Universidade do Estado de Santa Catarina – UDESC
Centro de Ciências Tecnológicas – CCT
Departamento de Engenharia Mecânica – DEM
Sistemas de Controle (CON)
Modelagem de Sistemas de Rotação
e Eletromecânicos
Aula 03 e 04
2014/2
Prof. Eduardo Henrique Couto
Plano de Aula
2






Sistemas mecânicos de rotação
Engrenagens ideais
Sistemas eletromecânicos
Sistemas de nível de líquido
Sistemas térmicos
Exemplos
Sistemas Mecânicos de Rotação
3

Lei fundamental da mecânica de rotação
torques = momento de inércia ∙ aceleração angular
Sistemas de Rotação Básicos
4

Sistema torque - momento de inércia
𝑑𝝎 𝒕
𝑑2 𝜽 𝒕
𝝉 𝒕 = 𝐽𝜶 𝒕 = 𝐽
=𝐽
𝑑𝑡
𝑑𝑡 2





𝜶(𝒕): vetor aceleração angular resultante em função do tempo
𝝎(𝒕): vetor velocidade angular resultante em função do tempo
𝜽(𝒕): vetor deslocamento angular resultante em função do tempo
𝝉(𝒕): vetor torque resultante em função do tempo
𝐽: momento de inércia total do eixo
Sistemas de Rotação Básicos
5

Sistema torque - mola
𝝉 𝒕 = 𝐾𝜽 𝒕 = 𝐾





𝝎 𝒕 𝑑𝑡 = 𝐾
𝜶 𝒕 𝑑𝑡
𝜶(𝒕): vetor aceleração angular resultante em função do tempo
𝝎(𝒕): vetor velocidade angular resultante em função do tempo
𝜽(𝒕): vetor deslocamento angular resultante em função do tempo
𝝉(𝒕): vetor torque resultante em função do tempo
𝐾: constante elástica de torção da mola
Sistemas de Rotação Básicos
6

Sistema torque - amortecedor
𝑑𝜽 𝒕
𝝉 𝒕 = 𝐵𝝎 𝒕 = 𝐵
=𝐵
𝑑𝑡





𝜶 𝒕 𝑑𝑡
𝜶(𝒕): vetor aceleração angular resultante em função do tempo
𝝎(𝒕): vetor velocidade angular resultante em função do tempo
𝜽(𝒕): vetor deslocamento angular resultante em função do tempo
𝝉(𝒕): vetor torque resultante em função do tempo
𝐵: constante de atrito viscoso do amortecedor
Rotação - Engrenagens Ideais
7



Supostas rígidas
Não possuem atrito
Não possuem momento de inércia
Rotação - Engrenagens Ideais
8

Rotação:

Conjugado:

Potência:






𝝎𝟏 (𝒕)
𝝎𝟐 (𝒕)
=
𝑟2
𝑟1
=
𝑁2
𝑁1
𝝉𝟐 (𝒕)
𝝉𝟏 (𝒕)
=
𝑟2
𝑟1
=
𝑁2
𝑁1
𝝉𝟏 (𝒕) 𝝎𝟏 𝒕 = 𝝉𝟐 (𝒕) 𝝎𝟐 𝒕
𝝎(𝒕): vetor velocidade angular em função do tempo
𝒗(𝒕): vetor velocidade no ponto de contato em função do tempo
𝝉(𝒕): vetor torque em função do tempo
𝒇(𝒕): vetor força no ponto de contato em função do tempo
𝑁: número de dentes da engrenagem
𝑟: raio da engrenagem
Sistemas Mecânicos de Rotação
9

Exemplo 1
𝐽𝑟𝑒𝑓 = 𝐽𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎

𝑁𝑟𝑒𝑓
𝑁𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎
2
Na figura, temos a representação de um sistema de rotação dotado de
um jogo de engrenagens supostas ideais. Os vetores de movimento e as
constantes envolvidas, bem como o torque (conjugado motor) 𝐶𝑚 , que
age sobre o primeiro rotor, estão devidamente indicados. Note que o
segundo eixo, ao contrário do primeiro que é rígido, apresenta uma
constante elástica de torção 𝐾. Desenvolva as equações que modelam
esse sistema.
Sistemas Eletromecânicos
10


Associação de dispositivos elétricos ou eletromagnéticos com
dispositivos mecânicos.
Variáveis de entrada e saída:
Grandeza Elétrica
Grandeza Mecânica

Exemplo clássico: alto-falante
Sistemas Eletromecânicos
11

Servomotor de corrente contínua controlado pelo circuito de
armadura







𝒊𝒂 (𝒕): vetor corrente de armadura
𝒆(𝒕): vetor força eletromotriz
𝝎(𝒕): vetor velocidade angular resultante
𝑪𝒎 (𝒕): vetor conjugado motor (torque)
𝐽: momento de inércia do motor
𝐾𝑚 : constante de ganho do motor
𝐵: constante de atrito viscoso do motor
Sistemas Eletromecânicos
12




Equação do circuito de armadura
𝑑𝒊𝒂 (𝒕)
𝒗𝒂 (𝒕) = 𝐿𝑎
+ 𝑅𝑎 𝒊𝒂 (𝒕) + 𝒆(𝒕)
𝑑𝑡
Equação da força eletromotriz induzida
𝒆 𝒕 = 𝐾𝑚 𝝎(𝒕)
Equação do conjugado eletromagnético
𝑪𝒎 (𝒕) = 𝐾𝑚 𝒊𝒂 (𝒕)
Equação do conjugado eletromecânico
𝑑𝝎(𝒕)
𝑪𝒎 (𝒕) = 𝐽
+ 𝐵𝝎(𝒕)
𝑑𝑡
Sistemas Eletromecânicos
13

Funcionamento em regime permanente
𝑑𝝎(𝒕)
=0
𝑑𝑡
𝑑𝒊𝒂 (𝒕)
=0
𝑑𝑡
𝒗𝒂 = 𝑅𝑎 𝒊𝒂 + 𝒆
𝒆 = 𝐾𝑚 𝝎
𝑪𝒎 = 𝐾𝑚 𝒊𝒂
𝑪𝒎 = 𝐵𝝎
Sistemas Eletromecânicos
14

Característica de conjugado em regime permanente
𝐾𝑚
𝑪𝒎 (𝝎) =
(𝒗𝒂 − 𝐾𝑚 𝝎)
𝑅𝑎
Sistemas Eletromecânicos
15

Característica de velocidade em regime permanente
𝝎(𝒗𝒂 ) =
𝐾𝑚
2
𝐾𝑚 + 𝐵𝑅𝑎
𝒗𝒂
Sistemas Eletromecânicos
16

Característica de potência em regime permanente
𝐾𝑚 𝒗𝒂 𝐾𝑚 2
𝑃 𝝎 =
−
𝝎 𝝎
𝑅𝑎
𝑅𝑎
𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡 = 𝐵𝝎2
𝝎𝑚á𝑥
𝒗𝒂
=
𝐾𝑚
𝑃𝑚á𝑥
𝒗𝒂 2
=
4𝑅𝑎
Sistemas Eletromecânicos
17

Exemplo 2

Um servomotor de imã permanente tem resistência de armadura de
𝑅𝑎 = 2,33 Ω, conjugado máximo (para 𝜔 = 0), 𝐶𝑚á𝑥 = 0,25 𝑁𝑚 e
tensão nominal de 𝑣𝑎 = 14 𝑉 . Determine para essa tensão: a) a
velocidade máxima (𝜔𝑚á𝑥 ); b) a característica de conjugado; c) a
potência máxima; d) o ponto de operação (𝜔, 𝑃) para um conjugado
de carga constante 𝐶0 = 0,001 𝑁𝑚.
Sistemas de Nível de Líquidos
18

Equação de variação de volume
vazões = 𝜟volume
Elementos Básicos de Nível
19

Resistência (de válvulas)

Fluxo Laminar

Fluxo Turbulento
𝒉(𝒕)
𝒒 𝒕 ∝ 𝒉 𝒕 → 𝒒 𝒕 = 𝐾𝒉(𝒕) → 𝑅 =
𝒒(𝒕)
𝒒 𝒕 ∝



𝑑𝒉(𝒕)
𝑅=
𝑑𝒒(𝒕)
2𝒉(𝒕)
𝒉 𝒕 → 𝒒 𝒕 = 𝐾 𝒉 𝒕 → 𝑅(𝑡) =
𝒒(𝒕)
𝒉(𝒕): nível de fluido em função do tempo
𝒒(𝒕): vazão de fluido em função do tempo
𝑅: resistência à passagem de fluido
Elementos Básicos de Nível
20

Capacitância (de reservatórios)
𝑑𝒗(𝒕)
𝐶=
𝑑𝒉(𝒕)

Reservatórios com seção transversal constante
𝑑𝒗(𝒕) 𝐴𝑑𝒉(𝒕)
𝐶=
=
=𝐴
𝑑𝒉(𝒕)
𝑑𝒉(𝒕)




𝒗(𝒕): volume de fluido em função do tempo
𝒉(𝒕): nível de fluido em função do tempo
𝐴: área da seção transversal do reservatório
𝐶: capacitância do reservatório
Sistemas de Nível de Líquidos
21

Exemplo 1

Considere o sistema de nível composto por dois tanques, como ilustrado.
Adotando os referenciais nulos no ponto de equilíbrio da planta,
desenvolva as equações que relacionam a vazão de entrada do
primeiro tanque 𝑞𝑖𝑛 (𝑡) com o nível ℎ2 (𝑡) do segundo tanque.
Sistemas Térmicos
22

Transferência de calor por condução ou convecção
fluxo de calor ∝ 𝜟temperatura
fluxo de calor = 𝐾𝜟temperatura
= 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 ∙ 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑜 ∙ taxa variação temperatura
[kcal/s]
Sistemas Térmicos
23

Transferência de calor por condução ou convecção

Coeficiente 𝐾 para condução [kcal/soC]
𝐴
𝐾=𝑘
𝑋

Coeficiente 𝐾 para convecção [kcal/soC]
𝐾 = 𝐻𝐴




𝑘: condutividade térmica [kcal/msoC]
𝐴: área normal ao fluxo de calor [m2]
𝑋: espessura do condutor [m]
𝐻: coeficiente de convecção [kcal/m2soC]
Elementos Térmicos Básicos
24

Resistência térmica
𝑑𝜟𝜽(𝒕) 1 𝜟𝜽(𝒕)
𝑅=
= =
𝑑𝒒(𝒕)
𝐾
𝒒(𝒕)




𝜟𝜽(𝒕): diferença de temperatura em função do tempo [oC]
𝒒(𝒕): fluxo de calor em função do tempo [kcal/s]
𝐾: coeficiente de condução ou convecção [kcal/soC]
𝑅: resistência térmica [oC/kcal]
Elementos Térmicos Básicos
25

Capacitância térmica
𝐶 = 𝑀𝑐



𝑀: massa do meio térmico considerado [kg]
𝑐: calor específico do meio térmico [kcal/kgoC]
𝐶: capacitância térmica [kcal/oC]
Sistemas Térmicos
26

Exercício 2

Considere um sistema formado por um termômetro de mercúrio de
parede muito fina de vidro. Supondo que ele esteja a uma temperatura
constante 𝜃 e seja mergulhado em um banho com temperatura 𝜃𝑏
obtenha o modelo matemático desse sistema. Estabeleça nesse sentido
condições iniciais nulas, ou seja, considere a temperatura inicial do
termômetro zero (ou de outro modo, considere 𝜃 a variação de
temperatura com relação ao equilíbrio).