X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
UMA ANÁLISE DA FORMAÇÃO CONCEITUAL EM GEOMETRIA ESPACIAL
DOS ALUNOS DO CURSO DE PEDAGOGIA
Carlos Eduardo Petronilho Boiago1
Universidade Federal de Uberlândia (UFU-FACIP)
[email protected]
Odálea Aparecida Viana2
Universidade Federal de Uberlândia (UFU-FACIP)
[email protected]
Resumo: Este trabalho analisa o nível de conhecimento que alunos do curso de pedagogia
tem sobre as figuras tridimensionais mais comuns. Baseado no modelo Van Hiele de
formação conceitual em geometria, foi elaborada uma prova que solicitava nomeação de
figuras espaciais e a descrição de propriedades. Foram sujeitos 81 alunos, sendo 28 do
noturno e 53 no diurno. A análise estatística indica que a maioria dos alunos não nomeou
nem descreveu propriedades das figuras espaciais mais utilizadas no ensino fundamental e
teve dificuldades para desenhar a planificação das mesmas. O trabalho aponta para a
necessidade dos estudantes, enquanto futuros professores, ter um nível mínimo de
conhecimento em geometria espacial para ensinarem seus alunos, já que desde o final dos
anos oitenta as propostas de ensino sugerem a geometria espacial nas series iniciais do
Ensino Fundamental.
Palavras - chave: Ensino de Geometria; Formação de conceitos; Geometria espacial.
1. Introdução
Os Parâmetros Curriculares Nacionais nos mostra a importância dos conteúdos e o
tratamento que a eles deve ser dado, já que por meio deles os propósitos da escola são
operacionalizados (BRASIL, 1997). Dando-lhes uma nova concepção, o documento
classifica os conteúdos em três grandes categorias: conteúdos conceituais, que envolvem
conceitos, fatos e princípios; conteúdos procedimentais e conteúdos atitudinais, que
envolvem os valores, normas e atitudes.
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Graduando do Curso de Matemática da Universidade Federal de Uberlândia (UFU-FACIP)
Professor Adjunto da Universidade Federal de Uberlândia (UFU-FACIP)
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Este trabalho enfoca a formação conceitual em geometria espacial de futuros
professores, lembrando que os PCN sugerem o estudo das formas tridimensionais desde as
séries iniciais do ensino fundamental.
O conteúdo de geometria – principalmente a geometria espacial - é, muitas vezes,
considerado complexo pelos professores e alunos do Ensino Básico. Os professores,
produto de uma geração que não estudou este conteúdo, em geral apresentam dificuldades
para ensinar os conceitos, o que acaba gerando desinteresse por parte dos alunos.
Diante desse quadro, objetivou-se verificar qual é o conhecimento apresentado por
alunos do curso de Pedagogia, futuros professores das séries iniciais do Ensino
Fundamental, com relação às principais características dos sólidos mais comuns, como
pirâmide, cone, cubo, cilindro etc.
A pesquisa aqui relatada tem por base o modelo de Van Hiele (1986) que consiste
em cinco níveis de compreensão: “visualização” (ou reconhecimento), “análise”, “dedução
informal” (ou ordenação, ou síntese, ou abstração), “dedução formal” e “rigor”, sugerindo
que os alunos progridem através dessa seqüência hierárquica enquanto aprendem
geometria.
Sendo assim, este trabalho procura investigar a formação conceitual de alunos do
curso de Pedagogia, verificando se eles reconhecessem as formas tridimensionais mais
comuns e se conseguem explicitar algumas propriedades destas figuras. Investiga também
a habilidade de reconhecer as superfícies dos sólidos geométricos, desenhando a sua
planificação.
2. Os níveis de formação conceitual
O modelo de Van Hiele (1986) tenta explicar as fases do aprendizado em
geometria, descrevendo algumas características apresentadas pelos alunos neste processo.
A teoria implica em níveis de formação conceitual, descritos a seguir.No Nível 1, chamado
também de estágio inicial ou de nível básico, o aluno percebe os conceitos geométricos
como entidades totais, não vê componentes ou atributos. A aparência física é determinante
para reconhecer figuras e não suas partes ou propriedades. O aluno consegue aprender um
vocabulário geométrico, identificar formas específicas e reproduzir um desenho com papel
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quadriculado. Por exemplo, pode reconhecer um dado, chamá-lo de cubo, mas não é capaz
de reconhecer as seis faces quadradas.
Este nível mais elementar de raciocínio é decorrente da forma como normalmente a
geometria parece ser ensinada na pré-escola e no ensino fundamental, ou seja, baseada em
atividades que têm por objetivo o reconhecimento nos dois sentidos: nome ↔figura.
No nível 2, de análise, o aluno reconhece as partes de uma figura, começa a analisar
as suas propriedades e utiliza algumas propriedades para resolver certos problemas. Não é
capaz de explicar relações entre propriedades, não vê inter-relações entre as figuras e não
entende definições. Pode perceber que as faces opostas de um paralelepípedo são paralelas,
mas não notará como os paralelepípedos se relacionam com os cubos.
O Nível 2 é o primeiro que oferece um raciocínio chamado “matemático”, pois nesta
fase os alunos são capazes de descobrir e generalizar propriedades (necessariamente a
partir da manipulação e da observação). Esta capacidade de generalização é, no entanto,
limitada, pois usarão as propriedades como se fossem independentes entre si.
Acrescente-se que, neste nível, o aluno dá mais importância à existência de algumas
propriedades diferenciadoras nas figuras que à existência de propriedades comuns.
É no Nível 3, da ordenação, que o aluno ordena logicamente figuras e entende interrelações de propriedades tanto das figuras quanto entre elas. É capaz de formar classes de
figuras, e a inclusão de classes é entendida. Assim, consegue entender que todo cubo é
paralelepípedo e reconhece a importância de definições acuradas, acompanha e formula
argumentos informais. No Nível 4, da dedução, o aluno compreende o significado da
dedução como maneira de estabelecer a teoria geométrica no contexto de um sistema
axiomático. No último, Nível 5, o aluno é capaz de descrever com vários sistemas
axiomáticos da geometria espacial.
Muitos trabalhos no Brasil e no mundo tomaram como referência o modelo de Van
Hiele e há várias criticas ao modelo, conforme pode ser visto em citado por Viana
(2000),Nasser (1992) e Viana. Estudos mais recentes ainda utilizam o modelo para
classificar estudantes nos níveis ou para avaliar propostas didáticas que têm como objetivo
favorecer o desenvolvimento do pensamento geométrico dos alunos (SANTOS 2007).
3. Objetivo da pesquisa
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Avaliar a formação conceitual em geometria espacial de alunos do curso de
graduação em pedagogia, da universidade onde atuamos, quanto a:
a) reconhecimento e nomeação das principais figuras geométricas tridimensionais;
b) nomeação das propriedades das referidas figuras;
c) planificação das referidas figuras.
4. Metodologia
Foram sujeitos da pesquisa 81 alunos do 1º e 3º períodos do curso de pedagogia,o
que caracterizou uma amostra de conveniência. Os sujeitos tinham entre 18 e 52 anos,
sendo 2 homens e 79 mulheres. Os discentes responderam às questões de uma prova
elaborada especialmente para a pesquisa. O instrumento foi aplicado em horário de aula,
com autorização da professora.
A prova era composta por questões em que se apresentavam as figuras
geométricas e eram solicitados seus nomes, o que implicaria no reconhecimento e
nomeação das figuras. Além disso, era solicitada a descrição de propriedades,
características do nível 2 de Van Hiele. Também faziam parte da prova questões que
solicitavam as planificações de algumas figuras espaciais mais comuns.
5. Resultados
As questões foram pontuadas, sendo que o máximo de pontos na prova era de 57
pontos. O desempenho dos alunos é mostrado na Tabela 1 e na Figura 1.
Tabela 1. Desempenho dos sujeitos na prova.
Estatísticas
Nº de sujeitos
Média
Desvio padrão
Mínimo
Máximo
Valores
81
7,209877
5,887945
0
26
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Histogram of Numeros de acertos
Normal
25
Mean
StDev
N
7,210
5,888
81
Frequency
20
15
10
5
0
-5
0
5
10
15
Numeros de acertos
20
25
Figura 1. Histograma do desempenho dos sujeitos na prova
Verifica-se que houve um fraco desempenho na prova, já que a média ficou em
torno de 7 pontos e poucos sujeitos apresentaram boa pontuação. Houve diferenças de
desempenho por turno e período. Assim, alunos do noturno tiveram uma média maior que
os alunos do diurno (p < 0,05) e os do 1º período obtiveram melhor desempenho que os do
3º período (p < 0,05), conforme mostra a Tabela 2.
Tabela 2. Desempenho por turno e período
Variáveis
Turno
Periodo
Grupos
Diurno
Noturno
1º
3º
N
53
28
23
58
Média
5,339622
11,607142
8,070175
5,500000
Des.padrão
3,064978
7,929778
6,786310
2,574953
O Quadro 1 mostra o número de alunos que acertou cada questão. Nota-se que não
existe o item (h), que foi anulado, pois a figura não estava nítida. Foram considerados
corretos vários nomes para a mesma figura. Assim, uma mesma figura poderia ser
nomeada como prisma ou octaedro, por exemplo.
Conforme pode ser verificado no Quadro 1, poucos alunos acertaram o nome de
figuras elementares como paralelepípedo, esfera, cubo. Nenhum aluno acertou a letra (j)
prisma de base triangular. Verifica-se também a diferença entre as porcentagens de acerto
para os cilindros das figuras (a) e (n), assim como para os cubos (d) e (i) e para as
pirâmides (b) e (m), o que indica que a posição da figura interfere no reconhecimento da
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mesma. Pode-se observar o bom número de acertos da figura cilindro (a) e da letra (q) lata
de óleo.
O Quadro 2 mostra o número de alunos que acertou o desenho da planificação de
cada sólido geométrico. Destaca-se que apenas três alunos acertaram a planificação do
cone e apenas cinco estudantes fizeram a do prisma pentagonal.
O paralelepípedo foi a figura com maior porcentagem de acertos, seguida do prisma
de base hexagonal e da pirâmide. Destaca-se que o cone foi planificado por apenas três
alunos e os que planificaram o prisma pentagonal pertenciam ao turno noturno.
Quadro 1 . Acertos na nomeação das figuras
Nomearam
Nº de sujeitos
%
Figura
Figura
Nomearam
Nº de
%
sujeitos
a)
56
69,13
i)
11
13,58
b)
47
58,02
j)
0
0
c)
5
6,17
l)
2
2,47
d)
28
34,56
m)
10
12,34
e)
59
72,84
n) Moeda
2
2,47
f)
7
8,64
o) Bola
7
8,64
g)
4
4,94
p)Caixa de sapato
2
2,47
q) Lata de óleo
51
62,96
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Quadro 2. Acertos na planificação de figuras espaciais.
Figura
Planificaram
corretamente
%
29
Figura
Planificaram
corretamente
%
35,80
16
19,75
3
3,70
15
18,52
5
6,17
22
27,16
6. Considerações finais
Desde o final dos anos oitenta sugere-se que o ensino de geometria se inicie – já
nas primeiras séries – a partir da exploração das formas dos objetos tridimensionais. Mas,
para que as crianças consigam estabelecer relações entre as formas é necessário um bom
material, que pode ser feito de cartolina. É necessário, principalmente, que o professor
domine os conceitos, pelo menos em um nível 2 de formação conceitual. Neste nível ele
poderá analisar as propriedades das figuras e confeccionar seu próprio material.
Os sujeitos desta pesquisa tiveram dificuldade em reconhecer as figuras
tridimensionais mais comuns. Isto indica que a formação conceitual para algumas figuras
não se encontrava ainda no Nível 1, que é o do reconhecimento. A maioria não conseguiu
descrever propriedades geométricas das figuras, sendo que, em muitas vezes, os termos
utilizados pelos alunos não caracterizavam o Nível 2 de formação conceitual.
O reconhecimento e a nomeação, características do Nível 1, parecem ser relativas
apenas às figuras familiares aos alunos, como cilindro e cone. Mesmo o paralelepípedo,
forma bastante comum nos objetos do cotidiano e figura muito utilizada pelos livros
didáticos, não é reconhecido e nomeado como conceito geométrico pela maioria dos
alunos.
A presente pesquisa encontrou que a maioria dos sujeitos teve dificuldades em
elaborar os desenhos de planificação, o que parece indicar uma habilidade pouco
desenvolvida.
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Este trabalho mostrou que, para os sujeitos analisados, no contexto da pesquisa, a
formação conceitual relativa às figuras tridimensionais não se mostrou adequada para um
curso de formação de professores. Considera-se importante uma atuação pedagógica que
possa ajudar no desenvolvimento dos conceitos geométricos em alunos de cursos de
formação de professores, dando assim maior autonomia para que os futuros professores
possam exercer sua prática pedagógica com mais autonomia, contemplando as sugestões
dos PCN acerca do trabalho com geometria espacial nas séries iniciais do ensino
fundamental.
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Matemática. Ensino Fundamental. Brasília, 1997.
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EDUCAÇÃO MÉDIA E TECNOLÓGICA. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino
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