Matemática
Frente I
CAPÍTULO 19 – RETA PASSANDO POR UM PONTO DADO
Logo, se uma reta passa por um ponto
e tem um coeficiente angular , a sua
equação é
1 - RECORDANDO
Na última aula, nós vimos duas condições
bem importantes:

Condição para que duas retas r e s sejam
paralelas;

Condição para que duas retas r e s sejam
perpendiculares;
A seguir, vamos mostrar várias situações
em que essa fórmula pode ser aplicada.
3 - RETAS PARALELAS
Imagine o seguinte problema: dada uma reta
e um ponto , queremos determinar a equação de
uma reta paralela a e que passe por .
Na aula de hoje, nós vamos aplicar essas
duas condições para resolver diversos problemas de
Geometria Analítica.
2 - FÓRMULA
Até agora, sempre que nós queríamos saber
a equação de uma reta, nos precisávamos de duas
informações: as coordenadas de um ponto (primeira
informação) e as coordenadas de outro ponto
(segunda informação).
Nesta aula, vamos mostrar uma abordagem
diferente: em vez das coordenadas de dois pontos,
as duas informações para determinar a equação de
uma reta serão as coordenadas de um único ponto
dado (primeira informação) e o coeficiente angular da
reta (segunda informação).
Figura 2 – reta
paralela a
e passando por um ponto dado
Exercício Resolvido 1:
Seja
a equação de uma reta
que passa por um ponto dado
. Seja
um outro ponto qualquer da reta. Então,
tem-se:
Sejam
e
equação de uma reta , onde
paralela à reta .
. Determine a
passa por
e é
Resolução:
Para determinar a equação da reta ,
precisamos de um ponto de e do seu coeficiente
angular. Felizmente, já temos esse ponto, pois
.
Assim, só falta descobrir :
Agora que temos um ponto de
(primeira
informação) e o coeficiente angular de (segunda
informação), vamos determinar a sua equação:
Figura 1 – reta r passando por um ponto dado
Resposta: a equação da reta é
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Exercício Resolvido 2:
Sejam
e
Determine a equação de uma reta , onde
por e é paralela à reta .
.
passa
Resolução:
Como a altura relativa ao lado
deve
passar pelo ponto
(que é oposto ao lado
), o
ponto
deve pertencer à reta . Agora só
precisamos do seu coeficiente angular.
Como um lado é perpendicular à sua
respectiva altura, tem-se que e devem ser retas
perpendiculares. Então:
Novamente, para determinar a equação da
reta s, precisamos de um ponto de
e do seu
coeficiente angular. Felizmente, já temos esse ponto,
pois
. Assim, só falta descobrir . Mas primeiro
vamos descobrir
, obtendo a equação reduzida da
reta :
Agora que temos um ponto de
(primeira
informação) e o coeficiente angular de
(segunda
informação), vamos determinar a sua equação:
Agora que temos um ponto de
(primeira
informação) e o coeficiente angular de (segunda
informação), vamos determinar a sua equação:
Resposta: a equação da reta
é
Exercício Resolvido 4:
Resposta: a equação da reta s é
4 - ALTURA DO TRIÂNGULO
Agora, vamos mudar o nosso problema:
Dados três pontos A, B e C de um triângulo,
queremos descobrir a equação da reta que contém
uma altura do triângulo.
Exercício Resolvido 3:
Sejam
e
. Qual
é a equação da reta que contém a altura relativa ao
lado
?
Sejam
,
e
Qual é o ponto em que a altura relativa ao lado
corta o lado
?
.
Resolução:
Seja
o ponto em que a altura relativa ao
lado
corta o lado
. Sejam ainda a reta que
contém a altura relativa ao lado
e a reta que
contém o lado
. Essa situação está ilustrada na
figura a seguir:
Resolução:
Seja a reta que contém a altura relativa ao
lado
. Seja ainda a reta que contém o lado
.
Para determinar a equação de , precisamos de um
ponto dessa reta e do seu coeficiente angular. Essa
situação está ilustrada na figura a seguir:
Figura 4 – figura relativa ao exercício resolvido 4
Para determinar o ponto , precisamos das
equações das retas
e . E para determinar as
equações de e , precisamos de um ponto e do
coeficiente angular de cada reta.
Figura 3 – figura relativa ao exercício resolvido 3
Primeiro vamos determinar a equação de :
já sabemos que
é um ponto de , então só falta
determinar
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5 - PÉ DA PERPENDICULAR
Agora que temos um ponto de
(primeira
informação) e o coeficiente angular de (segunda
informação), vamos determinar a sua equação:
Desta vez, vamos analisar o seguinte
problema: dado um ponto e uma reta , queremos
encontrar o “pé” da reta , que passa por
e é
perpendicular a .
Mas o que seria esse “pé” da perpendicular?
O “pé” é a interseção da perpendicular com a reta
original, ou seja, é a interseção de com .
Exercício Resolvido 5:
Agora, vamos determinar a equação de .
Como a altura relativa ao lado
deve passar pelo
ponto (que é oposto ao lado
), o ponto deve
pertencer à reta . Agora só precisamos do seu
coeficiente angular.
Como um lado é perpendicular á sua
respectiva altura, tem-se que e devem ser retas
perpendiculares. Então:
Sejam
pé da reta perpendicular a
e
. Qual é o
e que passa por ?
Resolução:
Seja a reta perpendicular a e que passa
por . Seja ainda
o pé de , ou seja,
é a
interseção das retas e . Para determinar o ponto
, precisamos das equações das retas e . Essa
situação está ilustrada na figura a seguir:
Agora que temos um ponto de
(primeira
informação) e o coeficiente angular de
(segunda
informação), vamos determinar a sua equação:
Seja
o ponto em que a altura relativa ao
lado
corta o lado
. Então é o ponto em que
e se cortam, ou seja,
e
. Então:
Figura 5 – figura relativa ao exercício resolvido 5
Para determinar a equação da reta ,
precisamos de um ponto de e do seu coeficiente
angular. Felizmente, já temos esse ponto, pois
.
Assim, só falta descobrir
. Da equação reduzida
de , tem-se que
Então:
(
(
Agora que temos um ponto de
(primeira
informação) e o coeficiente angular de (segunda
informação), vamos determinar a sua equação:
)
Resposta: o ponto
em que a altura relativa ao
lado
é
corta o lado
(
)
)
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Como
é a interseção das retas
e
. Então:
H
Resposta: o pé da reta perpendicular a
passa por
é
(
e
,
e que
)
Para determinar a equação da reta
,
precisamos de um ponto de
e do seu coeficiente
angular. Infelizmente, desta vez nós não temos esse
ponto diretamente. No entanto, sabemos que o ponto
médio de
pertence a . Logo, se
é o ponto
médio de
, tem-se:
Agora que já temos um ponto de
descobrir
. Então:
, só falta
6 - MEDIATRIZ
Finalmente, chegamos ao último problema
deste capítulo: sendo dados dois pontos
e
quaisquer, queremos determinar a mediatriz deles.
A mediatriz do segmento
é a reta cujos
pontos são eqüidistantes de
e de
(se
é um
ponto da mediatriz,
). Ela apresenta
algumas propriedades interessantes, como:


a mediatriz passa pelo ponto médio
do
segmento
. De fato, se
é ponto médio
de e de ,
, logo
é ponto da
mediatriz;
a mediatriz é perpendicular ao segmento AB;
Vamos usar essas propriedades para calcular a
equação de m, como veremos no exemplo a seguir.
Exercício Resolvido 6:
Sejam
equação da mediatriz de
e
?
. Qual é a
Agora que temos um ponto de
(primeira
informação) e o coeficiente angular de
(segunda
informação), vamos determinar a sua equação:
Resposta: a equação da reta m é
7 - RESUMO
Neste capítulo, nós vimos que para
determinar a equação de uma reta, é suficiente saber
duas informações: as coordenadas de um ponto da
reta (primeira informação) e o seu coeficiente angular
(segunda informação). Uma vez que essas duas
informações são conhecidas, basta aplicar a
seguinte fórmula:
Resolução:
Seja
a reta mediatriz do segmento
.
Seja ainda a reta que passa por e por . Essa
situação está ilustrada na figura a seguir:
Essa fórmula é bastante útil nas mais diversas
situações. Só neste capítulo, nós vimos como
determinar a equação de uma reta paralela a outra
reta por um ponto dado; como encontrar a reta
suporte da altura de um triângulo dado; como
encontrar o pé da perpendicular a uma reta por um
ponto dado; e como determinar a equação da
mediatriz de um segmento dado.
Abaixo segue uma série de exercícios em que você
pode aplicar a fórmula acima. Boa sorte!
Figura 6 – figura relativa ao exercício resolvido 6
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9. (UFMG - 97) O lado BC de um ângulo reto ABC
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Nível I
1. (UFMG - 01) A reta r passa pelo ponto (16, 11) e
NÃO intercepta a reta de equação
está sobre a reta de equação x - 2y + 1 = 0, e o
ponto de coordenadas (2,4) pertence à reta que
contém o lado BA. A equação da reta que contém o
lado BA é:
a) 4x + 2y - 5 = 0
c) x + 2y - 10 = 0
Considerando-se os seguintes pontos, o ÚNICO que
pertence à reta r é
a) (7, 6)
b) (7, 13/2)
c) (7, 7)
d) (7, 15/2)
2. (UNESP - 01) Dada a reta r de equação
4x + 2y + 5 = 0 e o ponto P = (2,-1), determine
a) o coeficiente angular de r;
b) a equação geral da reta s que é perpendicular a r
e passa pelo ponto P.
3. Determine o pé da perpendicular baixada de
P(2,3) sobre r: 2x-3y-8=0.
4. (FEI - 96) Se a reta r passa pelos pontos (3, 0) e
(0, 1), a reta s é perpendicular a r e passa pela
origem, então s contém o ponto:
a) (5, 15) b) (5, 10) c) (5, 5)
10. (UNESP - 90) A reta r é perpendicular à reta
-3x + 4y - 5 = 0 e passa pelo ponto (1, 2). Determine
os pontos de r que distam 5 unidades do ponto (1, 2).
11. (UFSCAR - 07)
Considere P um ponto
pertencente à reta (r) de equação 3x + 5y - 10 = 0 e
eqüidistante dos eixos coordenados. A equação da
reta que passa por P e é perpendicular a (r) é
a) 10x - 6y - 5 = 0.
b) 6x - 10y + 5 = 0.
c) 15x - 9y - 16 = 0.
d) 5x + 3y - 10 = 0.
e) 15x - 3y - 4 = 0.
12. (UFSCAR - 06) Os pontos P e Q dividem o
segmento de extremos (5, 8) e (1, 2) em três partes
iguais. Se as retas perpendiculares a esse segmento
pelos pontos P e Q interceptam o eixo y nos pontos
(0, p) e (0, q), com p > q, então 6q - 3p é igual a
d) (5, 1) e) (5, 0)
a) 10.
5. (FUVEST - 97) As retas r e s são perpendiculares
e interceptam-se no ponto (2, 4). A reta s passa pelo
ponto (0, 5). Uma equação da reta r é
a) 2y + x = 10
d) 2x + y = 8
b) y = x +2
e) y = 2x
b) x - 2y + 6 = 0
d) 2x + y - 8 = 0
c) 2y - x = 6
6. (UFMG - 95) A reta r é perpendicular à reta de
equação 2x + y - 1 = 0 no ponto de abscissa -1.
A equação da reta r é
a) x - 2y + 7 = 0 b) 2x + y - 7 = 0 c) -x + 2y + 7 = 0
d) 2x + y + 7 = 0 e) x + 2y - 1 = 0
Nível II
7. O ponto simétrico da origem em relação à reta
2x+2y-1=0 é: (Dica: imagine que a reta dada é um
espelho. O que se pergunta é onde está a imagem
do ponto.)
b) 8.
c) 7.
d) 5.
e) 2.
13. (UFSCAR - 08) Admita os pontos A(2, 2) e
B(- 3, 4) como sendo vértices opostos de um losango
ACBD.
a) Determine a equação geral de cada uma das retas
suportes das diagonais do losango ACBD.
b) Calcule o comprimento do lado do losango ACBD,
admitindo-se que um de seus vértices esteja no eixo
das abscissas.
Dica 1: em um losango, as duas diagonais são
perpendiculares.
Dica 2: Em um losango, as suas diagonais se
bisseccionam (a interseção delas é o ponto médio de
cada diagonal).
8. (UNESP - 06) Num sistema de coordenadas
cartesianas ortogonais, o coeficiente angular e a
equação geral da reta que passa pelos pontos P e Q,
sendo P = (2, 1) e Q o simétrico, em relação ao eixo
y, do ponto Q' = (1, 2) são, respectivamente:
a) 1/3; x - 3y - 5 = 0.
b) 2/3; 2x - 3y -1 = 0.
c) - 1/3; x + 3y - 5 = 0.
d) 1/3; x + 3y - 5 = 0.
e) - 1/3; x + 3y + 5 = 0.
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GABARITO
1. B
2. a)
b) s:
3.
4. A
5. E
6. A
7. (
)
8. C
9. D
10.
e
11. A
12. B
13. a)
b)
e
√
BIBLIOGRAFIA
Não há referências bibliográficas
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