Fundamentos de Controlo
Nyquist
Critério de Nyquist
Introdução
Definição; Teorema de Cauchy.
Método de Nyquist
Contorno de Nyquist; Construção e análise do diagrama.
Estabilidade relativa; Margens de ganho e de fase.
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Introdução
Rs 

Y s 
G s 
K

O critério de Nyquist é um método gráfico que
parte do conhecimento da função resposta em
frequência da malha aberta para avaliar a
estabilidade do sistema em malha fechada
Função de transferência em cadeia fechada:
KG s 
1  KG s H s 
H s 
função de transferência
em cadeia aberta
Critério de estabilidade absoluta: as raízes da equação característica (polos da função
de transferência em cadeia fechada)
1  KGs H s   0
situam-se no semiplano complexo esquerdo
O critério de Nyquist baseia-se no teorema de Cauchy para funções de
variável complexa
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Teorema de Cauchy
Dada uma função F s  , analítica sobre todo um contorno C e no interior deste
excepto para um número finito de pontos, quando s percorre, num dado
sentido, o contorno C , F s  percorre um contorno imagem C  dando em torno
da origem do plano complexo um número de voltas N que é igual ao número
de zeros Z menos o número de polos P de F s  no interior do contorno C :
N Z P
Ex. 1

Im
 C
 
plano s
plano F s 
Re
C  dá 1 volta, no mesmo sentido
que C , em torno da origem.


Re
plano s
plano F s 
Im

C
Z  2  N  Z  P  1
P  1 
Isabel Lourtie
Ex. 2
Im


Im
C
C
Re
Re
Z  1   N  Z  P  1
P  2
C  dá 1 volta, em sentido contrário
a C , em torno da origem.
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Rs 
Método de Nyquist

Y s 
G s 
K

H s 
Aplicação do Teorema de Cauchy ao estudo da
estabilidade de um sistema em anel fechado
Objectivo: determinar se F s  1  KGs H s  possui zeros no semiplano
complexo direito
Definição do contorno C - contorno de Nyquist
KGs H s  não tem polos sobre o
KGs H s  tem polos sobre o eixo
eixo imaginário
imaginário
Im
Im

C - semicircunferência de raio  inclui todo o semiplano complexo
direito
Re
Plano s
Isabel Lourtie
Sentido positivo: sentido
dos ponteiros do relógio



raio   0
C
Re
Plano s
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Rs 
Método de Nyquist

Y s 
G s 
K

H s 
Objectivo: determinar se F s  1  KGs H s 
possui zeros no semiplano complexo direito
Im

F s  1  KGs H s 
Plano s
Im
Contorno
de Nyquist
Plano F(s)
C
1
Re
0
Re
N - nº de voltas de C 
em torno da origem
N Z P
Z

- nº de zeros de F s - igual ao nº de polos
da f.t.c.f. - no semiplano complexo direito
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P - nº de polos de F s  - igual
ao nº de polos de KGs H s  no semiplano complexo direito
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Nyquist
Fundamentos de Controlo
Método de Nyquist
Nº voltas de
F s  1  KGs H s 
em torno da origem

Nº voltas de
KGs H s 
em torno de  1
Im
Im
KGs H s 

Contorno
de Nyquist
2
Re
1
N - nº de voltas de
KGs H s 
  s
- nº de zeros de 1  KG s H
no semiplano complexo direito
Z
P - nº de polos
Re
Diagrama
de Nyquist
em torno de  1
N Z P
0
KGs H s 
no semiplano complexo direito
Nº de polos da função de transferência em
cadeia fechada no semiplano complexo direito
O sistema em cadeia fechada é estável sse Z  0  N   P
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Nyquist
Im
O diagrama de Nyquist é uma representação polar de
KGsH s  KGsH s e
j arg KG s H s 
KGs1 H s1 
argKGs1 H s1 
para um dado valor de K
Contorno
de Nyquist
s1
Re
Im
s  j
KG j H  j  - pode obter-se a partir do
diagrama de Bode
KG j H  j 

Re
- função par
argKG j H  j  - função ímpar
O diagrama de Nyquist é simétrico em relação ao eixo real
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DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Nyquist
Contorno
de Nyquist
Im
  
s  re j ;    ,  ; r  
 2 2

KGs H s   K
s  z1 s  z2 s  zm 
s  p1 s  p2 s  pn 
Re
 n  m : KGs H s   0
A imagem da semi-circunferência de raio
infinito é a origem
 n  m : KGs H s   valorfinito
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DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Exemplo 1
Amplitude (dB)
Diagrama de Nyquist
Rs 
K dB

K dB  20
K dB  40
Fase (º)
 45
Y s 
1
s 1
K

KG s H s  
0
 90
102
K 0
K
s 1
polo: s  1 P  0
101
100
 rad/s
K  0, N  0
102
101
  1
Im

1
Contorno de
Nyquist
Z NP0
  
Re
K
Im 0
  
0
Isabel Lourtie
 0
K /2
Re
O sistema em
anel fechado é
estável para K  0
 1
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Amplitude (dB)
Diagrama de Nyquist
Exemplo 1 (cont.)
Rs 
K dB

K dB  20
K dB  40
Fase (º)
180
K 0
K
1
s 1
KG s H s  
K
s 1

Y s 
135
90
102
só a fase se altera
1
0
10
1
10
 rad/s
10
2
10
 1
Im
Contorno de
Nyquist
  
 0

1
Im
Re
0
K
K /2
Re
Isabel Lourtie
  
  1
0
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Nyquist
1  K  0
Exemplo 1 (cont.)
KG s H s  
 1
K
s 1
polo: s  1 P  0
 1  K  0, N  0
  
 0
Im
0
1
K
K /2
Re
K  1, N  1
  
  1
Isabel Lourtie
O sistema em
anel fechado é
estável para
1  K  0
K  1
 1
1 polo no SPCD
  
 0
Im
Z  N  P 1
Z NP0
0
O sistema em
anel fechado é
instável para
K  1
K 0
0
K
1
K /2
Re
  
  1
0
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Nyquist
Exemplo 1 (cont.)
K 0
K 0
 1
  1
  
K
Im 0
  
0
  
 0
 0
K /2
Re
Im 0
K
K /2
 1
  
  1
Re
0
rotação de 180º em torno da origem do plano
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Amplitude (dB)
Diagrama de Nyquist
K 0
Exemplo 2
Rs 
K dB

K dB  20
K

Y s 
1
s 1
K dB  40
Fase (º)
 90
KG s H s  
 135
 180
102
101
Im
100
 rad/s
Contorno de
Nyquist
  
Im
1
Re
polo: s  1 P  1
Isabel Lourtie
  1
102
101
K
s 1
0
K
 0
K /2
Re
  
 1
0
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Exemplo 2 (cont.) K  0
Diagrama de Nyquist
KG s H s  
  1
0  K 1
K
s 1
polo: s  1 P  1
O sistema em
anel fechado é
instável para
0  K 1
0  K  0, N  0
  
 0
Im
K
0
1
K /2
  
Z  N  P 1
1 polo no SPCD
  1
Re
 1
K 1
0
  
K  1, N  1
Z NP0
O sistema em
anel fechado é
estável para
K 1
Im
0
K
 0
1
K /2
Re
Isabel Lourtie
  
 1
0
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Nyquist
Exemplo 2 (cont.)
KG s H s  
  1
K 0
rotação de 180º em
torno da origem
  
Im
K
0
 0
 1
K /2
Re
  
 1
K 0
0
  
Im
polo: s  1 P  1
K  0, N  0
K
s 1
Z  N  P 1
1 polo no SPCD
K
0
K /2
  
0
Re
 0
  1
O sistema em anel fechado é instável K  0
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Exemplo 3
Diagrama de Nyquist
Rs 
Amplitude (dB)
K dB  40

K dB  20
K dB  80
Fase (º)
 90
K 0
KG s H s  
K
ss  1

 135
Im
  0
 180
102
101
Im
Contorno de
Nyquist
  0
 
1
  0
100
 rad/s
101
102
polos: s  1,0  P  0
  
  
K  0, N  0
Re
Re
Z NP0
s 
s    0 : KG  H   
Isabel Lourtie
Y s 
K
1
ss  1
K
 
   1
O sistema em anel fechado
é estável para K  0
  0
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Nyquist
Rs 

1
2
ss  1
K

Exemplo 4
Y s 
Im
 0
P0
K 0
Im

  0
Amplitude (dB)
KG s H s  
 
K
2
ss  1
1
  0
Re
s 
  
K dB  40
?
  
Re
K dB  40
K dB 120
Fase (º)
 90
 180
  0
 270
102
Isabel Lourtie
101
100
 rad/s
101
102
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Nyquist
Exemplo 4 (cont)
Ponto de cruzamento com o eixo real negativo:
 0

K 0
Im
Fase  180 º
Amplitude  K
K
2
dB
K
1 0  K  2
2
  
K dB  40
  
Re
K dB  40
K dB 120
 90
Fase (º)
Amplitude (dB)
Sistema estável: 0 
6 
dB
 180
 270
102
Isabel Lourtie
  0
101
100
 rad/s
101
102
KG s H s  
K
2
ss  1
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Nyquist
Exemplo 5
KG s H s  
KG  j H  j  
K
  2  j  1
K
KG  j H  j  
 2  2 1
K 0
K
s 2 s  1
Im
argKG j H  j     arctan 
P0
Im
  0
  0
 
1
  0
  
  
Re
Re
  0
s   e j
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Diagrama de Nyquist

lim KG  e
 0
j
H  e   lim 
 0
Im
K 0
 0
2
K
  lim 

e j 2  e j  1
 0
2
e
 j 2
  
  0
 
Re
  0
P0
 0
 
 
Re
Z  PN 2

  0    
 
 0


O sistema em cadeia fechada é instável para
qualquer valor de K>0
  0   
2

4
Isabel Lourtie
s   e j

lim arg KG  e j H  e j  2
  
1
Im
1
N 2

  0
K
j
Exemplo 5 (cont.)
K
KG s H s   2
s s  1

2
4
 2  
 2 

2
 2  0
 2  

2
 2  
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
KG s H s  
Estabilidade Relativa
K
ss  1s  4
Amplitude (dB)
 40
Im
0
 26 dB
 40
 0
K 1

 80
 120
?
0.05
Fase (º)
 90
  
 180
1
 270
102
101
100
 rad/s
101

  
Re
102
O sistema torna-se instável com o aumento do ganho?
O sistema fica instável quando K 
Isabel Lourtie
1
 20
0.05
  0
O diagrama não
está à escala
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Estabilidade Relativa
Margem de Ganho (MG)
A Margem de Ganho (MG) é o valor máximo por
que se pode multiplicar o ganho da malha de modo a
colocar o sistema em anel fechado na fronteira da
estabilidade.
Im
  0
Amplitude (dB)
 40
0
MG  26 dB
1
MG
 40
  
 80
 120
1
Fase (º)
 90

  
Re
 180
 270
102
Isabel Lourtie
101
100
 rad/s
101
102
  0
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Estabilidade Relativa
Margem de Fase (MF)
A Margem de Fase (MF) é o valor máximo por que
se pode rodar o diagrama de Nyquist do sistema em
cadeia aberta de modo a colocar o sistema em anel
fechado na fronteira da estabilidade.
Im
  0
Amplitude (dB)
 40
0
 40
 80
 120
1
 90
Re
Fase (º)
MF  73º
MF
 180
 270
102
Isabel Lourtie
101
100
 rad/s
101
102
  0
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Estabilidade Relativa
A Margem de Ganho (MG) é o valor máximo por que se
pode multiplicar o ganho da malha de modo a colocar o
sistema em anel fechado na fronteira da estabilidade.
MG 
Im
  0
1
KG  j H  j   
1
MG

 
frequência para a qual a função de transferência
em anel aberto introduz uma rotação de fase de
180º
  
1
  
A Margem de Fase (MF) é o valor máximo por que
se pode rodar o diagrama de Nyquist do sistema em
cadeia aberta de modo a colocar o sistema em anel
fechado na fronteira da estabilidade.
MF  180 º arg KG  j H  j  KG  j H  j  1
Isabel Lourtie
Re
MF
  0
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Estabilidade Relativa
 O uso da Margem de Ganho e da Margem de Fase para o estudo da
estabilidade relativa só é válido para sistemas em cadeia aberta
estáveis ou marginalmente estáveis (P = 0).
 Para sistemas cujo diagrama de Nyquist não cruza o eixo real negativo
em mais do que um ponto, a condição de estabilidade imposta pelo
critério de Nyquist traduz-se em MG>1 e MF>0.
 Para sistemas de 1ª e 2ª ordem cujo diagrama de Nyquist não cruza o
eixo real negativo em qualquer ponto, a MG é sempre infinita.
 Para sistemas de ordem superior pode haver mais do que um ponto de
cruzamento do diagrama de Nyquist com o eixo real negativo.
 Consideram-se valores convenientes para uma boa estabilidade
relativa 30º<MF<60º e MG>6dB.
Isabel Lourtie
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Estabilidade Relativa
Exemplo
Rs 

Qual o valor de K para o qual a
margem de fase é de 45º?
K
Y s 
Gs 

Amplitude (dB)
 40
1
0
 10 dB  K  10 dB  K  10 2
 26 dB
MG
 40
 80
Qual a margem de ganho para
este valor de K?
 120
Fase (º)
 90
45 º
 180
 270
102
Isabel Lourtie
MG  10  (26)  16 dB  MG  10
101
100
 rad/s
101
16
20
102
DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Margem de Fase vs. Coeficiente de Amortecimento x
Para sistemas em cadeia fechada de 2ª ordem
sem zeros e com polos complexos,

Y s 
 2
Rs  s  2xn s  n2
2
n
que valor deve ter a Margem de Fase para que a
sua resposta ao escalão apresente uma
determinada sobre-elevação?
Margem de Fase:
n2
n2
1
G  j  

j  j  2xn    2  4x 2n2
0  x  1
Rs 


n2
ss  2xn 
Y s 
Função de
n2
transferência em Gs  
ss  2xn 
cadeia aberta:
  

arg G j   90º  arctan
 2xn 
MF  180º  arg G j1 
 1  n  2x 2  4x 4  1
Isabel Lourtie
  2x 2  4x 4  1 


 90º  arctan

2x




DEEC/IST
Nyquist
Fundamentos de Controlo
Margem de Fase vs. Coeficiente de Amortecimento x
MF º 
x
100
  2x 2  4x 4  1 


MF  90º  arctan

2x




especificação no
domínio da frequência
especificação no
domínio do tempo
Isabel Lourtie
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