Aula Teorica 9
RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA
Diagrama Polar
Criterio de Estabilidade de Nyquist
Conceito de resposta de freqüência:
É a resposta em estado estacionário de um sistema quando
se estimula com uma entrada sinusoidal cuja freqüência
varia de zero até infinito.
x(t)
Se
x(t )  Xsent
Sistema
linear
Então:
y(t)
y (t )  Ysen(t   )
PODE-SE DEMONSTRAR QUE:
S  jw
SUBSTITUINDO
NA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
OBTÉM-SE A RESPOSTA DE FREQÜÊNCIA
(PODE CONSULTÁ-LO EM LIVROS DE TEXTO)
EXEMPLO
Si
Então
Y ( s)
5
G( s) 

X ( s) ( S  5)(S  2)
Y ( jw)
5
G ( jw) 

X ( jw) ( jw  5)( jw  2)
OBSERVE QUE
G( jw)
É UM NUMERO COMPLEXO
SE FOR ASSIM ENTÃO SE PODE REPRESENTAR
G( jw) G( jw)
G ( jw)  (Re G ( jw))  (Im G ( jw))
2
ImG( jw)
G( jw)  tan
Re G( jw)
1
2
EXEMPLO
5
G(s) 
20S  1
5
G ( jw) 
20 jw  1
5
G ( jw) 
2
1  400w
1
G ( jw)   tan 20w
UMA VEZ QUE SE TEM A EXPRESSÃO MATEMÁTICA QUE
REPRESENTA A RESPOSTA DE FREQÜÊNCIA
Geralmente
DESENHA-HE
Diagramas de bode
UM
DOIS
MAGNITUDE(db)
VS
LOG(W)
Diagramas polares
FASE
VS
LOG(W)
MAGNITUDE E FASE
COM A FREQÜÊNCIA
VARIANDO ENTRE ZERO
E INFINITO
A resposta de freqüência
se apresenta em um solo
gráfico;  fica implícita.
Exemplos
5
GH ( s) 
S (0.2S  1) 2
w0
G(jw)  
G(jw)  -90
w
G(jw)  0
G(jw)  -270
ESTE É O DIAGRAMA POLAR
Exercícios propostos
10
GH ( s ) 
( S  2)(S  1)
10
GH ( s ) 
S ( S  1)
10
GH ( s )  2
S ( S  1)
10( S  2)
GH ( s )  3
S ( S  1)
K
GH ( s ) 
S ( S  2)(S  10)
50
GH ( S ) 
S ( S  5)(S  1)
Critério de estabilidade do Nyquist
Primeiro achamos algumas considerações matemática
•O critério do Nyquist se apóia no Teorema de transformação de trajetórias
no plano complexo:
Suponha que temos três planos
Suponha que temos uma função de tranferencia
1
G ( s) 
S 1
e que S=j
(0;j1)
A
B
1 1 
  j
2 2 
3 1 
  j
2 2 
C
Observar que um ponto no plano S, significa um ponto no plano GH e também
no plano 1+GH
Da mesma forma que um contorno fechado no plano S que não
passa por nenhum ponto singular do GH ou de 1+GH, este dará um
contorno fechado nestes.
Com um contorno em S haverá um só contorno no GH ou em 1+GH ?
NÃO
pode-se demonstrar (Não é objetivo fazê-lo aqui)
O número de voltas à origem no plano 1+GH é igual à diferença de zeros e
pólos da função de transferência de laço fechado dentro do contorno que
achamos feito no plano S
SE FORMOS ANALISAR A ESTABILIDADE DOS SISTEMAS .
Que contorno vocês acreditam que tenha estabelecido nyquist
sobre o plano s?
Onde nos interessa saber se houver raizes da equação
caracteristica (1+GH=0) para dizer se o sistema é instável?
Nyquist definiu
uma trajetória no Plano s, que abrange todo o semiplano
direito.
j
Seção II
s  lim Re j

Seção I
0w 
Seção III
 w0

2
R 
 

2

A trajetória do
Nyquist abrange
todos os pólos
e zeros de 1+GH
no semiplano direito.
O critério do Nyquist estabelece
O número de voltas à origem no Plano 1+GH é igual à
diferença de zeros e pólos que se encontram dentro do
contorno no Plano S
N=Z-P
N: # de voltas à origem no Plano 1+GH
Z: # de zeros de 1+GH dentro do contorno do plano S
P: # de pólos de 1+GH dentro do contorno do plano S
Para que o sistema seja estável que valor deve tomar Z?
Z 0
Então
Se o 1+GH tiver K
pólos edentro do contorno
Se o 1+GH não tiver
pólos edentro do contorno
N 0
N  K
Isto quer dizer que ao percorrer
o contorno do Nyquist no plano S
, deve encerrar-se K vezes a origem
no plano 1+GH no sentido antihorario
Isto quer dizer que ao percorrer o
contorno do Nyquist no plano S ,
NÃO deve encerrar a origem no
plano 1+GH
Para que o sistema seja estável
Agora bem
Trabalhar no plano 1+GH é muito difícil
Pergunto então
Como deslocar todo este critério do Nyquist ao plano
GH que se trabalha muito mais fácil e que nos
permitirá, conhecendo a função de transferência de
laço aberto, determinar a estabilidade do sistema em
laço fechado?
Observem
Tudo o que se disse com respeito à origem quando
trabalhamos com 1+GH agora é válido para o GH mas com
respeito ao ponto
(1;0)
Agora
O critério do Nyquist estabelece
O número de voltas ao ponto (1;0) no Plano GH é igual à
diferença de zeros e pólos que se encontram dentro do
contorno no Plano S
Mas
N: # de voltas ao ponto (1;0) no Plano GH
Z: # de zeros de 1+GH dentro do contorno do plano S
P: # de pólos de GH dentro do contorno do plano S
No caso que G(s)H(s) tenha pólos ou zeros sobre o eixo j,
então terá que modificar a trajetória do Nyquist.
Geralmente se deixam fora da trajetória os pólos e zeros
que estão sobre o eixo imaginário.
modifica-se a trajetória na origem
e além das três anteriores aparece
a secció IV
secció IV
s  lim Re j


2
R 0
 

2
Todo o resto é igual
EXEMPLOS
G(s) H (s) 
K
s (Ts  1)
Im
0-
-1+j0
=
X
Re

N=0
P=0
Z=0
0+
Sistema estável
G ( s) H ( s) 
=
K
1  sT

K
=0
N=0
P=1
Z=1
Sistema
inestável
5
G(s) 
s1  s 
Im
=0-
N=0
P=1
Z=1
=

Re
=0+
Sistema
inestável
Exercicios