DISCIPLINA: ELEMENTOS DE MATEMÁTICA AVANÇADA
UNIDADE 4: FUNÇÕES DE VARIÁVEL COMPLEXA
OBJETIVOS: Ao final desta unidade você deverá:
- saber trabalhar com números complexos;
- identificar funções de variável complexa;
- calcular integrais reias e complexa usando funções complexas.
1 INTRODUÇÃO
Quando um professor entra na sala de aula e diz que iniciará o estudo dos
números complexos, os alunos pensam que são números, no mínimo, muito
complicados. Ao saber que também existem números chamados de imaginários os
alunos dirão que tais números, por serem imaginários, não existem, e portanto, para
que estudá-los?(CERRI etal, 2001).
Desta forma bem humorada começam as autoras do artigo História dos
Números Complexos, C. Cerri e M. S. Monteiro da Universidade de São Paulo (CERRI
etal, 2001). Nesse texto vocês vão descobrir que o surgimento de tais números está
intimamente ligado à resolução de equações algébricas de grau 3, e não às de grau
2, e que sua aceitação, compreensão e utilização ocorreu de maneira lenta e
gradual. Deixaremos esta nobre tarefa de leitura como uma atividade adicional, e
começaremos
com
a
álgebra
e
operações
usuais
de
números
complexos.
Posteriormente estudaremos as funções de variável complexa e suas aplicações para
a física.
2 NÚMEROS COMPLEXOS
Como já falamos anteriormente, ao estudarmos as raízes de equações
algébricas, em particular, as raízes das equações cúbicas, será conveniente
introduzir o conceito de um número, cujo quadrado é igual a -1. Conforme a
tradição, este número é representado por
,
e escrevemos:
e
1
Se permitirmos que
imaginários (I):
seja multiplicado por números reais (R), obtemos os números
, onde
R. Às vezes as combinações
são também
chamados de números imaginários puros para diferencia lhos do caso geral de
números complexos. Se estendermos a propriedade de multiplicação nos números
reais para os números imaginários, concluímos que o produto de números
imaginários são números reais, por exemplo:
(
Juntando os números imaginários com os números reais, teremos um sistema
onde poderemos efetuar multiplicações e divisões (não por zero!). Este conjunto será
fechado com respeito a estas operações (pois nenhum número deste conjunto
submetido a estas operações foge do conjunto!). Embora este conjunto não seja
fechado respeito à adição e à subtração. Para evitar este infortúnio, foram criados
os números complexos (Z). Eles podem ser escritos da seguinte forma:
Z, onde
R.
O conjunto de números complexos (Z) é fechado em relação à adição,
subtração, multiplicação e divisão, e mais ainda, com a operação de extrair raízes.
Assim definido, o conjunto Z é uma extensão do conjunto r.
2.1 Geometria e álgebra básica de números complexos
Se escrevermos os números complexos na forma usual
ou
podemos definir as operações usuais assim:
1. Adição:
com
Exemplo 1:
2. Multiplicação:
Inicio de Atividade
2
R.
Mostre a propriedade de multiplicação dos números complexos (item 2. do
2.1) e depois use esta propriedade para obter
Nota: Use as
propriedades distributiva e associativa da multiplicação e a definição
Fim de Atividade
A subtração de números complexos pode ser definida como a inversa da
adição, formando o negativo do número complexo:
e reduzir a subtração à adição.
A regra para a divisão pode ser deduzida invertendo-se a multiplicação. Um
método mais direto resulta de:
O número zero
é o único que pode ser escrito como
!
INICIO DE BOXE
1. A adição de números complexos obedece às mesmas regras que a adição de
vetores no plano, sempre que
e
sejam reconhecidos como as componentes do
vetor. No entanto, a multiplicação de números complexos é completamente diferente
do produto interno (produto escalar) e do produto vetorial entre vetores.
2. Usar o símbolo
é puramente convencional, correspondente ao binômio
,
mas é prescindível, ou seja, podemos definir um número complexo como um par
ordenado de números reais,
, que obedece a certas regras. Assim, a
multiplicação deste par ordenado pode ser definida por
e devemos entender que a forma
é somente uma representação de um
número complexo.
FIM DE BOXE
3
Os números complexos podem ser representados no chamado plano complexo,
ou diagrama de Argand (Figura 1). Se representarmos o número complexo
por um único símbolo
e escrevermos
ponto no plano complexo com abscissa
, então a cada
corresponderá um
e ordenada
Dessa maneira também é possível obter uma representação geométrica de um
número complexo.
Figura 1. Diagrama de Argand para um número complexo.
Usando a Fig. 1, podemos obter:
onde
Nesta representação,
é único (raiz quadrada positiva), mas o ângulo
não é. Para
isso podemos adotar a convenção que:
com a regra para os quadrantes, ou seja,
representação:
vamos definir os seguintes elementos:
4
se
. Assim nesta
é a parte real de
,
é a parte imaginária de
, também chamado de valor absoluto de ,
é o módulo de
é o argumento de
,
, também chamado de ângulo polar ou fase.
Também é muito útil definir o número
conjugado do número
complexo,
e
que é chamado o complexo
. Ele é representado por
. No plano
representam cada um à reflexão de outro em torno do eixo real.
INICIO DE BOXE
1. Podemos formar o módulo quadrado do número complexo
quantidade
, definindo a
que será sempre um número real positivo, ou seja:
.
2. A quantidade
é sempre um número real, igual a:
.
3. A operação de conjugação complexa é distributiva e associativa respeito a soma e
o produto:
,e
.
FIM DE BOXE 5
Podemos usar a regra do paralelogramo de vetores no plano para somar dois
números complexos associados a esses vetores. Esta propriedade esta representada
na Figura 2.
5
Figura 2. Adição de números complexos usando a representação vetorial e a regra do
paralelogramo.
Do mesmo modo, podemos representar vetores do plano por números
complexos. O produto escalar entre estes dois vetores pode ser obtido por:
onde fica subentendido que
complexos
e
e
são vetores correspondentes aos números
···, respectivamente. De maneira semelhante, o módulo do produto
vetorial pode ser obtido como:
Inicio de Atividade
Verifique as regras de produto escalar e vetorial para os vetores associados
aos números complexos.
Fim de Atividade
3 FÓRMULA DE DE MOIVRE E O CALCULO DE RAÍZES
Enquanto a adição e subtração de números complexos é mais fácil de realizar
na representação cartesiana
as operações de multiplicação e divisão são
mais fáceis de realizar na representação trigonométrica.
Se
e
então cálculos
quase elementares mostram que
6
com a condição de que se
adicionar ou subtrair
, ou
, então devemos
.
Inicio de Atividade
Deduza a fórmula anterior, usando identidades trigonométricas para o seno e
coseno da soma de dois ângulos.
Fim de Atividade
Da mesma maneira, podemos obter uma regra geral para calcular a
–ésima
potência de um número complexo , que se conhece como fórmula de Moivre:
(com
Se
então
com o inteiro
A regra para calcular
=inteiro).
onde
escolhido, tal que
–
e
.
–ésima raiz de um número complexo pode ser escrita
assim:
é certamente a
–ésima raiz de
, pois
No entanto, esta não é a única
–
ésima raiz de ; os números
onde
são também
costume chamar o número
(uma raiz) e as
de um número complexo
regular de
–ésimas raízes de
de raiz principal de
raízes
, um total de
(com
raízes de
, pois
É
). Assim temos com
. As –ésimas raízes
estão sempre localizadas nos vértices de um polígono
lados em um círculo de raio
com centro na origem (Figura 3).
7
Figura 3. As n-ésimas raízes de um número complexo.
4 FUNÇÕES COMPLEXAS E A FÓRMULA DE EULER
Números complexos
ou
podem ser considerados como variáveis, se
(ou ambos) variarem. Se isso acontecer, então podemos formar funções
complexas. Por exemplo, considere a equação
. Se escrevermos
e
, segue-se, em geral que
,
.
Usando o exemplo anterior, vamos a abrir as contas. Se
com
então:
separando parte real e imaginaria de
, temos:
Na representação gráfica de funções complexas, devemos trabalhar com
quatro variáveis reais simultaneamente. Usamos então a ideia de transformação.
Dois planos complexos distintos, o plano
e o plano
8
, são dispostos lado a lado, e
um ponto
é transformado no ponto
Por exemplo, a fórmula
aplica
em
,
em
, ...
em
, ..., etc.
Isso está ilustrado na Figura 4, onde também está indicado que a reta
horizontal y
no plano
é transformada na parábola
no plano
Figura 4. Transformação no plano complexo.
Funções algébricas de uma variável complexa são definidas por médio de
operações algébricas, que são direitamente aplicáveis aos números complexos (as
funções transcendentes podem requerer definições especiais). Por exemplo, a função
exponencial
(com
1.
2.
real). As propriedades básicas são
,e
.
Desejamos
uma
propriedades. Escrevamos
função
exponencial
; então
9
complexa
com
as
mesmas
A quantidade
do imaginário
é de fato um número real, mas como se define a exponencial
? Supondo que
pode-se representar por uma série de
potências, como a série de Taylor centrada no ponto
temos
então, reagrupando os termos
Assim, podemos definir a função
por meio de
Esta é a fórmula de Euler, e cumpre as propriedades desejadas:
1.
,e
2.
(
inteiro)
são consequências das identidades
e
A definição da função exponencial complexa é dada pela fórmula
que tem as propriedades desejadas, e se reduz à função exponencial real se
4.1 Aplicações da fórmula de Euler
A fórmula de Euler conduz à compacta representação polar dos números
complexos
10
Suponha que um número complexo
seja multiplicado por
onde
é uma
constante real. Então
Assim, o novo número pode ser obtido, fazendo girar, de um ângulo
em torno da
origem, o ponto
A fórmula de Euler também permite a descrição de quantidades reais que
variam de forma senoidal por meio de exponenciais complexas. Uma fórmula geral
para tal quantidade é
,
em que (amplitude), (frequência angular) e (fase) são constantes, e é uma variável
real (geralmente o tempo). Considere a função complexa de uma variável real
em que
é uma constante complexa. Faça
Assim,
, então
.
As funções complexas de uma variável real podem ser tratadas pelos métodos
do cálculo de variáveis reais. Por exemplo, se
funções reais,
então
etc. A diferenciação de
é muito simples:
O seguinte exemplo nos ensina o uso das exponenciais complexas. Considere
um oscilado harmônico amortecido, sujeito a uma força externa variável. A equação
diferencial a ser resolvida é
em que as constantes
são reais, e ambas variáveis
11
e
são reais.
Introduzindo agora uma função complexa
em que
pode ser real, mas
possa ser complexa. Seja
então
Considere a equação diferencial
em que
é evidentemente complexo. O ponto é que, a parte real desta
função complexa
é exatamente a solução da equação diferencial original (real).
Isso pode ser verificado direitamente por substituição:
Suponha que procuramos uma solução de estado constante para nosso
problema de oscilador harmônico. Nossa intuição física sugere que deve ser uma
função de
, ou seja, da forma
Isso, por sua vez, sugere que
procuramos a solução de nossa equação complexa na forma
em que
é uma constante complexa. Se substituirmos este valor na
equação para obter
de maneira que
E assim, o problema está essencialmente resolvido. A solução explícita do problema
físico (real) será:
Assim, podemos escrever
12
Agora, usando a regra
nós obtemos
Inico de Atividade
O resultado anterior pode ser obtido sem usar os números complexos. Assim o
desafio consiste em procurar uma solução da equação diferencial original. Hint:
, e por substituição direita na equação
Proponha como solução
.
diferencial obtenha as constantes
Fim de Atividade
5 FUNÇÕES
PLURÍVOCAS
E
SUPERFÍCIES
DE
RIEMANN
Certas funções complexas são plurívocas, e consideradas formadas por
ramos, com cada ramo uma função unívoca de
Por exemplo, a função
pode ser dividida em dois ramos, segundo a fórmula usual para as raízes (
1. Ramo principal,
2. Segundo ramo,
,
.
Do ponto de vista estritamente matemático, estas duas funções
são funções distintas. Observe que, o ramo principal não aplica o plano
o plano
, mas somente sobre o semiplano direito (
e
sobre todo
), ao qual adicionamos
o semieixo imaginário positivo. O semieixo imaginário negativo não está incluído. O
13
segundo ramo aplica o plano
sobre o semiplano esquerdo (
com o semieixo imaginário negativo. Com exceção de
plano
) juntamente
, nenhum outro ponto do
(plano imagem) é duplicado para ambas as aplicações.
Outra característica importante dos dois ramos é que, cada ramo tomado
separadamente é descontínuo no semieixo real negativo. Ou seja, os pontos
e
, onde
é o número positivo menor, estão muito
próximos umo de outro. No entanto, suas imagens, pela aplicação do ramo principal,
e
, estão muito distantes uma de outra. Por
outro lado, observe que a imagem de
está muito próxima do ponto
,
pela aplicação
Parece que a continuidade da aplicação pode
ser conservada se trocamos de ramo, quando atravessarmos o semieixo real
negativo.
Para dar um significado mais preciso, devemos definir o conceito de uma
função contínua de uma variável complexa: seja
do ponto
e seja
sempre que
desigualdade |
para
definida numa vizinhança
. Dizemos que,
no sentido que, dado
é contínua em
, se
(arbitrariamente pequeno), a
se verifique sempre que
for verdadeira,
suficientemente pequeno.
Existe uma representação de ambos os ramos por meio de uma solução
proposta por
Riemann: imagine dois planos
separados, cortados ao longo do
semieixo real negativo de ‘menos infinito’ a zero. Imagine que os planos estão
superpostos um soube o outro, mas que retêm suas identidades separadas, igual que
duas folhas de papel postas uma sobre a outra. Suponha que, o segundo quadrante
da folha superior seja colado, ao longo do corte, ao quarto quadrante da folha
inferior, para formar uma superfície contínua (Figura 5). Agora, é possível iniciar
uma curva C no terceiro quadrante da folha superior, contornar a origem e
atravessar o semieixo real negativo, penetrando no terceiro quadrante da folha
inferior, em um movimento contínuo (sem sair da superfície). A curva pode continuar
na folha inferior em torno da origem, penetrando no segundo quadrante da folha
anterior. Imagine agora, o segundo quadrante da folha inferior colado ao terceiro
quadrante da folha superior ao longo do mesmo corte (independentemente da
primeira colagem). A curva C pode então, prosseguir penetrando na folha superior e
pode retornar a seu ponto inicial. Este processo de juntar e colar dois planos conduz
à formação de uma superfície de Riemann, que é considerada como uma superfície
14
contínua formada por duas folhas de Riemann (Figura 7). Mas a reta entre o segundo
quadrante da folha superior e o terceiro quadrante da folha inferior deve ser
considerada distinta da reta entre o segundo quadrante da folha inferior e o terceiro
quadrante da folha superior. Aqui é onde o modelo do papel falha. Segundo este
modelo, o semieixo real negativo aparece como uma reta onde as quatro bordas se
encontram. No entanto, a superfície de Riemann não possui tal propriedade; há dos
semieixos reais positivos, e dois semieixos reais negativos. A aplicação
pode ajudar a visualizar isso: o ramo principal aplica a folha de Riemann superior
(excluindo o semieixo real negativo) sobre a região
do plano
Tambem,
a reta que une o segundo quadrante superior com o terceiro inferior, é também
aplicada pelo ramo principal sobre o semieixo imaginário positivo. A folha de
Riemann inferior (excluindo o semieixo real negativo) é aplicada pelo segundo ramo
sobre a região
A reta que une o segundo quadrante inferior com o
terceiro quadrante inferior é aplicada (pelo segundo ramo) sobre o semieixo
imaginário negativo. Deste modo, toda a superfície de Riemann é aplicada de
maneira 1-1, sobre o plano
(
é levado em
a nenhum dos ramos, pois o ângulo polar
, e este caso não a pertence
não está definido quando
Figura 5. Superfície de Riemann.
15
).
Figura 6. Superfície de Riemann.
A divisão de uma função plurívoca em várias ramas é, em grande parte,
arbitraria. Por exemplo, existem várias maneiras de dividir a função
em
dois ramos. No entanto, em todas elas haverá uma linha de ramificação (ou de
corte), estendendo de
ao infinito. A superfície de Riemann é obtida, unindo-se
duas folhas de Riemann através do corte, e esta superfície é única. O ponto
em que todas as linhas de corte devem terminar ou principiar, é chamado de um
ponto de ramificação. A posição do ponto de ramificação é determinada pela
natureza da função plurívoca e, é independente da escolha dos ramos.
Esta técnica pode ser expandida a outras funções plurívocas. Algumas exigem
mais que duas folhas de Riemann, por exemplo,
exige três. Algumas
exigem duas folhas e dois pontos de ramificação, como por exemplo
etc. Há funções que exigem um número infinito de folhas de
Riemann, como por exemplo
com
irracional, e algumas das funções
transcendentes, que estão exemplificadas no livro de Butkov (BUTKOV, 1968).
Inicio de Atividade
A função logaritmo é definida como sendo a inversa da função exponencial.
Resolvendo
para achar
, obtenha:
inteiro.
Fim de Atividade
16
com
6 FUNÇÕES ANALÍTICAS. O TEOREMA DE CAUCHY
Já foi definido no item anterior 5, o conceito de continuidade de uma função
complexa, assim é possível verificar que a soma, o produto e o quociente (exceto a
divisão por zero) de duas funções contínuas são contínuos. Ainda mais, uma função
contínua de uma função contínua é também contínua.
Seja
sobre
uma curva suave por pedaços no plano complexo. Se
for contínua
, então a integral complexa
poderá ser definida e representada em termos das integrais reais, ficando
e
isso fornece
onde sabemos que existem as integrais reais
curva
e
.A
pode ser aberta ou fechada, mas em qualquer caso devemos especificar a
direção de integração. Uma mudança na direção de integração, resulta em mudança
do sinal da integral. As integrais complexas são, portanto, redutíveis a integrais reais
curvilíneas e possuem as seguintes propriedades:
com
constante complexa, e onde
foi decomposta em duas curvas
O valor absoluto de uma integral pode ser estimado pela fórmula
17
e
.
em que,
sobre
e
é o comprimento de
Agora definiremos a derivada de uma função complexa: dando a
acréscimo
(com
complexo) obtemos
um
e podemos escrever
Como no caso de funções reais este limite pode ou não existir. Também é importante
notar que
pode-se aproximar de zero de uma maneira arbitrária, ou seja,
pode-se aproximar de
ao longo de qualquer curva ou por meio de qualquer
sequência. Esta é uma exigência muito forte que acarreta que, a função
que ser “bem comportada” no ponto a
A função
derivada em
tem
, a fim de ser diferenciável.
é analítica (regular, ou holomorfa) no ponto
e em todos os pontos de uma vizinhança de
, se possui
(pequena, mas finita).
Esta exigência adicional leva a muitas boas propriedades para as funções analíticas,
tais como a existência de derivadas de todas as ordens.
A existência da derivada em todos os pontos de uma vizinhança acarreta que,
a derivada é contínua (ver Boxe 1). Também, é um problema fácil de verificar
(usando as propriedades de funções reais) que as derivadas de funções complexas
obedecem às regras usuais:
onde
com
e
e, por exemplo,
inteiro etc. Assim, as diferenciais de funções complexas são definidas de
maneira análoga as diferencias das funções reais. Se
então a definição da derivada poderá ser rescrita como
18
O valor limite no lado direito deve ser o mesmo quando
arbitrariamente para 0. Em particular, faça
tende
(ou seja, aproxime-se ao longo
do eixo real); então
Alternativamente, faça
(aproxime-se ao longo do eixo imaginário); então
Segue-se que, para uma função diferenciável
devemos ter
Estas são as equações ou condições de Cauchy-Riemann, que se seguem
diretamente da definição da derivada. Se além disso,
for analítica, então
deve ser contínua, o que implica que as derivadas parciais de
O teorema recíproco também vale: Se
e
e
sejam contínuas.
possuem derivadas de
primeiro ordem, satisfazendo as condições de Cauchy-Riemann em uma vizinhança
de , então
é analítica em .
Uma das mais importantes propriedades das funções analíticas é expressa
pelo teorema de Cauchy: se
conexo, e
é analítica em um domínio
uma curva simples fechada em
simplesmente
(suave por pedaços), então
Há uma recíproca do teorema de Cauchy, conhecida como o teorema de
Morera: se f(z) é contínua em um domínio D, e se
simples fechado em
com interior também em
para todo caminho
, então
é analítica em
.
O teorema de Cauchy vale para domínios multiplamente conexos, desde que o
interior do caminho seja simples fechado e
esteja dentro do domínio (ou seja, que
o domínio não esteja em volta de um buraco. Veja a Figura 7).
A anulação de uma integral de contorno (uma integral ao longo de um
caminho simples fechado) está estreitamente relacionada com a independência do
, para qualquer caminho simples
caminho de integração. Agora, se
19
fechado, então a integral
é independente do caminho (entre
Suponha agora que fixamos o ponto
. Se a integral
e
).
é independente do
caminho, então deve representar uma função de
. Esta função é uma função
primitiva de
), o que se segue do teorema
(ou uma integral indefinida de
fundamental do cálculo integral: se
é analítica em um domínio
simplesmente
conexo, então a função
é também analítica em
,e
.
Figura 7, Superfície de Riemann
Inicio de Atividade
a. Usando a referência [1] mostre o teorema anterior.
b. Mostre que duas funções primitivas quaisquer devem diferir por uma constante
(complexa).
Fim de Atividade
20
7 OUTROS TEOREMAS DE INTEGRAIS. A FÓRMULA
DA INTEGRAL DE CAUCHY
Para o estudo das aplicações, devemos notar que, em todos eles as condições
enunciadas no teorema de Cauchy devem ser verificadas. Considere a integral
A pergunta que nós fazemos é a seguinte: esta integral é nula ou não? Em geral,
é uma função analítica, mas deixa de sê-lo no ponto
. A
função não é nem definida neste ponto e não pode possuir uma derivada. Suponha
que a curva
, da definição de , seja uma curva simples fechada. Então, se o ponto
está no exterior da curva, o teorema de Cauchy é aplicável, e
. Se estiver
no interior, o teorema de Cauchy não pode ser aplicado. De fato, a integral não é
igual a zero. Se
for um círculo de rádio
calcular a integral, fazendo
com centro em
. Neste caso,
, então é fácil
e
Não é muito difícil mostrar que o resultado é verdadeiro para qualquer
caminho simples fechado em torno do ponto
totalmente contida no interior do circulo
constituído pelas curvas
e
.
Suponha que
esteja
(Figura 8). Então, um estreito canal
pode ser construído para ligar o interior de
com
, e o teorema de Cauchy pode ser aplicado à região sombreada. Pode-se construir
um domínio
, de maneira tal que a região sombreada esteja no seu interior. A
integral ao longo de
e
longo de
é no sentido dos ponteiros do relógio. Se fizermos os lados
do canal se aproximarem um de outro, as integrais
e
ao
se cancelarão (no limite), deixando-nos a afirmativa
onde a primeira integral é tomada no sentido oposto ao dos ponteiros dos relógios; e
o segundo, no sentido dos ponteiros do relógio. Tornando o sentido da segunda
integração anti-horário, obtemos
21
(com ambos os sentidos anti-horários). Se
de
estiver totalmente contida no interior
, a demonstração será semelhante, e se
e
se cortarem a demonstração
seria ainda mais simples.
Figura 8. Integral de Cauchy.
Se a integral
for calculada ao longo de um caminho fechado, que não é
simples, seu valor pode não ser
, onde
. Nos casos de interesse prático, seu valor será
é o número de vezes que o caminho percorre em torno de
sentido anti-horário, menos o número de vezes que percorre em torno de
, no
no
sentido horário.
A integral
pode-se anular mesmo que o teorema de Cauchy não se
aplique. Por exemplo, se calculamos a integral
em que
raio
é um inteiro positivo diferente da unidade e, o contorno é um círculo de
em torno de
. Usando
, obtemos
22
Este resultado é correto para qualquer caminho fechado em torno de
A função
.
do teorema de Cauchy deve ser unívoca. Pode ser o ramo de
uma função plurívoca, mas tendo o cuidado que esse ramo seja analítico. Assim, por
exemplo, na integral
ao longo do círculo de raio unitário e centro na origem, devemos especificar o ramo
da função
. Suponha que seja o ramo principal, ou seja,
Aqui o teorema de Cauchy não se aplica, pois
círculo
não é analítica no interior do
. Os pontos onde a função deixa ser analítica estão no eixo real de
a
contínua em
, ponto em que
nem é contínua. Por mais que
seja
, não é analítica neste ponto. Seja agora a mesma integral
tomada em torno do ponto
n (Figura 9). Se o ramo principal figura na
integração, o teorema de Cauchy não será aplicável. Agora, podemos dividir a
nos dos ramos abaixo
Ramo A:
Ramo B:
23
Aqui o corte está ao longo do semieixo real positivo, e cada ramo é analítico
no interior do círculo
, e sobre sua circunferência, assim o teorema de
Cauchy pode ser aplicado.
Figura 9. Integral de Cauchy para a função
O teorema de Cauchy pode ser generalizado de várias maneiras. Deixamos
este aprofundamento no tema aos alunos interessados que podem revisar a
referência do Butkov (BUTKOV, 1968).
O
teorema
de
Cauchy
pode
ser
usado
para
deduzir
muitas
outras
propriedades das integrais, sendo a mais básica a fórmula da integral de Cauchy: se
é analítica no interior de uma curva
interior de
e sobre ela, e se o ponto
está no
, então
Inicio de Atividade
Usando a referência do Butkov (BUTKOV, 1968), mostre o teorema anterior.
Fim de Atividade
24
8 SEQUÊNCIAS E SÉRIES COMPLEXAS
Um estudo sério das funções analíticas precisa saber como representá-las em
forma de séries. Analisemos primeiro as sequências de números complexos. Uma
seqüência infinita de números complexos
converge para o limite
(complexo) , se
Para
valores
suficientemente
arbitrariamente pequeno.
grandes
de
;
o
número
é
um
número
A convergência de sequências complexas pode ser
reduzida à das sequências reais por meio do seguinte teorema fundamental: a
sequência
e
converge para
converge para
, se e somente se
converge para
,
.
Este teorema, assim como outros a seguir, serão enunciados sem uma
demonstração formal. Aqueles alunos com suficiente curiosidade podem revisar as
demonstrações do Butkov (BUTKOV, 1968).
As sequências convergentes podem ser somadas, subtraídas, multiplicadas e
divididas (termo a termo), e os teoremas usuais sobre limites são válidos:
etc.
Analisemos agora as séries complexas. Uma série infinita de números
complexos
é convergente se a sequência
for uma sequência convergente. Fazendo
de suas somas parciais
, escrevemos usualmente que
Se a sequência das somas parciais não convergir, dizemos então que a série é
divergente. É muito importante notar que, sob certas circunstancias, séries
divergentes podem ter significado bem definido e que tais séries são muito usadas
em aplicações.
Uma série é absolutamente convergente se a série (real) dos módulos
25
for uma série convergente. Uma série absolutamente convergente é convergente.
Muitas vezes, para mostrar a convergência de uma série complexa, pode-se induzir
se ela é absolutamente convergente. A seguir, numeramos os testes mais comuns
para analisar a convergência de uma série complexa:
Teste da comparação: Se
e
convergem, então
converge
absolutamente.
, para todo
Teste da razão: Se
então
suficientemente grande e
converge absolutamente. Se
grande, e
, então
, para
,
suficientemente
diverge.
Teste da raiz: Se
, para
suficientemente grande, então
, para
converge absolutamente, e se
suficientemente grande, então
diverge.
A divergência de uma série pode ser mostrada usando o teste do
termo: se
não tende para zero, então a série
-ésimo
diverge.
Muitas vezes é necessário ‘reduzir’ o problema de convergência de uma série
complexa ao de duas séries reais usando o seguinte teorema: a série
converge para
converge para
, se e somente
converge para
, e
.
Os termos de uma série complexa podem depender de uma variável complexa
. As séries mais comuns são as séries de potências, por exemplo,
Muitas destas séries de potências somente convergiram, se o valor da variável
z está restrita a uma certa região. A série anterior, por exemplo, converge
absolutamente pelo teste da razão se
, e pelo mesmo teste diverge se
, mas então o teste do -ésimo termo
. O teste da razão não é decisivo, se
mostra a divergência da série. A série de potências acima converge absolutamente
26
em todos os pontos dentro de um círculo de raio
convergência, onde
, chamado de círculo de
é o raio de convergência.
O conceito de raio de convergência pode ser aplicado a toda série de potência.
Com efeito, se uma série de potências é convergente em todos os pontos no interior
deste círculo. O problema é, então, achar a cota superior de
, que será o raio de
convergência procurado.
Inicio de Atividade
a. Mostre que a série
.
tem raio de convergência igual a
b. Mostre que a série
tem raio de convergência igual a
.
Fim de Atividade
Estudemos agora a sequencia de funções. A sequência
definidas em uma região
em
(
pertence a
de funções
), converge para uma função limite
, se
para cada
em
. Por exemplo, as somas parciais da série
formam uma sequência de funções (polinômios)
e esta seqüência converge para a função
Podemos ver isto, fazendo
27
na região aberta
.
e
, para
Assim, temos que a função
é a soma da série anterior (somente
):
para
(para
).
Existem mais aplicações, teorias e critério de convergência para as series de
funções. Vocês podem encontrar estas no livro de Butkov (BUTKOV, 1968). Para
finalizar esta seção, é importante conhecer o chamado teorema de Weierstrass:
se os termos da série
são analíticos no interior de uma curva simples
fechada e sobre ela, e a série converge uniformemente sobre
uma função analítica (dentro de
, e sobre
, estão sua soma é
) e a série pode ser diferenciada, ou
integrada um número arbitrário de vezes.
9 SÉRIES DE TAYLOR E DE LAURENT
Considere uma série de potências
, onde
é um número complexo
fixo:
Se esta série converge para algum valor
(para
, a série sempre
converge), então é absolutamente convergente em todos os pontos do interior do
círculo
com centro no ponto
convergente dentro de um círculo de raio
. Além disso, será uniformemente
, menor do que
de potências acima representa, dentro de um círculo
. Segue-se que, a série
(pelo menos), uma função
complexa
e segundo o teorema de Weierstrass, esta função é analítica dentro do círculo.
28
Assim podemos afirmar que, toda série de potências com um raio de
convergência não nulo representa uma função regular em certa vizinhança do ponto
.
A afirmação recíproca é também verdadeira: toda função
analítica em
pode ser desenvolvida numa serie de potências
válida em certa vizinhança do ponto
única, e os coeficientes
Esta série, conhecida como série de Taylor, é
podem ser obtidos pela fórmula
Inicio de Atividade
Usando a Referência (BUTKOV, 1968) mostre o teorema anterior.
Fim de Atividade
As séries de potências podem ser generalizadas para conter potências
negativas de
, ou seja,
Tais séries podem ser divididas em duas partes:
e a série original convergirá desde que ambas as partes convirjam. A série de
potências positivas convergirá dentro de um círculo de convergência
em
com centro
. A série das potências negativas convergirá para fora de certo raio
centro em
, e a série
. Podemos deduzir que
29
, com
convergira dentro do anel
Pode acontecer que
, e assim nossa série divergirá em toda parte.
Teorema: toda função
analítica em um anel
pode ser desenvolvida em uma série de potências negativas e positivas de
Esta série, conhecida como série de Laurent, é única para um anel dado, e os
coeficientes
onde
, podem ser obtidos de
é um círculo de raio
, tal que
Inicio de Atividade
Usando a Referência do Butkov (BUTKOV, 1968) mostre o teorema de
Laurent.
Fim de Atividade
A parte da série de Laurent, consistindo de potências positivas de
chamada de parte regular. Em muitas das aplicações
eo
-ésimo coeficiente da série não pode ser associado a
em
é
não é analítica em
,
-ésima derivada de
porque ela pode não existir. A parte da série de Laurent com potências
negativas é chamada de parte principal. Se esta parte principal é idêntica a zero,
então
é analítica em
, e a série de Laurent será idêntica à série de Taylor.
30
Exemplo 1. Uso de séries geométricas. A função
com
=constante
complexa não nula. Sabemos que
Portanto
.
Esta expressão é a série de Taylor em torno do ponto
convergência é
qual
, porque à distância
da origem existe o ponto
deixa de ser analítica, sendo este o único ponto onde
Portanto,
deveria possuir uma série de Laurent em torno de
ser válida para
Se
, então
. Seu raio de
não é analítica.
, que deveria
. Escreva
, e então podemos desenvolver
Portanto,
E esta é a série de Laurent desejada.
A função
qualquer ponto
pode ser desenvolvida por meio deste método em torno de
; com efeito, escreva
Então,
ou
31
, no
Inicio de Atividade
a. Desenvolva em série de Laurent a seguinte função:
usando (BUTKOV, 1968) com o método de decomposição racional.
b. Desenvolva em série de Laurent:
Usando (BUTKOV, 1968) com o método de diferenciação.
c. Desenvolva em série de Laurent:
usando (BUTKOV, 1968) com o método de integração.
Fim de Atividade
10
ZEROS E SINGULARIDADES
O ponto
Se
chama-se de zero (ou raiz) da função
for analítica em
deverá ter
. Se
, então sua série de Taylor
o ponto
ordem um. Também pode ser que
Seja
ordem
, se
é chamado de zero simples, ou zero de
ou outros coeficientes seguintes sejam nulos.
o primeiro coeficiente que não se anula, então dizemos que, o zero é de
A ordem de um zero pode ser avaliada, calculando-se
32
para
; o mais baixo valor de
, para o qual este limite não se anulara, é
igual à ordem do zero.
Se uma função
exceção do ponto
é analítica na vizinhança de um ponto
, com
, então dizemos que a função possui uma singularidade
isolada, ou um ponto singular isolado em
.
Podemos distinguir as singularidades pelos comportamentos da função no
limite de
de maneira arbitrária:
1.
permanece limitada, ou seja, |
2.
não é limitada e
) para
para um
fixo.
se aproxima do infinito, ou seja
(qualquer
(algum ).
3. Nenhum dos casos acima acontece, e
oscila.
Alguns exemplos demonstrativos dos casos anteriores são as funções:
Caso 1.
Caso 2.
Caso 1.
É importante notar que para função do Caso 1:
com esta
expressão não define o valor a função em z=0. Usando a seguinte expressão
redefine-se a função
em
, e em os outros pontos.
Vamos demonstrar como exercício a afirmativa sobre o Caso 1. Para isto,
notemos que
é analítica no anel
, situado na vizinhança de
. Pelo teorema de Cauchy, para um ponto
10), teremos
33
qualquer dentro do anel (Figura
Vamos mostrar que a segunda integral deve ser nula para todo
Fazendo
, e observando que
Então, para um
fixo
A integral deve ser independente de
devido à analiticidade do integrando.
Ela é menor que um número positivo arbitrário (para
deve ser igual a zero. Assim, mostramos que
Então: (i)
existe, (ii)
suficientemente pequeno), e
se aproxima ao limite
está definida por este limite, e a função
,
redefinida desta maneira é analítica em
Figura 10. Aplicação do teorema de Cauchy no anel
Do estudo anterior, temos que as singularidades isoladas do primeiro tipo são
chamadas de singularidades removíveis.
34
O segundo tipo de singularidade isolada, quando
se
, é
chamado de um pólo. Como a singularidade é isolada, deve existir uma serie de
Laurent
(para algum R). Se a parte principal é finita, a série
válida para
resulta em
então
se
tem um pólo de ordem
tem um pólo em
acima (para
e
. A recíproca também é válida, ou seja,
, deve possuir uma série de Laurent com a forma
).
, possui a seguinte série de
Vejamos um exemplo: a função
Laurent válida para
(com
arbitrario)
donde se conclui que possui um pólo simples na origem.
Podemos achar a ordem de um polo sem precisar conhecer a série de Laurent
da função. Isto pode-se fazer calculando
para
; o menor valor de
, para o qual este limite existe, fornecerá a
ordem do pólo. Observe que este limite não pode ser zero!
O terceiro tipo de singularidade é conhecido como singularidade essencial.
Aqui, a série de Laurent, válida para
(com
uma parte principal infinita. Por exemplo, a função
série de Laurent válida
para
(com
arbitrario), deve ter
, possui a seguinte
arbitrario):
Como a parte principal é infinita, a função possui uma singularidade essencial em
35
Além das singularidades isoladas, as funções complexas podem deixar de ser
analíticas por outras causas. Um dos motivos mais comuns é um ponto de
ramificação. Analisemos, por exemplo, a função
. Para todo ponto, exceto
a origem, é possível construir uma vizinhança e achar um ramo de
que será
analítico nessa vizinhança.
É evidente que não pode haver série de Taylor, ou de Laurent, válida na
região
(para certo
), em torno do ponto de ramificação
entanto, são válidas séries de Laurent para
o comportamento da função
No
Por exemplo, vejamos
. Ela pode ser desenvolvida na seguinte série de
Laurent
, e representa um ramo da função
Esta série é válida para
que é analítica nesta região. A linha de corte une dois pontos de corte
, e não se estende até o infinito. Substituindo
série de Laurent com centro no ponto de ramificação
por
e
, obtemos uma
. Esta última convergirá
para
Uma
função
analítica
pode
também
possuir
um
número
infinito
de
singularidades isoladas, convergindo para um certo ponto limite. Consideremos, por
exemplo, a função
O denominador possui pólos simples sempre que
Assim, nestes pontos a função
possui pólos simples e a sequência destes polos
converge para a origem.
Inicio de Atividade
a. Desenvolva em série de Laurent a função
usado no item anterior.
36
, para obter o resultado
Fim de Atividade
11 O TEOREMA DO RESIDUO E SUAS APLICAÇÕES
Seja
analítica em uma vizinhança de
analítica em
, exceto em
ou tem uma singularidade isolada). Seja
fechada no interior de esta vizinhança e em torno de
independe da escolha de
(ou é
uma curva simples
, então a integral
e, é chamada de resíduo da função no ponto
Logo, se f(z) é analítica em
(o ponto
é chamado de ponto regular), e o
resíduo é zero. Se z=a é uma singularidade isolada, então o resíduo pode ser ou não
zero.
Vejamos um par de exemplos:
1.
o resíduo em
é igual à unidade. Usando a definição anterior da
integral
Podemos calcular a integral fechada em torno da origem usando como curva
circunferência de raio fixo
, e mudando a variável
Pela fórmula para o coeficiente
–ésimo da série de Laurent (
vemos que o resíduo é igual ao coeficiente
que, é válido para
, a
(com algum
37
da série de Laurent
).
),
Inicio de Atividade
1. Mostre que, o resíduo para
em
2. Usando a fórmula para o coeficiente
resíduo igual ao coeficiente
, é igual a zero.
–ésimo da série de Laurent, mostre que o
da série de Laurent
Fim de Atividade
Os resíduos de uma função em suas singularidades isoladas se aplicam ao
cálculo de integrais, complexas ou reais, baseado no teorema dos resíduos: se
é analítica no interior de um contorno fechado
e sobre
número finito de singularidades isoladas em
, exceto em um
todas situadas no
interior de C, então
A demonstração deste teorema pode ser um bom entretenimento para alunos
ousados, usando a técnica de cortar canais entre o contorno
círculos
,
em torno de cada singularidade (Figura 11a).
Figura 11. Regiões usadas no teorema dos residuos.
Existem vários métodos para o cálculo de resíduos:
Método 1: Através da definição
38
, e os pequenos
com um contorno
, escolhido de forma conveniente. Este método é útil quando
conhecemos a função primitiva de
, e se esta tem um ponto de ramificação em
. Por exemplo, a função
qualquer ramo de
com primitiva
. Aqui,
pode ser escolhido, mas preservando a relação
o contorno fechado deve ser desconexo e devemos aplicar o processo do cálculo do
limite apropriado. Por exemplo, (Figura 11b):
Usamos aqui o ramo principal, que possui uma descontinuidade
sobre o
semieixo real negativo. Pela definição da função:
onde
corresponde ao ramo da discontinuidade da superficie de Riemann, resulta em
, e
. Pelo sentido da curva na
integral, temos que
Método 2: No caso de um pólo simples no ponto
, podemos usar a fórmula
O cálculo do limite pode-se obter por substituições, ou através do uso de
limites já conhecidos. Vejamos isto com um exemplo. Seja
. Então
, e
Porque conhecemos o valor do limite fundamental
e
usamos a propriedade distributiva do produto para os limites.
Método 3: Quando temos um pólo de ordem
39
, em
, vale a seguinte fórmula:
Usando a fórmula anterior para a função
de ordem
, onde temos um pólo
em zero, assim vemos que
Método 4: É utilizado quando temos um pólo simples, e quando
tem a forma
,
em que
e
tem um zero simples em
. Neste caso
.
Observemos que, se
é um zero simples de
, então
não se pode
anular. Vejamos isto com um exemplo. Seja a função
um zero em
, onde temos
Logo
Método 5: Aqui desenvolveremos a função
em série de Laurent e obtemos daí
o resíduo. Este procedimento é muito útil se podemos escrever a
como um
produto de funções com séries de Laurent já conhecidas. Assim, a série para
obtida por multiplicação e o coeficiente
pode ser achado por inspeção. Por
exemplo, usemos este método com a função
procuramos o resíduo em
é
, onde
. Como primeiro passo, faremos uma mudança de
variáveis para transferir o pólo para a origem, com as transformações
então
Agora vamos expandir em séries as funções
e
:
(
)
(
40
).
No terceiro passo, calculamos (por inspeção) o coeficiente de
produto das duas séries (lembremos que ainda temos o fator
, formando o
na expressão de
):
No quarto passo, calcula-se o resíduo
O teorema do resíduo pode ser aplicado ao cálculo de uma grande variedade
de integrais definidas, sejam integrais no campo real ou no campo complexo.
Vejamos alguns exemplos dos métodos mais usados.
Exemplo 1. Seja a integral
Esta integral pode-se transformar numa integral de linha no plano complexo,
usando a substituição
. Logo,
então, a integral é
onde
é o círculo unitário
e
o pólo
. Se |
no plano
, o pólo
O integrando possui dois pólos: em
está no interior do contorno, enquanto que
está fora. Assim que, precisamos somente do resíduo em
resulta
Portanto, a integral agora é
41
; que
Se
, o resíduo será em
, é será igual a
Portanto, a integral agora é
Ambos os resultados podem ser combinados assim
enquanto que, a integral não está definida para
Este
método
pode
ser
usado
em que
.
para
integrais
do
tipo
é uma função racional de
e
Exemplo 2. Consideremos a seguinte integral real
Assim, a integral
pode ser tratada como parte da integral complexa
calculada sobre o contorno
maneira (podemos fazer
, como se mostra na Figura 12. Dessa
sobre o eixo real):
Podemos calcular a integral sobre o semicírculo
é conveniente escrever
42
quando
é muito grande, assim,
se
é muito grande, então
é pequeno e
é quase
igual, ou muito próximo de um (Figura 13). Observemos, então, que
para
, e em consequência
Isto leva à
Usando a estimativa
Então
Vemos que, a integral
quando
é em
for maior do que
é independente do raio
), pois a única singularidade do integrando dentro de
, e assim pelo teorema do resíduo
(para todas as
, tais que
(pelo menos
). Logo, se fizermos
que se reduz a
43
, teremos
Figura 12. Contorno de integração para o Exemplo 2.
O processo anterior pode ser aplicado às integrais do tipo
em que
o grau de
e
são polinômios em
, e: (i)
, de pelo menos dois (de outra maneira
deve exceder o grau de
a integral sobre o semicírculo
não deve ter zeros reais, e (ii)
talvez não tenda para zero). Para tais integrais se
cumpre que
onde
é a soma dos resíduos do integrando no semiplano superior.
Exemplo 3. Considere a integral real
Observemos, em primeiro lugar, que
44
Fazendo a substituição de
por
não funcionará, pois
comportada no plano superior; não é limitada. No entanto a função
semiplano superior, pois
que
para todos os
, como
(para todo
não é bem
é limitada no
real), enquanto
não negativos. Assim, a integral complexa
é calculada sobre o contorno mostrado na Figura 12. Notemos que,
Também, a integral resulta usando o teorema dos resíduos
de maneira que, a integral
Como o lado direito é real, segue-se que
Exemplo 4. Considere a integral real
Ao igual que antes, podemos fazer
45
Como
não é bem comportada no semiplano superior, tentaremos
calcular a integral complexa sobre um caminho (eixo real) que é aberto (por
enquanto). Como
é contínuo em
, podemos deformar o contorno como
é mostrado na Figura 13, e dizer que
Figura 13. Contorno de integração para o Exemplo 4.
Usando agora
o problema agora é calcular
Para
, escolhemos o contorno como usualmente Figura 14(a). É possível mostrar
(fica como atividade) que a integral sobre
Para
se aproxima a zero, ou seja
, fecharemos o contorno pelo semiplano inferior como mostra a figura 5.14
(b). Ora,
é limitado no semiplano inferior e a integral sobre
tende para
zero. Por outro lado, observemos que (a) existe uma contribuição dada pelo pólo na
46
origem e (b) a integração no sentido horário introduz uma mudança de sinal. Assim,
obtemos
Combinando ambos os resultados
Figura 14. Contorno de integração para o Exemplo 4.
RESUMINDO
Apresentamos nesta Unidade aos números complexos. Defimos eles, e
aprendimos as suas propriedades fundamentais. Como os números complexos
podem ser considerados como variáveis, então, conseguimos formar as funções
complexas. Estudamos as condições de continuidade e, as noções de analiticidade
destas funções. Pudimos definir as propriedades de derivação e integrabilidade
destas funções de variável complexa. Analisamos suas aplicações para resolver
algums
problemas
físicos
associados
as
soluções
de
equações
diferenciais.
Finalmente, pudimos calcular integrais reias e complexas usando as funções
complexas.
Referências
CERRI C. e MONTEIRO M. S., CAEM - Centro de Aperfeiçoamento de Ensino de
Matemática (2001), http://www.ime.usp.br/~martha/caem/complexos.pdf
47
BUTKOV, E. Mathematical Physics, Addison Wesley Publishing Company Inc.,
United States of America, 1968.
48