Física Geral
2010/2011
8 – Momento Angular e Torque:
Movimento de rotação:
Posição, velocidade e aceleração angulares:
Considerando a posição de uma partícula que se move sobre uma trajectória circular,
e sabendo que um arco de circunferência pode ser escrito em função dos seus raio e
ângulo associados:
s  r


s
r
Nestas condições, (ver figura) o deslocamento angular é:
   f  i
Então, a velocidade angular média é:

 f  i
t f  ti


t
Podemos assim escrever que a velocidade angular instantânea é:
 d

t 0 t
dt
  lim
Do mesmo modo, podemos definir a aceleração angular média:

 f  i
t f  ti


t
E a aceleração angular instantânea:
  lim
t 0
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 d

t
dt
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Sendo de notar a semelhança entre estas expressões e as que obtivemos para a
posição, velocidade e aceleração no movimento linear a uma dimensão:
Movimento linear
Movimento circular
Aceleração linear = a
Aceleração angular = α
v f  vi  at
 f  i  t
1
x f  xi  vi t  at 2
2
 f  i  it  t 2
1
2
Para o movimento circular e partindo da expressão acima utilizada;
s  r
ds
d
r
 r
dt
dt
Velocidade tangencial:
v
Aceleração tangencial:
at 
Aceleração centrípeta:
v2
ac   r 2
r
dv
d
r
 r
dt
dt
Energia cinética rotacional
Já vimos que a energia cinética de uma partícula de massa m e com velocidade
tangencial v, é:
Ec 
1 2
mv
2
Para um sistema constituído por um corpo rígido de n partículas, a energia cinética do
sistema:
n
1
2
ESistema   mi vi
i 2
Como o sistema é um corpo rígido, todas as partículas têm a mesma velocidade
angular ω, então:
Portanto:
vi  ri
n
1
1 n
2
2
ESistema   mi vi    mi ri  2
2 i
i 2

n
Define-se momento de inércia como:
I   mi ri
2
i
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ESistema 
Então a energia cinética rotacional é:
1 2
I
2
Torque e momento angular
Torque
Definimos o torque como:
e a sua magnitude:



 r F
  r F sen
Momento angular

Considerando uma partícula de massa m, com o vector posição r , que se move com o

momento linear p
Sabemos que:



  r   F
 dp
F
  dt


dr  
dr 
Como
 v e p são paralelos:
 p0
dt
dt
Então, pela regra da derivada do produto:



 
 dp  dp dr  d (r  p)
  r  dt  r  dt  dt  p  dt

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  
Lr  p
Definimos momento angular como:
e a sua magnitude:
Então:
L  m v r sen

dL
  dt

Corpo rígido
Num corpo rígido em rotação, todas as partículas que o compõem têm a mesma
velocidade angular ω, logo para a partícula i, podemos escrever:
Li  mi ri 2
O momento angular do objecto todo (rotação em torno do eixo z), corresponde ao
somatório dos momentos angulares de todas as partículas que o compõem:
Lz   Li   mi ri 2
i
i
Sabemos o momento de inércia do corpo rígido em torno do eixo z:
I   mi ri 2
i
Então:
Derivando:
Lz  I
dL dI
d
 I
dt dt
dt
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dI

Como o momento de inércia I é constante para um corpo rígido: 
 0
 dt

dL
d
I
 I
dt
dt
Então podemos escrever o torque como:
  I
Conservação do momento angular
Num sistema isolado, o momento angular total é constante:

dLTotal
  dt  0

Ou seja:


LTotal  const


Linicial  L final
Ou, para a rotação em torno de um eixo fixo, ou em torno do centro de massa:
I inicial inicial  I final  final
Podemos assim resumir que, para um sistema isolado, há conservação da energia, do
momento linear e do momento angular:
 Einicial  E final


 pinicial  p final

L

L
final
 inicial
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Condições de equilíbrio estático
Já estudámos que, para o movimento de translação quando a resultante das forças
que actua num objecto é nula, ele permanece em equilíbrio, ou seja permanece em
repouso, se estava em repouso ou com velocidade constante, portanto movimento
rectilíneo e uniforme, com aceleração zero.
Podemos fazer o mesmo raciocínio para o movimento rotacional quando o somatório
dos torques devido a forças externas é zero, então a aceleração angular também é
zero e o objecto está em equilíbrio rotacional
Podemos assim resumir as condições de equilíbrio, translaccional e rotacional para um
objecto:

 F  0
 
   0
Caso particular, se as forças que actuam num objecto estiverem todas no mesmo
plano XY, então as condições de equilíbrio:
 Fx  0

 Fy  0
  0
 z
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