Distribuições
Bidimensionais
MACS
Distribuições Bidimensionais
(Ano 1)
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1
Regressão e Correlação
A análise de correlação é o instrumento estatístico
que permite estudar relações quantitativas.
– A correlação exprime a forma /a força de ligação das
variáveis.
– Num extremo podemos ter relações funcionais perfeitas
e no outro extremo ter a ausência de correlação.
Ao fazer uma análise de regressão, estudam-se as
relações existentes entre fenómenos, quando são
feitas observações de duas ou mais variáveis,
através das suas distribuições.
Quando se observam somente duas variáveis, a
distribuição diz-se bidimensional.
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Exemplos
• Relação entre preço e produção de batatas:
em média, quanto maior a produção, menor
o preço e vice-versa.
• Relação entre idade do marido e da esposa:
em média, quanto maior a idade da esposa,
maior a idade do marido.
• Relação entre número de horas de estudo e
notas dos alunos de uma turma na disciplina,
de matemática: em média, quanto maior o
número de horas de estudo, maior o valor
da nota obtida.
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3
Correlação
A correlação pode ser:
• Correlação Simples  entre duas variáveis
• Correlação Múltipla  entre mais do que duas variáveis
• Correlação Positiva  as duas variáveis variam no mesmo
sentido
• Correlação Negativa  a relação entre as duas variáveis é
inversa
• Correlação Linear  os pontos ajustam-se a uma linha recta
• Correlação não linear  os pontos ajustam-se a uma linha
com outra forma (por exemplo, regressão quadrática, os
pontos ajustam-se a uma parábola)
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4
Exemplo
Considere-se o conjunto de observações de
duas variáveis X e Y:
 xi , yi  ; i  1,2,
,n
Considere a relação entre salário e tempo de
serviço, de dez operários:
N.º de anos
Salário
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6
5
6
4
6
6
5
6
7
5
700 750 750 850 850 880 800 790 750 760
5
Diagrama de dispersão
Construamos o diagrama de dispersão - representação gráfica
de duas variáveis, em que cada par de dados (xi, yi), é
representado por um ponto de coordenados (xi , yi), num sistema
de eixos coordenados.
Utilizando o exemplo anterior, temos:
900
Podemos usar a folha
de cálculo Excel ou a
máquina de calcular
gráfica, para fazer
estas
representações.
850
800
750
700
650
3,5
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4
4,5
5
5,5
6
6,5
7
7,5
6
Diagrama de dispersão (cont.)
Pela análise do diagrama de dispersão, pode-se concluir,
empiricamente, se o grau de correlação linear entre as variáveis
é forte ou fraco, conforme o modo como se situam os pontos em
redor de uma recta. Esta recta, empiricamente, constrói-se de
modo que os pontos de ajustem o melhor possível a ela.
A correlação é tanto maior quanto mais os pontos se
concentrem, com pequenos desvios, em relação a essa recta.
900
900
850
850
800
800
750
750
700
700
650
650
3,5
3,5
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44
4,5
4,5
55
5,5
5,5
6
6
6,5
6,5
77
7,5
7,5
7
Exemplos
Correlação positiva forte Correlação negativa forte Não existe correlação
Correlação positiva fraca
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Correlação negativa fraca
8
Exercício
Preço em milhares de euros
Estude a relação entre os
quilómetros que um carro
apresenta e a sua valorização
ao longo dos anos de uso.
Considere a seguinte tabela:
Quilómetros
Carros
(milhares)
35
30
25
20
15
10
5
0
0
50
100
150
Milhares de Km
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200
250
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
20
30
200
45
50
150
100
130
40
80
180
90
Preço
(milhares
de euros)
30
28
1
19
15
8
10
9
20
14
7
13
9
Coeficiente de correlação
(linear)
O coeficiente de correlação permite-nos
quantificar a existência ou não de correlação
linear.
Para se quantificar esta correlação, Pearson,
propôs o seguinte cálculo:
n
r
 ( x  x )( y  y )
i 1
i
i
n
 ( xi  x )
i 1
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n
2
2
(
y

y
)
 i
i 1
Podemos utilizar a máquina de
calcular gráfica ou a folha de
cálculo Excel para calcular este
coeficiente.
Prova-se que:  1  r  1
10
Coeficiente de correlação
Pode-se utilizar a seguinte escala, para avaliar a intensidade da
correlação:
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Recta de regressão
Existindo correlação linear, os pontos
podem ser ajustados através de uma
recta, obtendo-se uma expressão do tipo
y = a x + b.
Iremos determinar esta recta recorrendo
à máquina de calcular gráfica e à folha de
cálculo Excel.
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Folha de cálculo Excel
No documento “Texto
de apoio n.º 2 – Regressão e correlação com o Excel
“ (no mesmo local deste documento), indica-se como construir
um gráfico de dispersão e calcular a recta de regressão,
bem como o coeficiente de Pearson em dados bivariado,
utilizando a folha de cálculo Excel.
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13
Exercícios
1. Um professor decidiu averiguar, junto dos seus alunos, qual a
relação entre o número de faltas às aulas da sua disciplina e o
número de horas semanais de estudo. Elaborou o seguinte quadro:
Alunos
Número de faltas
Nº de horas semanais de
estudo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10
0
2
3
6
12
8
1
1
7
5
10
4
10
9
10
3
1
7
6
5
2
6
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1.1 Represente, num sistema de eixos, o conjunto de pontos (x,y),
correspondente a: (número de faltas, nº de horas semanais de
estudo)
1.2 Indique os tipos de correlação e interprete os dados (resultados).
1.3 Determine a recta de regressão e indique o coeficiente de
correlação
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14
Exercícios
2. Os coeficientes de correlação correspondentes a cada uma das
distribuições representadas são: -0,01; -0,86 e 0,89. Observe-as
cuidadosamente e faça corresponder a cada uma delas o seu
coeficiente de correlação:
A
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B
C
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