1
Expressão do volume da esfera.
Professor: Isaac Pimentel
Assunto: Expressão do volume da esfera.
Para construção da expressão do volume da esfera, precisamos analisar o volume do sólido de revolução gerado pelo
triângulo isósceles em torno de um eixo em 2 situações:
1.O triângulo isósceles possui um lado congruente pertencente ao eixo de rotação:
r
B
D
A
C
O volume do sólido de revolução gerado pela rotação do triângulo ABO em torno
da reta r é dado pela soma dos volumes dos dois cones de raio AC e alturas OC e
2
2
1
1
CB , isto é, V1  .AC .OC e V 2  .AC .CB , ou seja:
3
3
2
1
V  V1  V2  .AC . OC  CB , ou seja:
3
2
1
(1) V  .AC .OB .
3
Da semelhança dos triângulos ABC e DBO:
AC AB

 AC.OB  AB.OD ; temos:
OD OB
2
1
1
1
V  .AC .OB  .AC. AC.OB  .AC.AB.OD , porém AB  2DB ,
3
3
3
então podemos escrever a expressão (1) como:
2
(2) V  .OD.AC.DB .
3
Da semelhança dos triângulos ABC e DBO temos:
AC CB

 AC.DB  CB.OD , então:
OD DB
2
2
V  .OD. AC.DB  .OD.CB.OD , podemos escrever (2) como:
3
3
2
2
(4)  V  .OD .CB , ou seja:
3
I. O volume do sólido de revolução gerado pela rotação de um triângulo isósceles
em torno da reta r que contém um de seus lados congruentes, é dado em função do
produto da altura relativa ao lado não congruente pela projeção deste lado na reta r.



O

MATCONC – MATEMÁTICA E CONCURSOS


http://www.matconc.co.cc
2
2. O triângulo isósceles possui o vértice, formado pelos lados congruentes, pertencente ao eixo de rotação r.
r
G
E
B
F
D
O volume do sólido gerado pela rotação do triângulo AEO em torno da reta
r, pode ser dado pela diferença entre os sólidos gerados pelos triângulos AGO
e EGO, os quais os volumes são dados pela expressão (1) aplicados a AGO e
2
2
1
1
EGO, ou seja V1  .AC .OG e V2  .EB .OG :
3
3
2
2
1
V  V1  V2  .OG. AC  EB  , obtemos:


3
1
(5) V  .OG. AC  EB . AC  EB , das igualdades AC  EB  AH ;
3


AG  DG  AD ; EG  DG  DE e AD  DE , obtemos:
(6) AG  EG  2DG
C
A

H
Da proporção
AC  EB

AG  EG
e de (6) obtemos:
DF
DG
(7) AC  EB  2DF
A expressão (5) pode ser escrita como:
AH OF
2
(8) V  .OG.DF.AH , da proporção
e de EH  BC :

3
EH
DF
2
OG OD
2

 OB.OF  OD , então
 .OG.BC.OF , porém
3
DO OF
podemos escrever (9) como:
2
2
(10)  V   .OD .BC , que é exatamente a expressão (5).
3
(9) V 
O
Então podemos generalizar I:
II. O volume do sólido de revolução gerado pela rotação de um triângulo isósceles em torno da reta r que contém um de
seus vértices, é dado em função do produto da altura relativa ao lado não congruente pela projeção deste lado na reta r.
r
A expressão do volume do sólido de
revolução do triângulo isósceles em
torno de uma reta que contém os
vértices dos lados congruentes
2
2
V  .OD .BC .
3
Fazendo:
OD  a e BC  h , obtemos a
expressão:
2
(11) V  .a 2 .h
3
B
D
h
C
a
a
O
Repare que, na verdade, II é uma generalização de I, de qualquer forma, os vértices do polígono regular inscrito na
circunferência, determinam com o centro desta, triângulos isósceles, e a rotação deste polígono em torno de um eixo definido por
2 vértices opostos(polígono de número par de lados).
MATCONC – MATEMÁTICA E CONCURSOS
http://www.matconc.co.cc
3
Num polígono regular inscrito na circunferência, a altura do triângulo definido pelo centro do polígono e os lados, é,
também, o apótema deste polígono.
r
r
r
O
O
O
Observe que, quanto mais lados
o polígono regular tiver, mais
próximo de uma circunferência
estará e o comprimento de seu
apótema mais próximo do raio da
circunferência estará.
O volume do sólido de revolução gerado pelo polígono em torno de r será dado por VS 
n
mas
 hi
n
2
  3 .a
i 1
2
n
 2
.hi   a 2 hi ,
 3
i 1
 2r , resultando então, dessas igualdades, a expressão:
i 1
4
a 2r
3
Se aumentamos indefinidamente o número de lados do polígono regular inscrito na circunferência de raio r, menor ser a
projeção h do lado do polígono no eixo de rotação e mais próximo do raio r da circunferência ficará o apótema, o que permite
que a expressão (12) seja escrita como:
(12) VS 
4 2
4
r .r  r 3 , obtendo, finalmente:
3
3
4 3
(13)  V  r
3
VS 
MATCONC – MATEMÁTICA E CONCURSOS
http://www.matconc.co.cc