Introdução à Integral
Definida
Aula 03 – Matemática II – Agronomia
Prof. Danilene Donin Berticelli
Área
Desde os tempos mais antigos os
matemáticos se preocupam com
o problema de determinar a área
de uma figura plana.
O procedimento mais usado foi o
método da exaustão, que consiste
em aproximar a figura dada por
meio de outras, cujas áreas são
conhecidas.
Por exemplo
 Podemos citar o círculo. Para definir sua área consideramos um polígono
regular inscrito de n lados, que denotamos por Pn.
 A área do círculo será dada Ac = n.At onde At = área do polígono e n o
número de polígonos inscritos.
r
ht
b
 Como a área do polígono é a área do triângulo temos:
. ℎ
 =
2
 E o perímetro do polígono é
 = . 
 A área do círculo será dada por
 = .
.ℎ
2
=  .
ℎ
2
Fazendo  crescer cada vez mais, isto é,  → ∞, o polígono Pn torna-se uma
aproximação de um círculo. O perímetro pn aproxima-se do comprimento da
circunferência 2 e a altura ht aproxima-se do raio .
Temos:
lim  =
→∞
2.
2
= ², que é a área do círculo.
 Para definir a área de uma figura plana qualquer,
procedemos de forma análoga. Aproximamos a figura
por polígonos cujas áreas possam ser calculadas pelos
métodos da geometria elementar.
 Consideremos agora o problema de definir a área de uma região plana ,
delimitada pelo gráfico de uma função contínua não negativa y = (),
pelo eixo dos  e por duas retas  =  e  = .
 Para isso, fazemos uma partição do intervalo [a,b], isto é, dividimos o intervalo
[a,b] em  subintervalos, escolhendo os pontos:
 Veja figuras abaixo.
 Na primeira subdividimos a área em quatro subintervalos.
 Na segunda subdividimos a área em oito subintervalos.
 Considerando:
  o número de retângulos;
 Cada retângulo tem base ∆ =  − −1
 A altura de cada retângulo igual a  
 A soma das áreas dos  retângulos, que representamos por  é dada por:
 =  1 . ∆1 +
 2 . ∆2 +...+  . ∆ =

=1 ( )∆
Soma de Riemann
 Podemos observar que à medida que n cresce muito, ∆ diminui,
tornando-se muito pequeno, e com isso a soma das áreas retangulares
aproxima-se do que intuitivamente entendemos com área de S.
Seja  = () uma função contínua, não negativa e
Definição:
[, ]. A área sob a curva de  = (), de  até , é definida por:
=
lim
á∆ →0

=1 ( )∆ ,
Exemplo
 Seja R a região sob a curva da função () = 2 + 1 no intervalo 1 ≤  ≤ 3,
como indica a figura.
f(x)=2x+1
10
9
Como
calcular essa
área?
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
 1º passo: decidir o número de intervalos
−
 e calcular ∆ =  .
f(x)=2x+1
 ∆ =
10
9
8
3−1
4
1
=2
 2º passo: construir uma tabela com
valores correspondentes:
7
6
5

1
3/2
2
5/2
( )
3
4
5
6
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
 3º passo: Calcular a área usando a
Soma de Riemann:
1
 = 3+4+5+6 .
2
=9
 Se continuarmos a subdividir a região R usando um numero cada vez maior
de retângulos, as somas correspondentes se aproximam cada vez mais da
área exata de A.
Exemplo: aumentando o número de intervalos  e calcular ∆ =
3−1 1
∆ =
=
8
4
−
.

f(x)=2x+1
10
9
8
7

1
5/4
3/2
7/4
2
9/4
5/2
11/4
( )
3
7/2
4
9/2
5
11/2
6
13/2
6
5
 Calcular a área usando a Soma de
Riemann:
7
9
11
13 1
 = 3+ +4+ +5+
+6+
.
2
2
2
2 4
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
 =9,5
A Integral Definida
 A área é apenas uma das muitas grandezas que podem ser expressas
como o limite de uma soma. Para lidar com todos os casos, incluindo
aqueles nos quais a condição   ≤ 0 não é satisfeita, usamos Integral
Definida.
Integral Definida
Seja () uma função contínua no intervalo  ≤  ≤
. Suponha que este intervalo tenha sido dividido em  partes iguais de
largura ∆ =
−

e seja  um número pertencente ao intervalo de ordem j,
para j = 1, 2, ..., n. Forme a soma
 1 +  2 + ⋯ +   . ∆
Conhecida como Soma de Riemann
A Integral Definida
Integral Definida
Neste caso, a integral definida de () no intervalo  ≤
 ≤ , representada pelo símbolo



  é dada pelo limite da Soma de
Riemann quando  → ∞, ou seja,


   = lim  1 +  2 + ⋯ +   . ∆
→∞
A função f(x) recebe o nome de integrando e os números  e  são
chamados de limite inferior de integração e limite superior de integração,
respectivamente. O processo de calcular uma integral definida é chamado
de integração definida.
A área como uma integral definida
 Seja f(x) uma função contínua e () ≥ 0 no intervalo  ≤  ≤ , a área A
da região R sob a curva  = () no intervalo  ≤  ≤  é dada pela
integral definida

=
  

R
O Teorema Fundamental do Cálculo
 Se calcular o limite de uma soma fosse a única forma de obter o valor de
uma integral definida, o processo de integração provavelmente não
passaria de uma curiosidade matemática.
 Felizmente, existe um meio mais simples de executar o cálculo, graças a
um importante teorema que relaciona a integral definida à antiderivação.
Teorema Fundamental do Cálculo: Se a função f(x) é contínua no
intervalo  ≤  ≤ ,



  =   − ()
Onde F(x) é a antiderivada de f(x) no intervalo  ≤  ≤ .
 Nas aplicações do teorema fundamental, usaremos a
notação:
 

=   − ()

Assim,




  =  
=   − ()

Exemplos
1) Use o teorema fundamental do cálculo para determinar a área da região
sob a curva da reta y = 2x+1 no intervalo 1 ≤  ≤ 3.
2) Calcule as integrais definidas:
a)
1 −
( +
0
b)
4 1
1 
)
−  2 
Regras para Integrais Definidas
Sejam  e  funções contínuas no intervalo  ≤  ≤ . Nesse caso,
Regra da multiplicação por
uma constante:

   = 

Regra da soma:
Regra da diferença
onde k é
uma
constante

  



  +    =



   +


  −    =

  


   −

  


   = 0



   = −

Regra da subdivisão:



   =

  

   +

  

Exemplos
 Sejam f(x) e g(x) funções contínuas no intervalo −2 ≤  ≤ 5 que satisfazem
as equações:
5
5
   = 3
−2
5
   = −4
−2
   = 7
3
Use as informações para calcular as seguintes integrais definidas:
a)
5
−2
b)
3

−2
2  − 3  
 
Uso da substituição
Definidas
em
Integrais
 Quando usamos a substituição  = () para calcular a integral definida da

forma    , podemos proceder de duas formas diferentes:
1. Usar a substituição para obter uma antiderivada () de () e em seguida
calcular a integral definida usando o teorema fundamental do cálculo.
2. Usar a substituição para expressar o integrando e  em termos de  e  e
substituir os limites originais de integração,  e , por limites transformado  =
() e  = (). A integral original pode ser, então, calculada aplicando o
teorema fundamental do cálculo à integral definida transformada.
Exemplos:
 Determine
1
8
0
 2 + 1 3  usando as duas opções citadas anteriormente.
Exercícios
1) Calcule a integral definida usando o teorema
fundamental do cálculo:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
1

−2
4
5 − 2 
1
4
2  
1
9 −3/2


4
1
1
1
−

−1  
 −
0
5 − 3 2 +
−3
−1
g)
9
1
h)
6 2
  − 1 
1
0
4 
(2
+
6)
−3
i)
j)
k)
2 + 5 
l)
−
4


2
²

1 ( 3 +1)²
1 6

0  2 +1
2
(
1
+ 1)( − 2)6 
Download

Introdução à Integral Definida