COSTA, A.S. BAKUZIS, A.F. Equações de Lorenz na Ferrohidrodinâmica. In:CONGRESSO DE PESQUISA, ENSINO E
EXTENSÃO DA UFG - CONPEEX, 3., 2006, Goiânia. Anais eletrônicos do XIV Seminário de Iniciação Cientı́fica [CD-ROM],
Goiânia: UFG, 2006. n.p.
EQUAÇÕES DE LORENZ NA FERROHIDRODINÂMICA
COSTA, Anderson Silva 1 ; BAKUZIS, Andris Figueirôa 2 .
Palavras-chave: Modelo de Lorenz, Fluidos Magnéticos, Ferrohidrodinâmica.
1. INTRODUÇÃO (justificativa e objetivos)
As aplicações dos fluidos magnéticos são, em sua grande maioria, provenientes de suas
propriedades ferrohidrodinâmicas. Interessantes efeitos nesse sistema decorrem de sua
eficiente resposta a efeitos de campo magnético, por exemplo, na possibilidade de transferência de calor via mecanismo de convecção mesmo em baixas diferenças de temperatura, como consequência de serem sistemas mistos (lı́quido + nanopartı́culas) e da ação
de campo magnético. Matematicamente isso implica que, além da equação de condução
de calor é necessário incluir a densidade de força magnética (Força de Kelvin) na equação
de Navier-Stokes[1]. Historicamente o problema de convecção em fluidos simples foi tratado de forma simplificada por Lorenz sendo considerado um modelo clássico [2]. Neste
trabalho obtivemos, pela primeira vez na literatura, as equações de Lorenz na ferrohidrodinâmica.
2. METODOLOGIA
Repetimos o cálculo teórico realizado por Lorenz para um fluido simples. Posteriormente
utilizamos o modelo para um fluido magnético incluindo a densidade de força magnética
de Kelvin e a partir dai encontramos as esquações de Lorenz na ferrohidrodinâmica.
3. RESULTADOS E DISCUSSÃO
O modelo de Lorenz na Ferrohidrodinâmica
A equação de Navier-Stokes é
³ ∂v
´
∂p
z
→
ρ
+−
v · ∇vz = −ρg −
+ µ∇2 vz + fm
∂t
∂z
´
³ ∂v
∂p
x
−
+→
v · ∇vx = −
+ µ∇2 vx ,
ρ
∂t
∂x
onde a densidade de força magnética é dada por
←
→
fm = ∇ · T m
←
→
sendo T m tensor eletromagnético de Cowley e Rosensweig[4]
o→
n Z H ∂(υM ) ¯
←
→
1
¯
2 ←
~B
~
T m=−
µ0
¯ dH + µ0 H I + H
∂υ H,T
2
0
A equação de condução de calor é descrita por
(1)
(2)
(3)
(4)
∂T −
+→
v · ∇T = DT ∇2 T
(5)
∂t
É interessante escrever a função temperatura em termos de uma nova variável τ com δT
sendo a diferença de temperatura.
³z ´
T (x, z, t) − Tw = τ (x, z, t) −
δT
(6)
h
1
2
Voluntário de iniciação cientı́fica. Instituto de Fı́sica. [email protected]
Orientador, Instituto de Fı́sica, UFG, [email protected]
1
COSTA, A.S. BAKUZIS, A.F. Equações de Lorenz na Ferrohidrodinâmica. In:CONGRESSO DE PESQUISA, ENSINO E
EXTENSÃO DA UFG - CONPEEX, 3., 2006, Goiânia. Anais eletrônicos do XIV Seminário de Iniciação Cientı́fica [CD-ROM],
Goiânia: UFG, 2006. n.p.
A densidade do fluido é apresentada por, onde ρ0 = ρ(Tw )
n
³z ´ o
ρ(T ) = ρ0 − αρ0 τ −
δT
h
(7)
Expansão da magnetização M (H, T ) em série de Taylor ao desprezar-se os termos de
ordem superior
n
³z ´ o
³z ´
M (H, T ) = M0 − κ τ −
δT + χl δH
(8)
h
h
O coeficiente piromagnético
³ ∂M ´
1 ³ ∂M0 ´
κ0
κ=−
=−
=−
∂T H
1 + nχl ∂T H
1 + nχl
A densidade de força magnética
fm = ∇Pm0 − 4π
³z ´ o
µ0 M0 κδT
µ0 κ2 δT n
µ0 κδT χl δHz
+ 4π
τ−
δT − 4π
λh
λh
h
λh2
(9)
Após manipulações matemáticas obtemos a pressão efetiva
³
1³
µ0 κ2 δT 2
µ0 κδT δHχl ´ z 2
µ0 κ2 δT ´
0
z+
αρ0 gδT + 4π
+ 4π
pm = p + ρ0 g + 4π
ρ0 λh
2
λh
λh
h
(10)
A função fluxo (Stream Function) Ψ(x, z, t) é responsável por carregar as informações
sobre o elemento de fluido que está relacionada com sua velocidade por meio das seguintes
equações
∂Ψ(x, z, t)
vx = −
(11)
∂z
∂Ψ(x, z, t)
vz =
(12)
∂x
Ao substituirmos vx e vz definidos acima nas equações de Navier-Stokes, depois de termos
escrito as equações em termos de variáveis adimensionais, realizando uma operação de
derivadas trocadas, subtraimos uma equação da outra e obtemos a equação
∂τ
1 n ∂(∇2 Ψ) ∂ ³ ∂Ψ ∂ 2 Ψ ∂Ψ ∂ 2 Ψ ´ ∂ ³ ∂Ψ ∂ 2 Ψ ∂Ψ ∂ 2 Ψ ´o
−
+
−
−
= R +∇4 Ψ (13)
2
2
σ
∂t
∂x ∂z ∂x
∂x ∂z∂x
∂z ∂z ∂x∂z ∂x ∂z
∂x
As condições de contorno no nosso problema são τ = 0 ⇒ z = 0 e z = 1,
z = 0 e z = 1. Utilizando a suposição de Lorenz
∂vx
∂z
= 0 em
Ψ(x, z, t) = Ψ(t)senπzsenax
(14)
τ (x, z, t) = T1 (t)senπzcosax − T2 (t)sen(2πz)
(15)
A forma final das equações da Lorenz na Ferrohidrodinâmica são dadas pelas equações e
aπ √
rπ
√
fazendo as substituições X(t) = (π2 +a
T (t) e Z(t) = πrT2 (t) obtemos
2 ) 2 Ψ(t), Y (t) =
2 1
Ẋ = σ(Y − X)
(16)
Ẏ = r∗ X − Y − XZ
(17)
2
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EXTENSÃO DA UFG - CONPEEX, 3., 2006, Goiânia. Anais eletrônicos do XIV Seminário de Iniciação Cientı́fica [CD-ROM],
Goiânia: UFG, 2006. n.p.
Ż = XY − b∗ Z
a2
αgh3 δT
κ2 δT 2 h2
(18)
4π 2
Onde r∗ = (a2 +π2 )3 (R+Rm ),R = νDT , Rm = 4π µ0ρ0 λνDT , b = a2 +π2 e σ = DνT . Portanto,
uma primeira aproximação como solução é desprezar os termos de ordem superiores e
combinando as equações (16) e (17) obtemos Ẍ + (1 + σ)Ẋ + σ(1 − r)X = 0. Onde
podemos concluir que para r∗ > 1 temos soluções instáveis, ou seja
a2
(a2 + π 2 )3
(R
+
R
)
>
1
⇒
R
+
R
>
= Rc ⇒ R + Rm > R c
m
m
(a2 + π 2 )3
a2
(19)
Note que para R + Rm > Rc obtemos convecção.
CONCLUSÃO
O objetivo desse projeto foi avaliar as condições em que um fluido magnético sofre
um processo convectivo. Note que ao colocarmos no lugar de um fluido simples um fluido
magnético encontramos alguns parâmetros e condições que permita o controle do processo
de convecção. Por exemplo, analisando a razão entre os números de Rayleigh magnético e
, ou seja, espera-se uma contribuição magnética
Rayleigh gravitacional, obtemos RRm ∝ δT
h
mais significativa quanto menor for h. Diferentemente do Rayleigh gravitacional, Rm ∝
δT 2 . Portanto, a convecção pode ser obtida mesmo com δT < 0. Cabe aqui ainda observar
que os parâmetros do fluido magnético podem ser alterados por meio de um controle da
fração volumétrica de partı́culas.
Finalmente é importante ressaltar que uma pesquisa no portal www.isiknowledge.com
mostrou que não existe nenhum trabalho na literatura que obtém essas equações. Portanto, concluimos que esta é a primeira demostração das equações de Lorenz na ferrohidrodinâmica.
Referências
[1] W.Luo , T. Du, J. Huang, Phys. Rev. Lett. 82, 4134 (1999).
[2] E. N. Lorenz, J. Atmos. Sci. 20, 130 (1963).
[3] M.D. Cowley , R.E. Rosensweig. J. Fluid Mech 30(4), 671 (1967).
[4] R. E. Rosensweig, ”Ferrohydrodynamics”, Dover Publ., New York (1997).
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