CPV seu pé direito também na Medicina unesp – 19/dezembro/2010 Matemática L 22. Considere um triângulo isósceles de lados medindo L, 2 e L centímetros. L Seja h a medida da altura relativa ao lado de medida . 2 Se L, h e a área desse triângulo formam, nessa ordem, uma progressão geométrica, determine a medida do lado L do triângulo. 23. A média aritmética dos elementos de um conjunto formado por n valores numéricos diminui quatro unidades quando o número 58 é retirado. Quando o número 57 é adicionado ao conjunto original, a média aritmética dos elementos desse novo conjunto aumenta três unidades em relação à média inicial. Qual o valor da soma dos elementos originais do conjunto? Resolução: Sejam S a soma de todos os elementos do conjunto, n a quantidade e x a média aritmética inicial, temos: Resolução: S n = x S − 58 n − 1 = x − 4 S + 57 = x + 3 n + 1 S = nx S = nx Þ S − 58 = nx − 4n − x + 4 Þ 4n + x = 62 ( II ) 3n + x = 54 ( III ) S + 57 = nx + 3n + x + 3 Resolvendo um sistema com as equações (II) e (III) obtemos n = 8 e x = 30. Portanto, S = n . x = 8 . 30 = 240 L h Por Pitágoras, temos: e a área do triângulo será: L 4 S = nx Þ S − 58 = ( n − 1 )( x − 4 ) S + 57 = ( n + 1 )( x + 3 ) L 2 15 L2 L 15 L2 Þ h2 = 16 Þ h = 4 h2 + = L2 Þ h2 = L2 – 4 16 L ⋅h L L 15 L2 15 = ⋅ = A= 2 2 4 4 16 Como a sequência (L, h, A) é uma PG, temos: L . A = h2 Þ L ⋅ CPV unesp2011 L2 15 15 L2 = Þ L= 16 16 15 1 2 unesp – 19/12/2010 CPV seu pé direito também na Medicina 24. Em todos os 25 finais de semana do primeiro semestre de certo ano, Maira irá convidar duas de suas amigas para ir à sua casa de praia, sendo que nunca o mesmo par de amigas se repetirá durante esse período. Respeitadas essas condições, determine o menor número possível de amigas que ela poderá convidar. Dado: 201 @ 14,2 Resolução: Seja n o número possível de amigas que ela poderá convidar. Como ela pode combinar essas amigas de duas em duas, temos: Cn,2 ≥ 25 Þ n! 2! ( n − 2 )! ≥ 25 Þ n( n − 1) ≥ 25 Þ n2 – n – 50 ≥ 0 2 n≥ 1 + 201 1 + 14, 2 ≅ = 7, 6 2 2 n≤ 1 − 14, 2 1 − 201 ≅ = − 6, 6 (não convém) 2 2 Portanto, poderá convidar no mínimo 8 amigas. CPV unesp2011 Comentário do CPV A prova dissertativa de Matemática da UNESP/2011, mostrouse abrangente e ao mesmo tempo objetiva se considerarmos apenas três questões. Destacamos a questão 22, na qual o examinador exigiu do candidato conhecimentos de geometria e sequências numéricas (PG), e a questão 24, onde se cobrou análise combinatória de forma simples e criativa. Parabenizamos à banca examinadora por mais esta belíssima prova. Distribuição das Questões Geometria Plana: 16,67% Sequências Numéricas: 16,67% Sistemas Lineares: 16,67% Estatística:16,67% Análise Combinatória: 16,67% Inequação do 2o Grau: 16,67%