Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de Fı́sica – Fı́sica III
– 2012/2
Primeira Prova: 10/12/2012
Versão: A
~ e = qE
~ ,
F
~ = −∇V
~ ,
E
Formulário
1
~ = k0 q r̂
E
onde
k
=
,
0
r2
4πǫ0
q
V = k0 ,
r
U = k0
qq ′
r
~ ·dA
~ = Qint
E
ǫ0
S
I
~
~ = E0 ,
E
K
,
3. A figura mostra um sistema formado por quatro fios retilı́neos de mesmo comprimento L e um anel de raio r. As
projeções dos fios retilı́neos se encontram no ponto P que
fica no centro do anel. As linhas contı́nuas representam
distribuições uniformes com densidade linear λ+ de carga
positiva e as linhas tracejadas representam distribuições
também uniformes com densidade linear λ− = −λ+ de
carga negativa. Sendo E o módulo do campo elétrico re~ no ponto P e V o potencial elétrico no mesmo
sultante, E,
ponto, qual das alternativas abaixo é a correta? Considere
o potencial elétrico nulo no infinito.
C = Q/V
(a)
(b)
Seção 1.
(c)
Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
(d)
2. Considere uma esfera maciça com densidade volumar de
carga constante (estacionária e uniforme), raio R e carga
total Q > 0. Qual das alternativas abaixo melhor representa os gráficos do módulo do campo elétrico e do potencial elétrico devidos a essa esfera em função da distância
r ao centro?
1. A figura mostra um dipolo elétrico, imerso em um campo
~ = E x̂
elétrico constante (estacionário e uniforme) E
(E > 0), em três configurações diferentes. O comprimento
do dipolo é L. Qual dessas configurações é a de equilı́brio
estável e quais são, para essa configuração estável, o vetor
momento de dipolo elétrico ~p e a energia potencial elétrica
U?
(a)
(b)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Configuração 3. ~p = −qLx̂ e U = 0.
(e)
(f)
5. Considere as seguintes três afirmacões relativas a um condutor em equilı́brio eletrostático: (I) podemos ter uma
linha de campo elétrico que une dois pontos do condutor, (II) em um ponto imediatamente fora da superfı́cie do
condutor, no qual a densidade superficial de carga é σ, o
campo elétrico tem módulo |σ|/(2ǫ0 ), e (III) em uma cavidade vazia, cercada pelo condutor, o campo elétrico é zero.
Qual das alternativas abaixo indica a(s) afirmação(oes)
correta(s)?
~ = E x̂ e V = 0.
E
~ = −E x̂ e V = 0.
E
~ = E ŷ e V = 0.
E
~ = −E ŷ e V = 0.
E
~ = E x̂ e V = λ+ .
E
2πǫ0
~ = −E x̂ e V = λ+ .
E
2πǫ0
4. A figura mostra três sistemas com distribuições uniformes
de carga interagindo eletrostaticamente. Em todos, temos
um plano infinito com densidade superficial de carga σ interagindo com: um anel (1), um disco (2) e uma esfera
(3). O anel, o disco e a esfera têm a mesma carga total Q. Qual das alternativas abaixo melhor representa a
comparação entre os módulos das forças elétricas exercidas pelo plano sobre: o anel (F1 ), o disco (F2 ) e a esfera
(F3 )?
Configuração 1. ~p = qLx̂ e U = −qLE.
(c)
Configuração 3. ~p = qLx̂ e U = −qLE.
Configuração 2. ~p = −qLŷ e U = 0.
(g)
Configuração 3. ~p = qLx̂ e U = qLE.
(h)
Configuração 1. ~p = qLx e U = qLE.
Somente a I e a II.
Somente a I e a III.
(c)
Somente a II e a III.
(d)
Somente a I.
(e)
Somente a II.
(f)
Somente a III.
(g)
Todas são corretas.
(h)
Nenhuma é correta.
6. A figura mostra um corte transversal de um capacitor de
placas planas e paralelas. O espaço entre as placas está
preenchido por dois meios isolantes (1 e 2) de constantes dielétricas K1 e K2 , de modo que uma metade de tal
espaço é preenchida pelo isolante 1, e a outra metade,
pelo isolante 2. Qual das alternativas indica o valor correto da capacitância desse capacitor, em termos da sua
capacitância no vácuo C0 ?
Configuração 2. ~p = qLŷ e U = −qLE.
Configuração 1. ~p = −qLx̂ e U = 0.
(a)
(b)
(d)
(a)
(e)
1
(a)
F1 > F2 > F3 .
(b)
F1 = F2 = F3 .
(c)
F1 > F2 = F3 .
(d)
F1 = F2 > F3 .
(e)
F1 = F2 < F3 .
(f)
F3 > F1 > F2 .
(g)
F1 < F2 < F3 .
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
2
2 (K1 + K2 ) C0 .
K1 K2
C0 .
K1 + K2
2K1 K2
C0 .
K1 + K2
(K1 + K2 ) C0 /2.
K1 K2
C0 .
2 (K1 + K2 )
(K1 + K2 ) C0 .
7. Seja dado um capacitor, com certa geometria e meio
dielétrico de “recheio”. Das três afirmações a seguir,
qual(is) é(são) a(s) verdadeira(s)? (I) ao dobrarmos a
carga em cada uma de suas placas, a sua capacitância
também dobra; (II) ao aproximarmos uma placa da outra, a sua capacitância cresce, e (III) ao retirarmos o meio
dielétrico, a sua capacitância diminui.
(a)
Todas são verdadeiras.
(b)
Somente a I e a II.
(c)
Somente a I e a III.
(d)
Somente a II e a III.
(e)
Somente a I.
(f)
Somente a II.
(g)
Somente a III.
(h)
Nenhuma é verdadeira.
9. Na figura, representamos um gráfico do potencial elétrico
entre duas placas planas, paralelas e extensas, uniformemente carregadas com cargas de sinais opostos, conforme
medido ao longo da direção ortogonal às placas, sendo uma
das placas escolhida como tendo potencial e posição nu~ em qualquer ponto entre
los. Qual é o campo elétrico E
as placas?
(a)
(b)
(c)
(d)
−(10000 V/m) x̂.
−(1000 V/m) x̂.
(1 V/m) x̂.
−(1 V/m) x̂.
(e)
(100 V/m) x̂.
(f)
−(100 V/m) x̂.
10. Considere as seguintes distribuições de carga:
i esfera com densidade volumar de carga ρ = ρ(r, θ, φ),
em coordenadas esféricas;
ii fio retilı́neo muito longo (suposto infinito) com densidade linear de carga não uniforme;
Seção 2. Questões discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. [2,5 pontos] Uma partı́cula de carga q > 0 e massa m
encontra-se, inicialmente, em um ponto P , de cota z > 0,
no eixo perpendicular de simetria Z de um anel circular.
Em um determinado instante, essa partı́cula é lançada (ou
impulsionada), com velocidade ~v = −vẑ, no sentido do anel.
Sabe-se que tal anel tem raio R e densidade linear de carga
constante (estacionária e uniforme) λ0 > 0.
(a) Determine o potencial elétrico devido ao anel na posição
inicial da partı́cula. [0,6 ponto]
(b) Deduza, a partir do item anterior, o campo elétrico devido
ao anel na posição inicial da partı́cula. [0,6 ponto]
(c) Determine a energia mecânica total da partı́cula imediatamente após o lançamento. [0,6 ponto]
(d) Deduza o módulo da velocidade crı́tica vc , acima do qual
a partı́cula cruza o centro do anel. [0,7 ponto]
2. [2,5 pontos] Um cilindro circular de raio a e comprimento infinito possui uma densidade volumar de carga ρ(r) = k/r,
onde k é uma constante e r é a distância ao eixo do cilindro.
Esse cilindro é coaxial a um outro cilindro vazado, neutro,
também de comprimento infinito e feito de material condutor,
em equilı́brio eletrostático, com raio interno b e raio externo
c, de modo que 0 < a < b < c, conforme ilustrado na figura.
(a) Determine a densidade linear de carga ao longo do eixo do
cilindro interno. [0,5 ponto]
(b) Calcule o campo elétrico em cada uma das quatro regiões:
0 ≤ r ≤ a, a ≤ r < b, b < r < c e c < r < ∞. [2,0 pontos]
iii anel circular com densidade linear de carga constante
(estacionária e uniforme);
8. Considere três objetos carregados: (I) um fio retilı́neo,
posicionado entre os pontos x = 0 e x = L > 0, com
densidade linear de carga λ = ax (a = const); (II) uma
chapa plana, ocupando o quadrado {(x, y)|0 ≤ x, y ≤ L},
com densidade superficial σ = by (b = const), e (III) um
sólido, ocupando o cubo {(x, y, z) | 0 ≤ x, y, z ≤ L}, com
densidade volumar ρ = cz (c = const). Todos esses objetos encontram-se no interior de uma superfı́cie fechada S.
Qual das alternativas abaixo corresponde ao fluxo elétrico
através da superfı́cie S?
1 aL2 bL3 cL4
(a)
Φ=
+
+
.
ε0
2
2
2
1
aL2 + bL3 + cL4 .
(b) Φ =
ε0
1
aL + bL2 + cL3 .
(c)
Φ=
ε0
1
(d) Φ =
aL2 + 2bL3 + 3cL4 .
ε0
1/3
1 abcL9
(e)
Φ=
.
ε
9
iv cilindro muito longo (suposto infinito) com densidade volumar de carga ρ = ρ(r), em coordenadas
cilı́ndricas;
v disco circular com densidade superficial de carga
constante (estacionária e uniforme).
Em qual(is) delas pode-se aplicar a lei de Gauss, suplementada por argumentos de simetria, para determinar o
campo elétrico em um ponto genérico do espaço?
(a)
3
Em todos os casos.
(b)
Nos casos (i), (ii) e (iv).
(c)
Somente no caso (iv).
(d)
Nos casos (ii), (iv) e (v).
(e)
Somente no caso (i).
(f)
Em todos casos exceto o (ii).
(g)
Somente no caso (iii).
(h)
Somente nos casos (i) e (iv).
4
Gabarito para Versão A
Seção 1.
Múltipla escolha (10×0,5 = 5,0 pontos)
1. A figura mostra um dipolo elétrico, imerso em um campo
~ = E x̂
elétrico constante (estacionário e uniforme) E
(E > 0), em três configurações diferentes. O comprimento
do dipolo é L. Qual dessas configurações é a de equilı́brio
estável e quais são, para essa configuração estável, o vetor
momento de dipolo elétrico ~p e a energia potencial elétrica
U?
2. Considere uma esfera maciça com densidade volumar de
carga constante (estacionária e uniforme), raio R e carga
total Q > 0. Qual das alternativas abaixo melhor representa os gráficos do módulo do campo elétrico e do potencial elétrico devidos a essa esfera em função da distância
r ao centro?
3. A figura mostra um sistema formado por quatro fios retilı́neos de mesmo comprimento L e um anel de raio r. As
projeções dos fios retilı́neos se encontram no ponto P que
fica no centro do anel. As linhas contı́nuas representam
distribuições uniformes com densidade linear λ+ de carga
positiva e as linhas tracejadas representam distribuições
também uniformes com densidade linear λ− = −λ+ de
carga negativa. Sendo E o módulo do campo elétrico re~ no ponto P e V o potencial elétrico no mesmo
sultante, E,
ponto, qual das alternativas abaixo é a correta? Considere
o potencial elétrico nulo no infinito.
(a)
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Configuração 3. ~p = −qLx̂ e U = 0.
(e)
(f)
Configuração 1. ~p = qLx̂ e U = −qLE.
5. Considere as seguintes três afirmacões relativas a um condutor em equilı́brio eletrostático: (I) podemos ter uma
linha de campo elétrico que une dois pontos do condutor, (II) em um ponto imediatamente fora da superfı́cie do
condutor, no qual a densidade superficial de carga é σ, o
campo elétrico tem módulo |σ|/(2ǫ0 ), e (III) em uma cavidade vazia, cercada pelo condutor, o campo elétrico é zero.
Qual das alternativas abaixo indica a(s) afirmação(oes)
correta(s)?
~ = E x̂ e V = 0.
E
~ = −E x̂ e V = 0.
E
~ = E ŷ e V = 0.
E
~ = −E ŷ e V = 0.
E
~ = E x̂ e V = λ+ .
E
2πǫ0
λ+
~
E = −E x̂ e V =
.
2πǫ0
(a)
Somente a I e a II.
(b)
Somente a I e a III.
(c)
Somente a II e a III.
(d)
Somente a I.
(e)
Somente a II.
(f)
Somente a III.
(g)
Todas são corretas.
(h)
Nenhuma é correta.
Configuração 2. ~p = qLŷ e U = −qLE.
Configuração 1. ~p = −qLx̂ e U = 0.
(c)
Configuração 3. ~p = qLx̂ e U = −qLE.
Configuração 2. ~p = −qLŷ e U = 0.
(g)
Configuração 3. ~p = qLx̂ e U = qLE.
(h)
Configuração 1. ~p = qLx e U = qLE.
(d)
4. A figura mostra três sistemas com distribuições uniformes
de carga interagindo eletrostaticamente. Em todos, temos
um plano infinito com densidade superficial de carga σ interagindo com: um anel (1), um disco (2) e uma esfera
(3). O anel, o disco e a esfera têm a mesma carga total Q. Qual das alternativas abaixo melhor representa a
comparação entre os módulos das forças elétricas exercidas pelo plano sobre: o anel (F1 ), o disco (F2 ) e a esfera
(F3 )?
6. A figura mostra um corte transversal de um capacitor de
placas planas e paralelas. O espaço entre as placas está
preenchido por dois meios isolantes (1 e 2) de constantes dielétricas K1 e K2 , de modo que uma metade de tal
espaço é preenchida pelo isolante 1, e a outra metade,
pelo isolante 2. Qual das alternativas indica o valor correto da capacitância desse capacitor, em termos da sua
capacitância no vácuo C0 ?
(e)
1
(a)
F1 > F2 > F3 .
(b)
F1 = F2 = F3 .
(c)
F1 > F2 = F3 .
(d)
F1 = F2 > F3 .
(e)
F1 = F2 < F3 .
(f)
F3 > F1 > F2 .
(g)
F1 < F2 < F3 .
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
2
2 (K1 + K2 ) C0 .
K1 K2
C0 .
K1 + K2
2K1 K2
C0 .
K1 + K2
(K1 + K2 ) C0 /2.
K1 K2
C0 .
2 (K1 + K2 )
(K1 + K2 ) C0 .
7. Seja dado um capacitor, com certa geometria e meio
dielétrico de “recheio”. Das três afirmações a seguir,
qual(is) é(são) a(s) verdadeira(s)? (I) ao dobrarmos a
carga em cada uma de suas placas, a sua capacitância
também dobra; (II) ao aproximarmos uma placa da outra, a sua capacitância cresce, e (III) ao retirarmos o meio
dielétrico, a sua capacitância diminui.
(a)
Todas são verdadeiras.
(b)
Somente a I e a II.
(c)
Somente a I e a III.
(d)
Somente a II e a III.
(e)
Somente a I.
(f)
Somente a II.
(g)
Somente a III.
(h)
Nenhuma é verdadeira.
9. Na figura, representamos um gráfico do potencial elétrico
entre duas placas planas, paralelas e extensas, uniformemente carregadas com cargas de sinais opostos, conforme
medido ao longo da direção ortogonal às placas, sendo uma
das placas escolhida como tendo potencial e posição nu~ em qualquer ponto entre
los. Qual é o campo elétrico E
as placas?
(a)
(b)
−(10000 V/m) x̂.
−(1000 V/m) x̂.
(c)
(1 V/m) x̂.
(d)
−(1 V/m) x̂.
(e)
(100 V/m) x̂.
(f)
−(100 V/m) x̂.
10. Considere as seguintes distribuições de carga:
i esfera com densidade volumar de carga ρ = ρ(r, θ, φ),
em coordenadas esféricas;
ii fio retilı́neo muito longo (suposto infinito) com densidade linear de carga não uniforme;
iii anel circular com densidade linear de carga constante
(estacionária e uniforme);
8. Considere três objetos carregados: (I) um fio retilı́neo,
posicionado entre os pontos x = 0 e x = L > 0, com
densidade linear de carga λ = ax (a = const); (II) uma
chapa plana, ocupando o quadrado {(x, y)|0 ≤ x, y ≤ L},
com densidade superficial σ = by (b = const), e (III) um
sólido, ocupando o cubo {(x, y, z) | 0 ≤ x, y, z ≤ L}, com
densidade volumar ρ = cz (c = const). Todos esses objetos encontram-se no interior de uma superfı́cie fechada S.
Qual das alternativas abaixo corresponde ao fluxo elétrico
através da superfı́cie S?
1 aL2 bL3 cL4
(a)
Φ=
+
+
.
ε0
2
2
2
1
aL2 + bL3 + cL4 .
(b) Φ =
ε0
1
aL + bL2 + cL3 .
(c)
Φ=
ε0
1
(d) Φ =
aL2 + 2bL3 + 3cL4 .
ε0
1/3
1 abcL9
(e)
Φ=
.
ε
9
iv cilindro muito longo (suposto infinito) com densidade volumar de carga ρ = ρ(r), em coordenadas
cilı́ndricas;
v disco circular com densidade superficial de carga
constante (estacionária e uniforme).
Em qual(is) delas pode-se aplicar a lei de Gauss, suplementada por argumentos de simetria, para determinar o
campo elétrico em um ponto genérico do espaço?
3
(a)
Em todos os casos.
(b)
Nos casos (i), (ii) e (iv).
(c)
Somente no caso (iv).
(d)
Nos casos (ii), (iv) e (v).
(e)
Somente no caso (i).
(f)
Em todos casos exceto o (ii).
(g)
Somente no caso (iii).
(h)
Somente nos casos (i) e (iv).
Seção 2. Questões discursivas (2×2,5 = 5,0 pontos)
1. [2,5 pontos] Uma partı́cula de carga q > 0 e massa m
encontra-se, inicialmente, em um ponto P , de cota z > 0,
no eixo perpendicular de simetria Z de um anel circular.
Em um determinado instante, essa partı́cula é lançada (ou
impulsionada), com velocidade ~v = −vẑ, no sentido do anel.
Sabe-se que tal anel tem raio R e densidade linear de carga
constante (estacionária e uniforme) λ0 > 0.
(a) Determine o potencial elétrico devido ao anel na posição
inicial da partı́cula. [0,6 ponto]
(b) Deduza, a partir do item anterior, o campo elétrico devido
ao anel na posição inicial da partı́cula. [0,6 ponto]
(c) Determine a energia mecânica total da partı́cula imediatamente após o lançamento. [0,6 ponto]
(d) Deduza o módulo da velocidade crı́tica vc , acima do qual
a partı́cula cruza o centro do anel. [0,7 ponto]
Resolução:
(a) Já supondo que o zero do potencial está no infinito, podemos dizer que uma contribuição infinitesimal dV para o
potencial eletrostático em um ponto (de observação) a uma distância r de um elemento infinitesimal da distribuição com
carga infinitesimal dq, é
1 dq
[0,2 ponto]
.
dV =
4πǫ0 r
Logo, para a distribuição completa de carga, no domı́nio curvilı́neo C, por superposição, temos
Z
dq
1
.
V =
4πǫ0 C r
No caso concreto, de um ponto sobre o eixo perpendicular de simetria (x = y = 0, z) do anel, é óbvio que todos os pontos
do anel carregado estão à mesma distância do ponto P . Logo,
Z
1
V =
dq
4πǫ0 r C
1 Q
=
[0,2 ponto]
,
4πǫ0 r
onde, claro, Q é a carga total do anel, ou seja,
Q = λ0 2πR ,
e
r=
Finalmente, então,
p
R2 + z 2 .
V (x = y = 0, z) =
λ R
√0
.
2ǫ0 R2 + z 2
(b) Genericamente, o campo eletrostático se relaciona com o potencial eletrostático por
~ = −∇V.
~
E
4
[0,2 ponto]
Por simetria, no eixo Z, sabemos que não existem componentes do campo nas direções x e y. Portanto,
∂V (x = y = 0, z)
~
E(x
= y = 0, z) = −
∂z
−1/2 i
λ0 R ∂ h 2
=−
R + z2
.
2ǫ0 ∂z
[0,3 ponto]
dq = ρ(r)dV
k
[0,2 ponto]
= 2πrhdr .
r
Logo, por integração de r = 0 até r = a, a carga total no cilindro interno, delimitada por uma altura h ao longo do eixo, é
Logo,
λ0
Rz
~
E(x
= y = 0, z) =
ẑ .
2ǫ0 (R2 + z 2 )3/2
Resolução:
(a) Em uma casca cilı́ndrica circular, coaxial com o cilindro interno, de raio r, espessura infinitesimal dr e altura, digamos,
h, ao longo do eixo, a quantidade de carga infinitesimal aı́ existente é
[0,3 ponto]
Q(h) = 2πkah ,
[0,2 ponto]
ou seja, a densidade linear de carga ao longo do eixo do cilindro interno é
(c) A energia mecânica Em da partı́cula é igual a sua energia cinética Ec mais a sua energia potencial Ep . Logo após o
lançamento, a partı́cula possui velocidade −vẑ, donde concluı́mos que sua energia cinética se escreve
1
mv 2 .
2
[0,1 ponto]
qλ R
√ 0
.
2ǫ0 R2 + z 2
(b) Devido à simetria cilı́ndrica da distribuição de carga, sabemos que o campo elétrico, em coordenadas cilı́ndricas (r, ϕ, z),
com eixo Z coincidente com o eixo de simetria da distribuição, só terá componente r, e essa só dependente da coordenada
radial r:
~
E(r,
ϕ, z) = Er (r) r̂(ϕ) .
[0,2 ponto]
qλ0 R
1
mv 2 + √
.
2
ǫ0 R 2 + z 2
[0,2 ponto]
Destarte, em qualquer uma das quatro regiões distintas para determinar o campo elétrico, é conveniente utilizar a lei de
Gauss, com uma superfı́cie gaussiana sendo sempre uma superfı́cie cilı́ndrica coaxial com o eixo da distribuição, de raio r e
altura, digamos, h, de modo que o fluxo sempre terá, genericamente, a expressão
I
~ · n̂ dA
=
ΦE
E
~
ZS
~ · n̂ dA
=
E
Já a energia potencial, logo após o lançamento, é U = qV , ou seja,
Temos então,
Em = Ec + U =
Q(h)
= 2πka .
h
[0,2 ponto]
Ec =
U=
λ=
Slat
(d) A força eletrostática entre o anel e a partı́cula (sempre repulsiva), na parte da trajetória dessa última com z > 0, freará
o movimento. Destarte, a situação limite em que a partı́cula poderá atingir o centro do anel corresponde a ela ter ali uma
energia cinética nula. Logo, por conservação da energia mecânica, devemos ter
Em (z = 0) = Em (z)
1
qΛ R
qλ0 R
√ 0
.
= mvc2 +
0+
2ǫ0 R
2
2ǫ0 R2 + z 2
= Er (r)2πrh .
O que diferirá, nas quatro regiões será a expressão para a carga encerrada pela superfı́cie gaussiana. Assim,
• 0 ≤ r ≤ a:
A carga encerrada é, neste caso,
[0,4 ponto]
vc =
1/2
R
qλ0
1− √
.
ǫ0 m
R2 + z 2
Z
Qint =
ρ(r ′ )dV ′
r
k
2πr ′ hdr ′
r′
= 2πkrh .
Resolvendo para vc , obtemos
r
[0,6 ponto]
Z
=
[0,3 ponto]
r ′ =0
Substituindo na lei de Gauss e resolvendo para Er (r), temos
2. [2,5 pontos] Um cilindro circular de raio a e comprimento infinito possui uma densidade volumar de carga ρ(r) = k/r,
onde k é uma constante e r é a distância ao eixo do cilindro.
Esse cilindro é coaxial a um outro cilindro vazado, neutro,
também de comprimento infinito e feito de material condutor,
em equilı́brio eletrostático, com raio interno b e raio externo
c, de modo que 0 < a < b < c, conforme ilustrado na figura.
(a) Determine a densidade linear de carga ao longo do eixo do
cilindro interno. [0,5 ponto]
(b) Calcule o campo elétrico em cada uma das quatro regiões:
0 ≤ r ≤ a, a ≤ r < b, b < r < c e c < r < ∞. [2,0 pontos]
~ = k r̂ .
E
ǫ0
• a ≤ r < b:
A carga encerrada agora é
Qint =
Z
ρ(r ′ )dV ′
a
k
2πr ′ hdr ′
r′
= 2πkah .
=
Z
r ′ =0
Substituindo na lei de Gauss e resolvendo para Er (r), temos
~ = ka r̂ .
E
ǫ0 r
5
[0,3 ponto]
6
[0,3 ponto]
• b < r < c:
Nesta região, por ser constituı́da de um condutor em equilı́brio eletrostático, o campo elétrico é obviamente nulo:
~ = ~0 .
E
[0,5 ponto]
• c < r < ∞:
A carga encerrada é a mesma que a existente no cilindro interno, pois o cilidnro vazado é neutro, ou seja,
Qint = 2πkah .
Substituindo na lei de Gauss e resolvendo para Er (r), temos
~ = ka r̂ .
E
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7
[0,3 ponto]