Mecânica dos Fluidos
Conservação da Energia
Prof. Carlos Ruberto Fragoso Jr.
Programa da aula

Revisão






Teorema de Transporte de Reynolds
Equação da Conservação da Massa
Equação da Quantidade de Movimento
Equação da conservação da Energia;
Equação de Bernoulli;
Exemplo.
Propriedade intensivas e
extensivas
Teorema do Transporte de
Reynolds

Com base nas equações de sistemas e por
meio de uma comparação entre sistema e
volume de controle, obtemos uma relação
fundamental:
DNSistema d
   dV   nˆ u dA
Dt
dt 
A
ou
DNSistema d
 dV   nˆ u dA


Dt
dt VC
SC
Conservação da quantidade de
movimento

Partindo do Teorema do Transporte de
Reynolds:
DNSistema d
 dV   nˆ u dA


Dt
dt VC
SC

Para deduzir a formulação para o volume de
controle da conservação da quantidade de
movimento, fazemos:



P m V 
N  P   
V
m
m

NP

 V
Equação da conservação da
massa

Partindo do Teorema do Transporte de
Reynolds:



DNSistema d
 d   V  nˆ dA


Dt
dt VC
SC

Para deduzir a formulação para volume de
controle da conservação de massa, fazemos:
N m
N  massa  m      1
m m
N m
 1
Equação da conservação da
massa

Que substituídos na equação genérica do TTR
fornece:

DNSistema d

d   V  nˆdA

Dt
dt VC
SC

Da conservação da massa do sistema:
DN Sistema
0
Dt
Equação da conservação da
massa
Variação interna da
massa no V.C.
Fluxos de entrada e
saída na S.C.

d
ˆ


d



V

n
dA  0


dt VC
SC
Balanço Geral para a conservação da massa em um
volume de controle
Conservação da quantidade de
movimento
Variação da
Fluxos de entrada e
Soma das forças
quantidade de
saída de quantidade
que atuam sobre o movimento com o de movimento através
da S.C.
sistema
tempo no V.C.

F
Sistema


  
 
  Vd   V V  n dA
t VC
SC
Conservação da quantidade de movimento em um
volume de controle
Conservação da quantidade de
movimento

Distinguimos dois tipos de força
 que se
combinam para dar lugar a FR :

Forças de superficiais ou contato: exigem, para sua
aplicação, o contato físico

 
FS  Fn  Ft

Pressão (normais) e viscosas (tangenciais)
Forcas de campo ou mássicas: Um dos corpos gera
um campo e quaisquer corpos que estejam sob sua
influência e apresentarem as condições corretas,
experimentarão forças de campo

Forças gravitacionais:


 F


FC   Bd onde B 
VC
m
B   gk
Casos Especiais

Escoamento permanente:
0



   
  
FR  FS  Fc   Vd   V V  n dA
t VC
SC



  
FR   V V  n dA
SC
Casos Especiais

Volume de controle não deformável:
Volume de controle não
deformável
Entrada
Saída
Taxa de
quantidade de
movimento
que sai
Taxa de
quantidade de
movimento
que entra
n
m

 
FR   VdV   ui i Qi sai   u j  j Q j entra
t VC
i 1
j 1
Casos Especiais


Volume de controle não deformável;
Escoamento permanente.

n


FR   Vi i Qi
i 1

sai


  V j  jQ j
m
j 1

entra
Fx   ui i Qi sai   u j  j Q j entra
n
m
i 1
n
j 1
m
i 1
n
j 1
m
i 1
j 1
Fy   vi i Qi sai   v j  j Q j entra
Fz   wi i Qi sai   w j  j Q j entra
Exemplo
Calcule a força exercida no cotovelo redutor devido ao
escoamento, para um escoamento permanente
V2
2
1
V1
θ
Conservação da Energia


A energia se conserva entre dois pontos.
“Nada se perde, nada se cria, tudo se
transforma” (Lavoisier, século XVIII)
Conservação da Energia

Partindo do Teorema do Transporte de
Reynolds:
DNSistema d
 dV   nˆ u dA


Dt
dt VC
SC

Para deduzir a formulação para o volume de
controle da conservação da quantidade de
movimento, fazemos:
N  E  
NE
 e
E
e
m
Conservação da Energia

Que substituídos na equação genérica do TTR
fornece:


 
DESistema 
  ed   e V  n dA
Dt
t VC
SC

O que significa o termo e?
Conservação da Energia

A energia total do sistema é dada por:
ESistema 
  ed
 edm

 
m sist

Sendo que:
Vol sist
e = energia específica = E/m
e  eint erna  ecinética  epotencial  eoutras

eoutras = química, eletrostática, nuclear,
magnética. Nós desprezamos estas energias.
Conservação da Energia

A energia interna (Eu) está associada com:





Energia cinética está associada à velocidade
local:


Atividade molecular (energia armazenada);
Forças entre moléculas;
Difícil de ser estimada;
Pequena em relação a outras.
Ec = 1/2mV2
Energia Potencial está associada à cota do
ponto:

Ep = mgz
Conservação da Energia

Se energia total do sistema é dada por:
ESistema  Eu  Ep  Ec

então:
eSistema
V2
 eu 
 gz
2
Conservação da Energia
Variação da
Energia no
Sistema
Variação da
Energia com
o tempo no V.C.
Fluxos de entrada e
saída de Energia
através da S.C.




  
DE
 
V2
V2
   eu 
 gz  d    eu 
 gz  V  n dA
Dt Sistema t VC
2
2


SC
Conservação da Energia em um volume de controle
O que significa
esse termo?
Conservação da Energia

Os estados inicial e final de energia de um
sistema dependem do calor adicionado ou
retirado e do trabalho realizado sobre ou pelo
o sistema (1ª Lei da Termodinâmica):
dE  dQ  dW
dQ = Calor agregado ou retirado ao sistema
dW = Trabalho realizado
dE = Variação da Energia
Conservação da Energia

A equação pode ser escrita em termos de
taxas de energia, calor e trabalho:
dE
dQ dW


dt Sistema dt
dt
dQ
0
dt
dW
0
dt
Sistema
dW
0
dt
dQ
0
dt
Conservação da Energia

Examinando cada termo:
dQ
dt
dW
dt
Condução, convecção e radiação
(considerado como um termo único)
Realizado por um eixo, pressão e tensões
Viscosas (o trabalho das forças gravitacionais
é incluído na energia potencial)
Conservação da Energia

Trabalho realizado:
dWeixo
dt
Trabalho transmitido ao V.C. por uma máquina
ex.: bomba, turbina, pistão
dWpressão
Trabalho devido às forças de pressão 
 
 dl
 
dWpressão
dWpressão  F  dl 
 limt 0 F 
 F V
dt
dt
dt
dWvisc .
dt
Trabalho devido às forças viscosas


dWvisc.
   tan g VdA
dt
SC
Conservação da Energia

Turbinas:
Conservação da Energia

Bombas:
Conservação da Energia
Variação da
Energia no
Sistema
Variação da
Energia com
o tempo no V.C.
Fluxos de entrada e
saída de Energia
através da S.C.




dQ dWeixo  
V2
V2
p  

   eu 
 gz  d    eu 
 gz   V  n dA
dt
dt
t VC
2
2


SC
Conservação da Energia em um volume de controle
Casos Especiais

Escoamento permanente:
0




dQ dWeixo  
V2
V2
p  

   eu 
 gz  d    eu 
 gz   V  n dA
dt
dt
t VC
2
2


SC



dQ dWeixo
V2
p  

   eu 
 gz   V  n dA
dt
dt
2

SC
Casos Especiais

Volume de controle não deformável:
Volume de controle não
deformável
Entrada
Saída
Taxa de Energia
que sai
Taxa de Energia
que entra





V2
p  
V2
p
V2
p
SC eu  2  gz    V  n dA   eu  2  gz   Q    eu  2  gz   Q 

 sai 
 entra


Exemplo
Passa através da turbina circular 0,22 m3/s de água e as
pressões em A e B são iguais a 1,5 kgf/cm2 e -0,35 kgf/cm2.
Determinar a potência em CV transferida pela corrente de
água para a turbina. Considere regime permanente e
despreze o atrito da água com as paredes e com a turbina.
A
dA = 30 cm
Turbina
1m
B
dB = 60 cm