre a direção
da velocidade do móvel
  
ar  at  acp

at

r
Aceleração angular
d

dt
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Aceleração
centrípeta é
perpendicular
a

v
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FUNÇÕES DO MCUV
Forma linear:
a
S  So  vot  t ²
2
v  vo  at
v²  vo²  2aS
Sendo:
S

r
v

r
a

r
Forma angular:

  o  ot  t ²
  o  t
2
 ²  o²  2
d
Ou, analogamente às

deduções lineares, partir
dt
dos conceitos ao lado e
d

chegar às equações
dt
angulares.
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1º Problema:
Um objeto inicia seu movimento, a partir do
repouso, deslocando-se em trajetória circular de
raio 20 m. A aceleração tangencial em relação à
Terra tem módulo de 2m/s². Após 10s, pede-se:
a) Velocidade tangencial;
b)Aceleração angular;
g) Aceleração total;
c)Velocidade angular;
h) Direção
d)Deslocamento;
aceleração total.
e)Deslocamento angular;
f)Aceleração centrípeta;
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MOVIMENTO CIRCULAR VARIADO NÃO UNIFORME
A velocidade angular e a aceleração angular variam segundo
suas funções que podem mudar de uma situação para outra.
2º Problema:
Um pião gira com aceleração α = 5t³ - 4t, onde t
está em (s) e α está em (rad/s²). Em t = 0 a
velocidade angular do pião é 5 rad/s e uma reta
de referência traçada no pião está na posição
angular θ = 2 rad.
a) Obtenha uma expressão para a velocidade
angular do pião, ω(t).
b) Obtenha uma expressão para a posição
angular do pião, θ(t).
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2º Problema: Resolução
d

dt
d  dt

t
 d   dt
o
to

t
5
0
 d   (5t ³  4t )dt
 5  5 t 4 t0  4 t ²t0
4
2
5
  5  t 4  2t ²
4
5 4
  5  2t ²  t
4
d

dt
d  dt

5 4

 d  t  5  2t ²  4 t dt
o
o
t


2 3t 5 1 5
 2  5t   t 0  . t
3
4 5
2t ³ t 5
  2  5t 

3 4
2t ³ t 5
  2  5t 

3 4

t
0
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t
0
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ACELERAÇÕES (MCUV)
Aceleração tangencial
tem sempre a direção
da velocidade do móvel
  
ar  at  acp

at

r
Aceleração angular
d

dt
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Aceleração
centrípeta é
perpendicular
a

v
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FUNÇÕES DO MCUV
Forma linear:
a
S  So  vot  t ²
2
v  vo  at
v²  vo²  2aS
Sendo:
S

r
v

r
a

r
Forma angular:

  o  ot  t ²
  o  t
2
 ²  o²  2
d
Ou, analogamente às

deduções lineares, partir
dt
dos conceitos ao lado e
d

chegar às equações
dt
angulares.
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CENTRO DE MASSA PARA UM SISTEMA DE
PARTÍCULAS
Num sistema de partículas, trata-se de um ponto que
se move como se: (1º) toda a massa do sistema
estivesse concentrada nesse ponto e (2º) todas as
forças externas estivessem aplicadas nesse ponto.
Sistema com 2 partículas.
xCM
Sistema com n
partículas. Em 1 D
xCM
1

M
n
m x
i 1
i i
m1 x1  m2 x2

m1  m2
Sistema com n
partículas. Em 3 D

1
rCM 
M
n

m r
i 1
i i
Sendo M a massa total do sistema.
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CENTRO DE MASSA PARA UM CORPO
MACIÇO
1

xdm

M
Para objetos sólidos. xCM
Onde dm é o elemento de massa.
Para objetos com massa específica uniforme.
dm M


dV V
MdV
dm 
V
xCM
1
MdV

x

M
V
xCM
1
  xdV
V
Aqui dV é o volume ocupado por um elemento de
massa dm e V é o volume total do objeto.
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3º Problema:
Três partículas de massas m1 = 1,2 kg, m2 = 2,5 kg e
m3 = 3,4 kg formam um triângulo equilátero de lado
a = 140 cm. Onde fica o centro de massa desse
sistema?
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MOMENTO LINEAR
Também chamado de quantidade de movimento.
É uma das duas grandezas criadas para a
correta descrição do inter-relacionamento entre
dois entes ou sistemas físicos.
Para uma partícula:
Pelo conceito de
diferencial da força:
 dp
F
dt


p  m.v
momento
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chegamos
a
forma
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4º Problema:
Um caminhão de 2100 kg viajando para o norte a 41
km/h vira para leste e acelera até 51 km/h. (a) Qual é
a variação da energia cinética do caminhão? Quais
são (b) o módulo e (c) o sentido da variação do
momento?
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MOMENTO LINEAR DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS
O sistema
como um todo tem momento linear

total p que é a soma vetorial dos momentos de
todas as partículas.
  

p  p1  p2  ...  pn




p  m1v1  m2 v2  ...  mn vn


p  MvCM
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COLISÕES e IMPULSO
Consiste no choque entre duas partículas,
surgindo uma força suficiente para mudar o
momento. F  dp dp  F (t )dt
dt
Definindo o intervalo de tempo:
pf
tf


 dp   F (t )dt
pi
ti

 

p  p f  pi  J
 tf 
J   F (t )dt
Impulso
ti
 
p  J Teorema do momento linear e impulso
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5º Problema:
Um carro colide com um muro de proteção conforme
figura. Antes da colisão o carro está se movendo com
uma velocidade escalar vi = 70 m/s, ao longo de uma
linha reta que faz um ângulo de 30º com o muro.
Após a colisão o carro está se movendo com
velocidade escalar v f = 50 m/s, ao longo de uma
linha reta que faz um ângulo de 10º com o muro. A
massa m do piloto é 80 kg.
(a) Qual é o impulso a que o piloto é submetido no
momento da colisão?
(b) A colisão dura 14 ms. Qual é o módulo da força
média que o piloto experimenta durante a colisão?
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CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR
Se um sistema de partículas não está submetido
a nenhuma força externa, o momento linear total
do sistema não pode variar.


p f 1  m.v f 1


pi  m.vi


p f 2  m.v f 2
 
pi  p f
 
pi  p f 1  p f 2
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6º Problema:
Uma urna de votação de massa m = 6,0 kg desliza
com velocidade v = 4,0 m/s em um piso sem atrito no
sentido positivo de um eixo x. A urna explode em dois
pedaços. Um pedaço de massa m1 = 2,0 kg, se move
no sentido positivo do eixo x com v1 = 8,0 m/s. Qual é
a velocidade do segundo pedaço, de massa m2?
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