INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
UMA DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE:
Considere que:
1. Cada resultado possível de um fenômeno aleatório é um
evento.
2. Os eventos têm diferentes atributos, ou seja, têm aspectos
diferentes que os distinguem entre si.
Definição 1: Se são possíveis n eventos mutuamente exclusivos e
igualmente prováveis, se nA desses eventos tem o atributo A,
então a probabilidade de A é dada pela razão nA / n.
UMA DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE:
Exemplo 1:
Qual é a probabilidade de ocorrer face 6, quando se joga um
dado equilibrado?
Solução:
Quando se joga um dado equilibrado, ocorre um de 6 eventos
mutuamente exclusivos e igualmente prováveis; logo, a
probabilidade de ocorrer face 6 é 1/6.
UMA DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE:
IMPORTANTE:
É importante entender que a definição clássica de probabilidade
não faz sentido a menos que possamos imaginar muitas repetições
independentes do fenômeno. Quando dizemos que a probabilidade
de sair cara num jogo de moeda é 1/2, estamos aplicando, a um
único lançamento de uma única moeda, a medida de chance que
teria sido obtida se tivéssemos feito uma longa série de jogadas.
UMA DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE:
Exemplo 2:
Qual é a probabilidade de ocorrer face 6 quando se joga um dado que
não é equilibrado (os seis eventos possíveis não são igualmente
prováveis)?
Solução:
Se o dado não é equilibrado, para obter a probabilidade de ocorrer
face 6 devemos lançar o dado um número suficientemente grande de
vezes e dividir o número de vezes que saiu 6 pelo número de
lançamentos feitos.
DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
Definição 3:
Ω = Espaço amostral: É o conjunto de todos os resultados
possíveis de um fenômeno aleatório.
Um evento é qualquer subconjunto do espaço amostral.
Exemplo 1: Fenômeno Aleatório: Lançamento de uma moeda.
Ω = {cara, coroa}
Evento: Face observada é cara.
DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
Exemplo 2: Fenômeno Aleatório: Lançamento de um dado.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evento 1: Face observada é SEIS.
Evento 2: Face observada é ÍMPAR.
Evento 3: Face observada é maior ou igual a 4.
Evento 4: Face observada é PAR.
DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
Exemplo 3: Fenômeno Aleatório: Um jogador de basketball faz
três lances livre. Quais são as possíveis sequências de acertos
(A) e erros(E)?
Ω =???
Ω = {AAA, AAE, AEA,
AEE, EAA, EAE,
EEA, EEE}
Note: 8 elementos, 23
DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
Ω = {AAA, AAE, AEA,
AEE, EAA, EAE,
EEA, EEE}
Note: 8 elementos, 23
Evento F: O jogador acerta os três lances;
P(F) = 1/8
Evento G: O jogador erra dois lances;
P(G) = 3/8
Evento H: O jogador acerta o segundo lance;
P(H) = 4/8
DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
Exemplo 3: Fenômeno Aleatório: Um jogador de basketball faz
três lances livre. Qual o número de cestas feitas?
Ω =???
Ω = {0, 1, 2, 3}
P(0) = ??
P(1) = ??
P(2) = ??
P(3) = ??
DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
Exemplo 4: Fenômeno Aleatório: Uma nutricionista pesquisa
sobre uma nova dieta para alimentar ratos machos brancos. Quais
são os possíveis resultados de ganho de peso (em gramas)?
Ω = ???
Ω = [0, ∞] = (todos os números ≥ 0)
DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
Finitos
Dado: Ω = {1,2,3,4,5,6}
ESPAÇOS
AMOSTRAIS:
Infinitos
Peso: Ω = [0, ∞] =
(todos os números ≥ 0)
DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
Questão:
Como calcular probabilidades quando o espaço amostral é
infinito (contínuo)?
Exemplo: Densidade uniforme.
A
probabilidade
de
distribuirmos
uniformemente a variável Y dentro de 0.3 e
0.7 é a área sob a curva de densidade
correspondente a esse intervalo. Então:
P(0.3 ≤ Y ≤ 0.7) = (0.7 − 0.3)*1 = 0.4
Existem muitos outros tipos de curvas de densidades.
DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
Definição 4:
Dois eventos são disjuntos (ou
mutuamente exclusivos) se eles não
tiverem
nenhum
resultado
em
comum, portanto nunca ocorrem
juntos.
A  B =   P(A  B) = 0
DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
Definição 5:
Dois eventos são independentes se a probabilidade de um evento
ocorrer em qualquer realização do experimento não muda a
probabilidade de um outro evento ocorrer.
Exemplo: No lançamento de uma moeda, o resultado do primeiro
lançamento (cara, por exemplo) NÃO ALTERA a probabilidade de
dar cara ou coroa no segundo lançamento.
DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
Propriedade 1:
A Probabilidade P(A) de qualquer evento A satisfaz 0 ≤ P(A) ≤ 1
Propriedade 2:
A probabilidade do espaço amostral completo é igual a 1.
P(Ω) = 1
Exemplo: P(cara) + P(coroa) = 0.5 + 0.5 = 1
Propriedade 3:
A Probabilidade de um evento não ocorrer é igual a 1 menos a
probabilidade do evento ocorrer.
P(Ac) = 1 – P(A)
Exemplo: P(coroa) = 1 – P(cara) = 0.5
DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
Propriedade 4:
Regra da adição geral para quaisquer dois eventos A e B: A probabilidade
de que A ocorra, ou B ocorra, ou ambos eventos ocorram é:
P(A ou B) = P ( A  B) = P(A) + P(B) – P(A e B)
DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
Propriedade 4:
Exemplo: Qual é a probabilidade de selecionar aleatoriamente uma carta de
um baralho de 52 cartas e ela ser um rei ou copas?
Então:
P(rei ou copas)= P(rei) + P(copas) – P(rei e copas)
= 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 ≈ 0.3
3
1
12
DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
Propriedade 5:
A probabilidade condicional reflete como a probabilidade de um
evento pode mudar se soubermos que algum outro evento tenha
ocorrido.
Exemplo: A probabilidade de que um dia nublado resulte em chuva é
diferente se você vive no Nordeste ou se você vive no Sul do Brasil.
DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
Propriedade 5:
A probabilidade condicional do evento B dado o evento A é: (desde que
P(A) > 0)
Ex: A = Retirado um Rei
B = Carta Retirada é de Copas
DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
Se A e B são independentes:
Desta forma, se A e B são independentes:
DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
IMPORTANTE:
A e B disjuntos ou mutuamente exclusivos:
A e B são independentes:
DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
CASO GERAL: REGRA DA MULTIPLICAÇÃO.
A probabilidade de que quaisquer dois eventos, A e B,
ocorram conjuntamente pode ser dada por:
P(A e B) = P(A  B) = P(A) P(B|A)
Caso particular: A e B são independentes.
DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
REGRA DA MULTIPLICAÇÃO: DIAGRAMA DE ÁRVORES
O diagrama de árvores representa graficamente todos os possíveis
resultados e apresenta as probabilidades condicionais de
subconjuntos de eventos.
Diagrama de árvores para
hábitos de conversar em
sites de bate-papo, para
três grupos de idade
adulta.
Uso de
Internet
0.47
DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES:
Uso de
Internet
0.47
Qual a probabilidade
de encontrarmos um
indivíduo que utiliza o
bate-papo na internet?
P(Utilizar e ter idade A1) + P(Utilizar e ter idade A2) + P(Utilizar e ter idade A3) =
P(C  A1) + P(C  A2) + P(C  A3) = P(A1) P(C/A1) + P(A2) P(C/A2) + P(A3) P(C/A3) =
= 0.29 * 0.47 + 0.47 * 0.21 + 0.24 * 0.07 = 0.136 + 0.099 + 0.017 = 0.252