GEOMETRIA DESCRITIVA A
10.º Ano
Intersecções – Dois Planos I
© antónio de campos, 2010
GENERALIDADES
Dois planos não paralelos (planos secantes) intersectam-se numa
recta, a recta comum a ambos os planos.
xz
α
i
δ
x
xy
INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS
PROJECTANTES
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre
um plano de topo θ (projectante frontal) e um plano vertical α (projectante
A recta comum aos dois planos tem a sua
horizontal).
projecção frontal coincidente com o
traço frontal do plano de topo θ
(projectante frontal), e a sua projecção
horizontal coincidente com o traço
horizontal do plano vertical α
(projectante horizontal).
xz
fθ ≡ i2
fθ ≡ i2
fα
α
i
fα
θ
x
x
hα ≡ i1
hθ
xy
hα ≡ i1
hθ
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre
um plano frontal φ (projectante horizontal) e um plano vertical α (projectante
horizontal).
Como ambos os planos são projectantes
horizontais, a recta de intersecção tem
que ser uma recta projectante
horizontal, uma recta vertical, localizada
na intersecção dos traços horizontais
dos dois planos.
xz
i2
φ
fα
α
fα
i
x
x
(hφ)
hα
xy
(i1)
(hφ)
hα
Um plano horizontal υ tem 2 cm de cota. Um plano frontal φ tem 3 cm de
afastamento. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de
intersecção entre os dois planos. Que tipo de recta se trata?
(fυ) ≡ i2
x
(hφ) ≡ i1
A recta comum aos dois planos tem a sua
projecção frontal coincidente com o
traço frontal do plano horizontal υ
(projectante frontal), e a sua projecção
horizontal coincidente com o traço
horizontal do plano frontal φ
(projectante horizontal).
A recta comum aos dois planos, a recta
de intersecção, é uma recta frontohorizontal.
Um plano frontal φ tem 2 cm de afastamento. Um plano de topo α faz um diedro
de 30º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projecção. Determina as projecções da
recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. Que tipo de
recta se trata?
fα ≡ i2
x
(hφ) ≡ i1
hα
A recta comum aos dois planos tem a sua
projecção frontal coincidente com o
traço frontal do plano de topo α
(projectante frontal), e a sua projecção
horizontal coincidente com o traço
horizontal do plano frontal φ
(projectante horizontal).
A recta comum aos dois planos, a recta
de intersecção, é uma recta frontal.
Um plano horizontal υ tem 3 cm de cota. Um plano de topo θ faz um diedro de
45º (a.e.) com o Plano Horizontal de Projecção. Determina as projecções da
recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. Que tipo de
recta se trata?
fθ
(fυ)
(i2)
x
i1
Como ambos os planos são projectantes
frontais, a recta de intersecção tem que ser
uma recta projectante frontal, uma recta de
topo, localizada na intersecção dos traços
frontais dos dois planos.
hθ
A recta comum aos dois planos, a recta
de intersecção, é uma recta de topo.
INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PROJECTANTE E
UM PLANO NÃO PROJECTANTE
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre
um plano vertical α (projectante horizontal) e um plano oblíquo θ (não projectante).
A recta comum aos dois
planos tem a sua projecção
horizontal coincidente com
o traço horizontal do plano
vertical α (projectante
horizontal).
xz
F
F2
fθ
fα
fθ
α
Como a recta i
pertence aos dois
planos, os traços da
recta i situam-se na
intersecção dos traços
dos dois planos. A
partir dos traços da
recta i, é possível obter
a sua projecção frontal.
i2
fα
i
θ
x
H2
F1
x
H
hα
hθ
xy
H1
hθ
hα ≡ i1
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre
um plano horizontal υ (projectante frontal) e um plano oblíquo δ (não projectante).
A recta comum aos dois
planos tem a sua projecção
frontal coincidente com o
traço frontal do plano
horizontal υ (projectante
frontal).
xz
fδ
fδ
(fυ) F
(fυ) ≡ i2
δ
i
υ
Como a recta i pertence aos
dois planos, o traço frontal da
recta i situa-se na
intersecção dos traços
frontais dos dois planos. A
partir da projecção horizontal
(F1) do traço frontal da recta
i, é possível obter a sua
projecção horizontal, com a
mesma orientação do traço
horizontal (hδ) do plano δ.
F2
F1
x
x
xy
hδ
hδ
i1
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre
um plano frontal φ (projectante horizontal) e um plano de rampa ρ (não
projectante).
Como a projecção horizontal da recta i tem afastamento igual,
a recta comum aos dois planos só pode ser fronto-horizontal,
tendo em conta o plano de rampa.
Para obter o traço frontal da recta i, recorre-se a uma recta
auxiliar qualquer r do plano de rampa, com os traços
horizontal e frontal da recta r a determinar a projecção
frontal da recta r. A seguir é identificado um ponto (P) que
fica na recta i, e consequentemente, localiza a projecção
frontal da recta i.
r2
A recta comum aos dois planos tem a sua
projecção horizontal coincidente com o traço
horizontal do plano frontal φ (projectante
horizontal).
xz
φ
F
fρ
F2
fρ
i2
r
i
x
x
P1
(hφ)
hρ
H
F1
H2
ρ
P
P2
xy
H1
r1
(hφ) ≡ i1
hρ
Um plano de topo α faz um diedro de 45º (a.d.) com o Plano Horizontal de
Projecção. Um plano de rampa ρ tem o seu traço horizontal com 2 cm de
afastamento, e o seu traço frontal com 4 cm de cota. Determina as projecções
da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos.
A recta comum aos dois
planos tem a sua projecção
frontal coincidente com o
traço frontal do plano de
topo α (projectante
frontal).
Como a recta i
pertence aos dois
planos, os traços da
recta i situam-se na
intersecção dos traços
dos dois planos. A
partir dos traços da
recta i, é possível obter
a sua projecção
horizontal.
fα ≡ i2
F2
fρ
H2
F1
x
H1
hρ
hα
i1
Um plano horizontal υ tem 2cm de cota. Um plano de rampa ρ tem o seu traço
horizontal com 2 cm de afastamento, e o seu traço frontal com 4 cm de cota.
Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre
os dois planos. Que tipo de recta se trata?
A recta comum aos dois planos
tem a sua projecção frontal
coincidente com o traço frontal
do plano horizontal υ
(projectante frontal).
Com a projecção frontal da recta
i tem cota igual, a recta comum
aos dois planos só pode ser
fronto-horizontal, tendo em
conta o plano de rampa.
Para obter o traço horizontal da
recta i, recorre-se a uma recta
auxiliar qualquer r do plano de
rampa, com os traços horizontal
e frontal da recta r a
determinar a projecção
horizontal da recta r. A seguir é
identificado um ponto (P) que
fica na recta i, e
consequentemente, localiza a
projecção horizontal da recta i.
r2
F2
fρ
(fυ) ≡ i2
P2
F1
x
i1
hρ
P1
H2
r1
H1
Um plano frontal φ tem 3 cm de afastamento. Um plano oblíquo δ tem os seus
traços coincidentes, e o seu traço horizontal faz um ângulo de 60º (a.d.) com o
eixo x. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção
entre os dois planos. Que tipo de recta se trata?
A recta comum aos dois planos
tem a sua projecção horizontal
coincidente com o traço horizontal
do plano frontal φ (projectante
horizontal).
Como a recta i pertence aos
dois planos, o traço horizontal
da recta i situa-se na
intersecção dos traços
horizontais dos dois planos. A
partir da projecção frontal
(H2) do traço horizontal da
recta i, é possível obter a sua
projecção frontal, com a
mesma orientação do traço
frontal (fδ) do plano δ.
fδ ≡ hδ
i2
H2
x
(hφ) ≡ i1
H1
INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS NÃO
PROJECTANTES
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre
dois planos oblíquos.
xz
Como a recta i pertence aos
dois planos, os traços da recta i
situam-se na intersecção dos
traços dos dois planos.
fα
F2
fθ
F
fα
fθ
α
i2
i
θ
H2
x
F1
i1
x
H1
H
hθ
hα
xy
hθ
hα
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre
dois planos oblíquos, sendo os seus traços horizontais paralelos entre si.
Como os traços horizontais dos dois planos são paralelos, a recta i será uma
recta horizontal, localizado pelo traço frontal comum aos dois planos.
A projecção horizontal da recta i terá que ter a mesma orientação que os
traços horizontais dos planos.
xz
i2
fδ
fα
F
fα
F2
i
fδ
δ
α
x
F1
hδ
x
hα
xy
hα
i1
hδ
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre
dois planos oblíquos, sendo os seus traços frontais paralelos entre si.
Como os traços frontais dos dois planos são paralelos, a recta i será uma recta
frontal, localizado pelo traço horizontal comum aos dois planos.
A projecção frontal da recta i terá que ter a mesma orientação que os traços
frontais dos planos.
i2
xz
fδ
fα
fδ
fα
α
δ
H2
x
x
hα
H1
i1
xy
H
hδ
hδ
hα
Um plano oblíquo α corta o eixo x num ponto A com 4 cm de abcissa. O traço
horizontal do plano oblíquo α faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x. O seu
traço frontal faz um ângulo de 45º (a.d.) com o eixo x. Um plano oblíquo θ corta
o eixo x num ponto B com -3 cm de abcissa, e os seus traços são paralelos aos
traços contrários do plano α. Determina as projecções da recta de intersecção
i, recta de intersecção entre os dois planos.
Como a recta i
pertence aos dois
planos, os traços da
recta i situam-se na
intersecção dos
traços dos dois
planos.
y≡ z
fα
fθ
i2
F2
A0 ≡ A1 ≡ A2
F1
H2
B0 ≡ B1 ≡ B2
x
H1
hθ
i1
hα
Um plano oblíquo α corta o eixo x num ponto A com 4 cm de abcissa. O traço
horizontal do plano oblíquo α faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x. O seu
traço frontal faz um ângulo de 45º (a.d.) com o eixo x. Um plano de rampa ρ tem
o traço horizontal com 3 cm afastamento e tem o traço frontal com 2 cm de
cota. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção
entre os dois planos.
Como a recta i
pertence aos dois
planos, os traços da
recta i situam-se na
intersecção dos
traços dos dois
planos.
fα
y≡ z
i2
fρ
F2
A0 ≡ A1 ≡ A2
x
hρ
F1
H2
H1
i1
hα
Um plano oblíquo φ tem os seus traços simétricos em relação ao eixo x, com o
seu traço horizontal a fazer um ângulo de 60º (a.d.) com o eixo x. Um plano de
rampa ρ tem os seus traços coincidentes, tendo o traço horizontal -4 cm de
afastamento. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de
intersecção entre os dois planos.
Como a recta i
pertence aos dois
planos, os traços da
recta i situam-se na
intersecção dos
traços dos dois
planos.
fφ
i1
fρ ≡ h ρ
H1
F2
H2
F1
x
i2
hφ
Um plano oblíquo ψ intersecta o eixo x num ponto com –3 cm de abcissa. O plano
ψ tem os seus traços simétricos em relação ao eixo x, com o seu traço frontal a
fazer um ângulo de 30º (a.e.) com o eixo x. Um plano oblíquo ω intersecta o eixo
x num ponto com 2 cm de abcissa. O traço horizontal do plano ω é perpendicular
a hψ, e o seu traço frontal é paralelo a fψ. Determina as projecções da recta de
intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. Que tipo de recta se
trata?
y≡ z
Como os traços frontais
dos dois planos são
paralelos, a recta i será
uma recta frontal,
localizado pelo traço
horizontal comum aos dois
planos.
A projecção frontal da
recta i terá que ter a
mesma orientação que os
traços frontais dos planos.
fψ
i2
fω
H2
x
H1
i1
hψ
hω
INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PROJECTANTE E
UM PLANO NÃO DEFINIDO PELOS SEUS TRAÇOS
Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre
um plano horizontal υ (projectante frontal) e um plano oblíquo α (definido por duas
rectas paralelas).
Como o plano υ é projectante frontal, a
projecção frontal da recta i é coincidente com
o traço frontal do plano. Através do ponto de
intersecção entre as rectas r e s com o plano υ,
se obtem os pontos R e S, que permitem obter
a projecção horizontal da recta i.
xz
α
r
r2
(fυ)
R
s
i
(fυ) ≡ i2
R2
x
R1
s2
S2
S
υ
x
xy
i1
S1
r1
s1
Um plano vertical α corta o eixo x num ponto com 3 cm de abcissa, e faz um
ângulo de 50º (a.d.) com o Plano Frontal de Projecção. Um plano oblíquo δ está
definido por duas rectas, h e f, concorrentes no ponto A (-3; 2; 3). A recta h é
horizontal e faz um ângulo de 45º (a.e.) com o Plano Frontal de Projecção. A
recta f é frontal e faz um ângulo de 30º (a.e.) com o Plano Horizontal de
Projecção. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de
intersecção entre os dois planos.
fα
M2
f2
y≡ z
i2
h2
Como o plano α é projectante
horizontal, a projecção horizontal
da recta i é coincidente com o
traço horizontal do plano. Através
do ponto de intersecção entre as
rectas h e f com o plano α, se
obtem os pontos M e N, que
permitem obter a projecção
frontal da recta i.
A2
N2
x
f1
M1
A1
N1
h1
hα ≡ i1
Um plano oblíquo α está definido por duas rectas paralelas, a e b. A recta a
contém os pontos R (2; 4; 3) e S (-3; 0; –2). A recta b contém o ponto T (-2; 2;
2). Um plano frontal φ tem 3 cm de afastamento. Determina as projecções da
recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos.
b2
y≡ z
Como o plano φ é projectante
horizontal, a projecção horizontal
da recta i é coincidente com o
traço horizontal do plano. Através
do ponto de intersecção entre as
rectas a e b com o plano φ, se
obtem os pontos A e B, que
permitem obter a projecção
frontal da recta i.
a2
i2
B2
R2
T2
A2
S1
x
T1
A1
(hφ) ≡ i1
B1
R1
a1
b1
S2
Um plano oblíquo θ está definido pelos pontos A (3; 2; 2), B (0; 1; 5) e C (-2; 5;
1). Um plano horizontal υ tem 3 cm de cota. Determina as projecções da recta
de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos.
Como o plano υ é projectante
frontal, a projecção frontal da
recta i é coincidente com o traço
frontal do plano. Para obter a
projecção horizontal da recta i, é
necessário recorrer a duas rectas
auxiliares do plano θ (utilizandoos
pontos dados). Através do ponto
de intersecção entre as rectas r e
s com o plano υ, se obtem os
pontos M e N, que permitem
obter a projecção horizontal da
recta i.
y≡ z
B2
s2
r2
(fυ) ≡ i2
M2
N2
A2
C2
x
B1
r1
A1
M1
i1
N1
s1
C1