Universidade Federal de Alagoas
Centro de Tecnologia
Estatística
Aula 16
Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves
Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne
Santos de Assis e Christiano Cantarelli Rodrigues
Aula 17

Distribuição Uniforme

Distribuição Normal

Aplicações
Distribuição Contínua de Probabilidade
Revisão
A área (isto é, a integral) sob a função de
densidade de probabilidade em um determinado
intervalo fornece a probabilidade de ocorrência de
um valor dentro desse intervalo


f ( x )dx  1

f ( x)  0
b
P (a  X  b) 

a
f ( x ) dx
Esperança de uma v.a. contínua
v.a. discreta 
E (X )   
E(X )   

x
i
X f ( X ) dX
Para uma variável aleatória contínua
 f ( xi )
Variância e Desvio Padrão de uma v.a. Contínua
V ar ( X )  
2

V ar ( X )  

2
( X   )  p ( X ) - v.a. discreta

2
(
X


)
f
(
X
)
dX

2
Para uma variável aleatória contínua
 
Var ( X )
Distribuição Uniforme
Definição
área = 1
f(x)
1
1. f ( x )  0
2
…
n
Sempre positiva
2. Área abaixo da curva exatamente igual a 1
Distribuição Uniforme
Definição
3. A área sob a curva e acima de qualquer intervalo de
valores é a probabilidade (proporção) de todas as
observações que se enquadram naquele intervalo.
f(x)
 1

se a  x  b 

f ( x)   b  a

 0 caso contrário 


a
b
área = P ( a  X  b )
Distribuição Uniforme
Demonstração
f(x)
X = [a, b]  a  X  b
?
h
a
b
X
b
f ( x=) ? 1
f(x)
(área do retângulo)
a
h (b  a )  1
h 
1
ba
f (x) 
1
ba
Distribuição Uniforme
Esperança e Variância
f(x)
X = [a, b]  a  X  b
1/(b - a)
b
a
b
E(X ) 
X
a
b
f (x) 
1
E(X ) 
ba
E(X )  ?
 xf ( x )dx
1
 x b  a dx 
a
E(X ) 
V ar ( X )  ?
1
2
ba 2
b a
2
E(X ) 
x
b
ba
b
 xdx
a
 b2  a 2 



ba
2

1
a
2
2(b  a )
1

( b  a )( b  a )
2(b  a )

ab
2
Distribuição Uniforme
Esperança e Variância
X = [a, b]  a  X  b
f(x)
1/(b - a)
Var ( X )  E ( X )  [ E ( X )]
2
a
b
f (x) 
X
b
E(X ) 
2
1
x
2
f ( x )dx
a
ba
b
E(X ) 
2
E(X ) 
2
ab
x
2
a
1
ba
dx 
1
b
x
ba
2
dx
a
2
E(X ) 
2
1
x
3
ba 3
b
 b3  a 3 



ba
3

1
a
b a
3
E(X ) 
2
3
3( b  a )
continua ...
Distribuição Uniforme
Esperança e Variância
f(x)
X = [a, b]  a  X  b
1/(b - a)
Var ( X )  E ( X )  [ E ( X )]
2
a
b
X
b a
3
f (x) 
1
V ar ( X ) 
3
3( b  a )

(a  b)
2
4
ba
4 ( b  a )  3( b  a )( a  b )
3
E(X ) 
2
ab
V ar ( X ) 
3
2
12 ( b  a )
2
4 b  4 a  3 b  3 ab  3 a b  3 a
3
V ar ( X ) 
3
2
2
3
12 ( b  a )
b  3 ab  3 a b  a
3
V ar ( X ) 
3
2
2
12 ( b  a )
3

(b  a )
3
12(b  a )

(b  a )
12
2
Distribuição Uniforme
Esperança e Variância
f(x)
1/(b - a)
f (x) 
a
E(X ) 
b
1
ba
X
ab
aXb
2
Var ( X ) 
(b  a )
12
2
Distribuição Normal (Gaussiana)
Introdução
A Distribuição Normal é o modelo mais usado para
expressar a distribuição de probabilidade de uma variável
aleatória

Esta distribuição também é conhecida como Curva de
Gauss, e apresenta um gráfico em forma de sino, com
média  determinando o centro da função e com desvio
padrão  determinando a largura da função

Distribuição Normal (Gaussiana)
É a mais usada e mais famosa distribuição de
probabilidade para v.a. contínuas
Uma Distribuição de frequência pode ter o seguinte
formato
Gráfico simétrico em relação
à: média, mediana,....
ocorrendo isto,
provavelmente os
dados de origem se
comportam segundo a
distribuição normal
Distribuição Normal (Gaussiana)
f ( x) 
1
2 
( X  )
e
2
2
2
  X  
e  2, 71828...
Parâmetros da distribuição
  média da população
 desvio padrão da população
Notação: X ~ N (  ; 2 )
~ significa segue  X ~ significa que a v.a. segue uma
distribuição ...
Distribuição Normal (Gaussiana)
média
Equação:
f x  
1
σ 2π
e
-x
2
Desvio padrão
f(x)

1  x μ 
 

2  σ 

X
Distribuição Normal (Gaussiana)
Propriedades da curva normal
a) suave, unimodal e simétrica em relação à média
b) aproxima-se do eixo das abscissas à medida que x
se afasta da média  curva muda a concavidade
nos pontos  –  e  + 
c) a área total sob a curva representa 100% de
probabilidade
d) por causa da simetria, à
esquerda da média 50% e
à direita da média
também 50%
média
Também a moda e a mediana
Distribuição Normal
0.1
Médias diferentes e
desvios padrão iguais
0
40
50
60
70
80
90
100
0.1
Médias iguais e desvios
padrão diferentes
0
40
50
60
70
80
90
100
Distribuição Normal
Como calcularemos probabilidades?
média  = 100 e desvio
padrão   50
X ~ N (100, 502)
A probabilidade
entre 150 e 200
Distribuição Normal
Toda vez que um no estiver
Afastado da média
1  área
corresponde a
68,26% da
área total
O mesmo
raciocínio para:
2  95,5%,
2,575  99% ...
Distribuição Normal
z vezes o desvio padrão
Para direita
Para esquerda
P(µ-σ < X < µ-σ ) = 0,6826
P(µ-2σ < X < µ-2σ ) = 0,9545
P(µ-3σ < X < µ-3σ ) = 0,9973
Distribuição Normal
Exemplo 1
Se a distribuição do consumo de sacos de cimento no
período entre o pedido de compra e a entrega segue uma
distribuição normal, podemos utilizar a curva abaixo
X = consumo de sacos
de cimento no período
entre o pedido de
compra e a entrega
X ~ N (15, 62)
 = 15 sacos
-10
 = 6 sacos
0
10
20

30
40
Distribuição Normal
Exemplo 1
Proporções e probabilidades do consumo de sacos de
cimento no período entre o pedido de compra e a entrega
3
9
15
68%
21
27
 = 15 sacos
 = 6 sacos
95%

probabilidade de consumir entre 9 e 21 sacos no período é de 0,68

probabilidade de consumir entre 3 e 27 sacos no período é de 0,95

Em 2,5% das vezes o consumo é superior a 27 sacos

Em 50% das vezes o consumo é superior a 15 sacos
Distribuição Normal
Exemplo 1
Proporções e probabilidades do consumo de sacos de
cimento no período entre o pedido de compra e a entrega
P (21  X  27 )  0,135
P ( X  21)  0,16
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40

Portanto, em mais de 16% das vezes
necessitou-se de mais cimento do que o
disponível no estoque.
Distribuição Normal Padrão
Vimos que a curva normal possui áreas padronizadas
P(µ - σ < X < µ - σ) = 0,6827  z = 1 vez o desvio padrão
distante de média
P(µ - 2σ < X < µ - 2σ) = 0,9545  z = 2 vezes ...
P(µ - 3σ < X < µ - 3σ) = 0,9973  z = 3 vezes ...
z é a chamada variável
reduzida, calculada
assim:
z
Xμ
σ
Distribuição Normal Padrão
Com a variável reduzida z 
Xμ
σ
A equação original se modifica: f z  
Média = 0 e Desvio padrão = 1
1
2π
e

1
2
z
Distribuição normal padrão  Z ~ N(0,1)
As tabela fornecem
o valores da área
Entre 0 e z
2
Distribuição Normal Padrão
 Muitas vezes estamos interessados em valores de
probabilidade que a regra 68-95-99,7 não pode nos
fornecer
Como calcular a área abaixo da curva (probabilidade)
nestes casos?
Cálculo Integral
Padronização da
curva Normal
Tabela z
Distribuição Normal Padrão
N (  ; 2 )  N ( 0 ;1 )
z
X 
Distância de X da média

Métrica dessa distância
z > 0  X maior que a média
z < 0  X menor que a média
=0
=1
Distribuição Normal Padrão
A distribuição Normal Padrão é a distribuição de uma
variável aleatória que possui  igual a zero e 2 igual a 1.
Nesta condição esta distribuição é representada por Z.

 = 0 e 2 = 1
f z  
1
2π
e

1
2
z
2
O
cálculo da probabilidade normal, usando a função, algumas
vezes requer métodos não elementares, portanto, esta probabilidade
é determinada usando dados tabelados representados por:
 (z) = P (Z  z)
Distribuição Normal Padrão
Qual a probabilidade da variável aleatória
distribuição normal padrão, estar entre 0 e 1?
z,
p (0  z  1)  0, 34
Regra 68-95-99,7
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Distribuição Normal Padrão
P (0  z  1)
Segunda casa decimal de z
z
z
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,0
0,00000
0,00399
0,00798
0,01197
0,01595
0,01994
0,02392
0,02790
0,03188
0,03586
0,1
0,03983
0,04380
0,04776
0,05172
0,05567
0,05962
0,06356
0,06749
0,07142
0,07535
0,2
0,07926
0,08317
0,08706
0,09095
0,09483
0,09871
0,10257
0,10642
0,11026
0,11409
0,3
0,11791
0,12172
0,12552
0,12930
0,13307
0,13683
0,14058
0,14431
0,14803
0,15173
0,4
0,15542
0,15910
0,16276
0,16640
0,17003
0,17364
0,17724
0,18082
0,18439
0,18793
0,5
0,19146
0,19497
0,19847
0,20194
0,20540
0,20884
0,21226
0,21566
0,21904
0,22240
0,6
0,22575
0,22907
0,23237
0,23565
0,23891
0,24215
0,24537
0,24857
0,25175
0,25490
0,7
0,25804
0,26115
0,26424
0,26730
0,27035
0,27337
0,27637
0,27935
0,28230
0,28524
0,8
0,28814
0,29103
0,29389
0,29673
0,29955
0,30234
0,30511
0,30785
0,31057
0,31327
0,9
0,31594
0,31859
0,32121
0,32381
0,32639
0,32894
0,33147
0,33398
0,33646
0,33891
1,0
0,34134
0,34375
0,34614
0,34849
0,35083
0,35314
0,35543
0,35769
0,35993
0,36214
1,1
0,36433
0,36650
0,36864
0,37076
0,37286
0,37493
0,37698
0,37900
0,38100
0,38298
1,2
0,38493
0,38686
0,38877
0,39065
0,39251
0,39435
0,39617
0,39796
0,39973
0,40147
Distribuição Normal Padrão
Distribuição Normal Padrão
Distribuição Normal Padrão
Exemplo 2
Calcular as seguintes probabilidades:
P(Z > 1,26) = 1 – P(Z  1,26) = 1 – 0,896165 = 0,103835
P(Z < -0,86) = 0,194894
P(Z > -1,37) = 1 – P(Z  -1,37) = 1 – 0,085343 = 0,914657
P(-1,25 < Z < 0,37) = P(Z < 0,37)-P(Z < -1,25)
= 0,644309 – 0,105650 = 0,538659
Distribuição Normal Padrão
Exemplo 3
Controle de Estoque
O estoque de cimento em uma determinada obra acaba quando a
demanda durante o tempo de espera (entre o pedido de compra e a
entrega) é maior que 20 sacos. Qual a probabilidade de que isto
aconteça?
 = 15 sacos
 = 6 sacos
-10
P ( X  20)
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Distribuição Normal Padrão
z 
X 


20  15
 0, 83
6
P ( X  20)
P ( X  20)  P ( z  0, 83) 
 0, 5  0, 2967  0, 2033
X
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Área da tabela z
P ( z  0, 83)
z
-4
-3
-2
-1
0
1
0,83
2
3
4
A chance de que o
estoque acabe antes
do tempo de espera é
de 20,33%.
Distribuição Normal Padrão
P (0  z  0, 83)
0
z
zc
z
Segunda casa decimal de z
c
z
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,0
0,00000
0,00399
0,00798
0,01197
0,01595
0,01994
0,02392
0,02790
0,03188
0,03586
0,1
0,03983
0,04380
0,04776
0,05172
0,05567
0,05962
0,06356
0,06749
0,07142
0,07535
0,2
0,07926
0,08317
0,08706
0,09095
0,09483
0,09871
0,10257
0,10642
0,11026
0,11409
0,3
0,11791
0,12172
0,12552
0,12930
0,13307
0,13683
0,14058
0,14431
0,14803
0,15173
0,4
0,15542
0,15910
0,16276
0,16640
0,17003
0,17364
0,17724
0,18082
0,18439
0,18793
0,5
0,19146
0,19497
0,19847
0,20194
0,20540
0,20884
0,21226
0,21566
0,21904
0,22240
0,6
0,22575
0,22907
0,23237
0,23565
0,23891
0,24215
0,24537
0,24857
0,25175
0,25490
0,7
0,25804
0,26115
0,26424
0,26730
0,27035
0,27337
0,27637
0,27935
0,28230
0,28524
0,8
0,28814
0,29103
0,29389
0,29673
0,29955
0,30234
0,30511
0,30785
0,31057
0,31327
0,9
0,31594
0,31859
0,32121
0,32381
0,32639
0,32894
0,33147
0,33398
0,33646
0,33891
1,0
0,34134
0,34375
0,34614
0,34849
0,35083
0,35314
0,35543
0,35769
0,35993
0,36214
1,1
0,36433
0,36650
0,36864
0,37076
0,37286
0,37493
0,37698
0,37900
0,38100
0,38298
1,2
0,38493
0,38686
0,38877
0,39065
0,39251
0,39435
0,39617
0,39796
0,39973
0,40147
Atenção: esta tabela é um pouco diferente da anterior
Distribuição Normal Padrão
Roteiro para uso da tabela
Desenhar a curva com: 0 no meio, z1 e z2
z1 e z2 em lados opostos: achar a área de cada um e somar
Distribuição Normal Padrão
z1 e z2 no mesmo lado: diminuir:
área maior – área menor
Distribuição Normal Padrão
Se quisermos uma área além de z?
fazemos 0,5 – área de dentro
A mesma coisa para o lado esquerdo
Distribuição Normal Padrão
O último caso é este
Fazemos:
1 – área de dentro
Distribuição Normal Padrão
Qual a área entre z = -1 e z = 1?
0,3413
0,3413
0,6826 ou 68,26%
Distribuição Normal Padrão
Qual a área entre z = -1,25 e z = 1,25?
0,3944
0,3944
0,7888 ou 78,88%
Distribuição Normal Padrão
Qual a área entre z = 1 e z = 2?
Distribuição Normal Padrão
Qual a área para z maior que 2,25?
Distribuição Normal Padrão
QUE TIPO DE PROBLEMA
NECESSITA DA DN E
COMO RESOLVÊ-LO
Distribuição Normal Padrão
Quando os dados de origem se
comportarem deste jeito;
Ou quando
houver
condições
teóricopráticas
obedecidas
Distribuição Normal Padrão
Roteiro: resolver problemas
1) Identificar a média, o desvio padrão e a área
desejada
2)Desenhar a curva do problema
Média no meio
Valores de
interesse
Distribuição Normal Padrão
3) Calcular os valores de z: z  X  X
s
4) Desenhar a curva normal padrão
5) Calcular como antes (TABELA)
Distribuição Normal Padrão
Exemplo – restaurante
Peso médio consumido: 0,56 kg. Desvio padrão é de
0,040 kg. Admitir que esta v.a. seja distribuída
normalmente e determinar:
(a)quantas pessoas comem entre 0,50 e 0,70 kg;
(b) mais do que 0,65 kg.
1)  = 0,56 e  = 0,04
Letra a) P(0,50 < X < 0,70) = ?
Letra b) P(X > 0,65) = ?
Distribuição Normal Padrão
Letra a)
2) Curva do problema
3) Valores de z
z1 
0,50  0,56
0,04
  1,50
4) Curva normal padrão
z2 
0,70  0,56
0,04
 3,50
Distribuição Normal Padrão
5) Área (TABELA)
Área = 0,9330
93,3% dos pratos
servidos estão
entre 0,50 e 0,70 kg.
Letra b)
R.: somente 1,22% dos pratos têm peso maior que
0,65 kg.
Universidade Federal de Alagoas
Centro de Tecnologia
Estatística
Aula 16
Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves
Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne
Santos de Assis e Christiano Cantarelli Rodrigues