Mecânica dos Fluidos
Conservação da Energia
(Equação de Bernoulli)
Prof. Carlos Ruberto Fragoso Jr.
Programa da aula

Revisão

Equação da Conservação da Energia
Equação de Bernoulli;
 Exercícios.

Conservação da Energia

Partindo do Teorema do Transporte de
Reynolds:
DNSistema d
 dV   nˆ u dA


Dt
dt VC
SC

Para deduzir a formulação para o volume de
controle da conservação da quantidade de
movimento, fazemos:
N  E  
NE
 e
E
e
m
Conservação da Energia
Variação da
Energia no
Sistema
DE Sistema
Variação da
Energia com
o tempo no V.C.
Fluxos de entrada e
saída de Energia
através da S.C.




  
 
V2
V2
   eu 
 gz  d    eu 
 gz  V  n dA
t VC
2
2


SC
Conservação da Energia em um volume de controle
Conservação da Energia

Os estados inicial e final de energia de um
sistema dependem do calor adicionado ou
retirado e do trabalho realizado sobre ou pelo
o sistema:
dE  dQ  dW
dQ = Calor agregado ou retirado ao sistema
dW = Trabalho realizado
dE = Variação da Energia
Conservação da Energia

A equação pode ser escrita em termos de
taxas de energia, calor e trabalho:
dE
dQ dW


dt Sistema dt
dt
dQ
0
dt
dW
0
dt
Sistema
dW
0
dt
dQ
0
dt
Conservação da Energia

Examinando cada termo:
dQ
dt
dW
dt
Condução, convecção e radiação
(considerado como um termo único)
Realizado por um eixo, pressão e tensões
Viscosas (o trabalho das forças gravitacionais
é incluido na energia potencial)
Conservação da Energia

Trabalho realizado:
dWeixo
dt
Trabalho transmitido ao V.C. por uma máquina
ex.: bomba, turbina, pistão
dWpressão
Trabalho devido às forças de pressão 
 
 dl
 
dWpressão
dWpressão  F  dl 
 limt 0 F 
 F V
dt
dt
dt
dWvisc .
dt
Trabalho devido às forças viscosas


dWvisc.
   tan g VdA
dt
SC
Conservação da Energia
Variação da
Energia no
Sistema
Variação da
Energia com
o tempo no V.C.
Fluxos de entrada e
saída de Energia
através da S.C.




dQ dWeixo  
V2
V2
p  

   eu 
 gz  d    eu 
 gz   V  n dA
dt
dt
t VC
2
2


SC
Conservação da Energia em um volume de controle
Casos Especiais

Escoamento permanente:
0




dQ dWeixo  
V2
V2
p  

   eu 
 gz  d    eu 
 gz   V  n dA
dt
dt
t VC
2
2


SC



dQ dWeixo
V2
p  

   eu 
 gz   V  n dA
dt
dt
2

SC
Casos Especiais

Volume de controle não deformável:
Volume de controle não
deformável
Entrada
Saída
Taxa de Energia
que sai
Taxa de Energia
que entra





V2
p  
V2
p
V2
p
SC eu  2  gz    V  n dA   eu  2  gz   Q    eu  2  gz   Q 

 sai 
 entra


Equação de Bernoulli


Caso particular da Equação da Conservação de
Energia;
Aplicada à um tubo de corrente.
Tubo de Corrente (tubo de
fluxo)


No interior de um fluido
em escoamento existem
infinitas linhas de
corrente definidas por
suas partículas fluidas
A superfície constituída
pelas linhas de corrente
formada no interior do
fluido é denominada de
tubo de corrente ou veia
líquida
Equação de Bernoulli

Partindo da Equação da Conservação de
Energia, considerando escoamento
permanente:



dQ dWeixo
V2
p  

   eu 
 gz   V  n dA
dt
dt
2

SC
Equação de Bernoulli

Em um tubo de corrente não deformável
(escoamento laminar):

V2
V2
dQ dWeixo 
p 
p 

 2V2 A2    eu   gz   1V1 A1 

 eu 
 gz 


dt
dt
2
 2
2
 1


Equação de Bernoulli

V2
V2
dQ dWeixo 
p 
p 

 2V2 A2    eu   gz   1V1 A1 

 eu 
 gz 


dt
dt
2
 2
2
 1



Dividindo todos os termos por:
m   V  A 

dm
dt
e considerando ρ constante:
V2
V2
dQ dWeixo 
p  
p 

 eu 
 gz 
 eu 
 gz 




dm
dm
2

2


2 
1
Equação de Bernoulli

Reorganizado a equação:
V12
p2 V22
dQ dWeixo 


 gz1 

 gz2   eu1  eu 2 


1 2
2 2
dm
dm


p1

Dividindo por g:
V12
p2 V22
1
dQ dWeixo 

 z1 

 z2   eu1  eu 2 


 1 2g
 2 2g
g
dm
dm 
p1
Altura de Altura de
pressão velocidade
Cota
Decréscimo líquido na Trabalho de um eixo
energia mecânica do por unidade de peso
sistema (transformado
em perdas)
Equação de Bernoulli

A equação pode ser escrita em termos de
cotas:
H1  H 2  H L  H eixo
Energia
em 1
Energia
em 2
Energia
Energia
Perdida por fornecida (+) ou
atrito e calor retirada (-) por
um eixo
Equação de Bernoulli modificada
Equação de Bernoulli

Considerando as seguintes suposições:





Escoamento permanente e laminar;
Não há perdas por atrito;
Não há eixo realizando ou fornecendo trabalho;
Não há transformação de calor;
A energia interna é constante em dois pontos.
p1
2
1
2
2
V
p2 V

 z1 

 z2  const
 1 2g
 2 2g
Equação de Bernoulli
“A energia ao longo de um tubo de corrente é
constante”
É importante saber que:
z  c arg a potencial
p
 c arg a de pressão

2
v
 c arg a cinética
2g
Equação de Bernoulli
Equação de Bernoulli
Equação de Bernoulli
Equação de Bernoulli
Equação de Bernoulli

Linha de energia
Energia Total da Água (H)
(Sem escoamento)
1
h
Plano de Energia
h
Plano de referência
Linha das
pressões
h
2
3
Sem escoamento
Energia Total da Água (H)
(Com escoamento)
1
h1
Plano de Energia
h2
Plano de referência
Linha das
pressões
h3
2
3
H1 = H2 = H3 = CONSTANTE
Energia Total da Água (H)
(estrangulamento da seção)
V22/2g
V32/2g
1
h1
p2 = h2.
p3 = h3.
2
3
H1 = H2 = H3 = CONSTANTE
Efeito da perda de carga
Plano de energia
L
Hf
H
Plano de referência
A perda ao longo da canalização é uniforme em
qualquer trecho de dimensões constantes, independente da
posição da tubulação. A perda de carga é uma perda de
energia do sistema devido a transformação de Energia
Mecânica para Térmica causada pelo atrito (interno e contato
com superfícies sólidas).
Exercício
Exercício
Exercício
Calcule a força exercida no cotovelo redutor (Vol = 0,5 l)
devido ao escoamento, para um escoamento permanente
(Q=20 l/s) e com perdas de energia desprezíveis.
V
2
2
65 cm
D2 = 100 mm
1
10 cm
V1
D1 = 150 mm
θ