Análise Fatorial Factor analysis 1 Análise Fatorial Objetivo: Estudar a estrutura de dependência existente em um conjunto de variáveis através da criação de fatores que, eventualmente, expressam constructos subjacentes aos dados. Spearman (1904) - medida de inteligência 2 Análise Fatorial Situação comum: observar grande número de variáveis • Como caracterizar a amostra • Como descrever a inter-relação entre as variáveis 3 Constructos Definir o que e como medir • • • • nível de ansiedade satisfação bem-estar percepção 4 Exemplo: Escala IDATE-T X1 X9 X10 X11 X13 X16 X17 X18 Sinto-me bem Preocupo-me demais com as coisas sem importância Sou feliz Deixo-me afetar muito pelas coisas Sinto-me seguro Estou satisfeito Às vezes idéias sem importância me entram na cabeça e ficam me preocupando Levo os desapontamentos tão a sério que não consigo tirá-los da cabeça 5 Matriz de Correlação X1 X10 X13 X16 X9 X11 X17 X18 X1 1.00 0.58 0.39 0.51 -0.14 -0.20 -0.18 -0.32 X10 X13 X16 X9 X11 X17 X18 1.00 0.47 0.66 -0.16 -0.24 -0.20 -0.33 1.00 0.54 -0.31 -0.38 -0.33 -0.37 1.00 -0.22 -0.32 -0.25 -0.40 1.00 0.46 0.53 0.40 1.00 0.46 0.48 1.00 0.48 1.00 6 Modelo de Análise Fatorial Variáveis originais AF Fatores comuns X1 1 X2 2 Xp m m<p 7 Modelo de Análise Fatorial X1 1 11 1 12 2 ... 1m m 1 X 2 2 21 1 22 2 ... 2m m 2 ... X p p p1 1 p2 2 ... pm m p 1, …, m: fatores comuns 1, …, p: fatores únicos ou específicos 8 Modelo de Análise Fatorial Modelo na forma matricial: X - = + X = (X1, X2, …, Xp)T, = (1, 2, …, m)T, = ( 1, 2, …, p)T 11 21 p1 12 1m 22 2m p2 pm 9 Modelo esquematizado 1 2 X1 X2 1 2 m p Xp 10 Características impostas ao modelo • Os fatores únicos são não correlacionados. • Os fatores comuns e únicos são não correlacionados entre si. • Os fatores comuns são não correlacionados (esta suposição pode ser abandonada em alguns tipos de AF). • As variâncias dos fatores comuns são iguais a 1. 11 Análise do modelo Xi i1 1 i2 2 ... im m i Var Xi Var i1 1 i2 2 ... im m i Var Xi ... Var( i ) 2 i 2 i1 2 i2 2 im i2 c i2 i Ci2 = comunalidade ou variância comum i = especificidade 12 Análise do modelo c i 2 i 2 i Ci2 = comunalidade ou variância comum: expressa o quanto da variabiliade de Xi é explicada pelo modelo (se Var (Xi)=1 pode ser encarada como uma proporção) i = especificidade: expressa o quanto da variabilidade de Xi não é explicada pelo modelo. Um bom modelo deve apresentar uma comunalidade alta para todas as variáveis 13 Alguns métodos de estimação • Máxima verossimilhança: supõe que os dados seguem uma distribuição normal multivariada. • Método da componente principal: baseia-se na análise de componentes principais. 14 Método da componente principal Modelo: X = + Var(X) Σ Ψ T Decomposição espectral de : Σ ... mm ... pp ~ T 1 1 1 ~ ~ ~ ~ ~~ T m T p ~ ~ T 15 Método da componente principal Σ ... pp T Σ Ψ T 11 , T p 2 2 , , m m i i1, i2 , ..., ip T m ψi σ j 2 i j 1 2 ji 16 Método da máxima verossimilhança Suposição: distribuição normal Estimação dos parâmetros = T + Restrição: T -1 : diagonal 17 Resultado importante = T + = T T + = ( T)( T)T + = T TT T + = T + = 18 Rotação VARIMAX Var(X) Σ Ψ T Há infinitas matrizes que resultam na mesma matriz T. Essas matrizes podem ser obtidas através da rotação de uma solução inicial (por exemplo, oriunda do método das componentes principais). Problema: solução? Como escolher uma boa 19 Rotação - Interpretação geométrica 2 Exemplo: Solução com dois fatores 1 e 2 definem um plano 1 1* e 2* , obtidos através de uma rotação ortogonal dos eixos, definem o mesmo plano. Logo representam uma solução equivalente. 20 Quantos fatores usar? • Critério de Kaiser • Porcentagem da variância total explicada • Atingir comunalidade fixada • Critério scree-test • Métodos inferenciais 21 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0 2 4 6 Componentes 8 10 22 Exemplo X1 X9 X10 X11 X13 X16 X17 X18 Sinto-me bem Preocupo-me demais com as coisas sem importância Sou feliz Deixo-me afetar muito pelas coisas Sinto-me seguro Estou satisfeito As vezes idéias sem importância me entram na cabeça e ficam me preocupando Levo os desapontamentos tão a sério que não consigo tirá-los da cabeça 23 Autovalores Componente Autovalores 1 2 3 4 5 6 7 8 3.525 1.504 0.665 0.614 0.512 0.444 0.425 0.311 % da Variância 44.06 18.80 8.31 7.68 6.40 5.55 5.31 3.89 % Acumulada 44.06 62.86 71.17 78.85 85.25 90.80 96.11 100.00 24 Comunalidades 2 fatores X1 X9 X10 X11 X13 X16 X17 X18 Comunalidades 0.657 0.644 0.758 0.536 0.497 0.719 0.670 0.548 25 Cargas Fatoriais X1 X9 X10 X11 X13 X16 X17 X18 1 0.678 -0.549 0.719 -0.633 0.679 0.751 -0.593 -0.686 2 0.445 0.585 0.492 0.367 0.192 0.392 0.564 0.279 26 Gráfico das Cargas Fatoriais 1 2 0,8 0,6 0,4 0,2 1 0 -1 -0,5 -0,2 0 0,5 1 -0,4 -0,6 -0,8 -1 27 Rotação 1 2 0,8 0,6 0,4 0,2 1 0 -1 -0,5 -0,2 0 0,5 1 -0,4 -0,6 -0,8 -1 28 Cargas Fatoriais Rotacionadas X1 X9 X10 X11 X13 X16 X17 X18 1* 0.804 -0.038 0.866 -0.244 0.641 0.826 -0.086 -0.341 2* -0.101 0.802 -0.092 0.690 -0.294 -0.189 0.814 0.657 29 Cargas Fatoriais Rotacionadas X1 X9 X10 X11 X13 X16 X17 X18 1* 2* 0.804 -0.038 0.866 -0.244 0.641 0.826 -0.086 -0.341 -0.101 0.802 -0.092 0.690 -0.294 -0.189 0.814 0.657 X1 X9 X10 X11 X13 X16 X17 X18 Sinto-me bem Preocupo-me demais com as coisas sem importância Sou feliz Deixo-me afetar muito pelas coisas Sinto-me seguro Estou satisfeito As vezes idéias sem importância me entram na cabeça e ficam me preocupando Levo os desapontamentos tão a sério que não consigo tirá-los da cabeça 30 Interpretação • Fator 1: Satisfação pessoal • Fator 2: Dificuldade em lidar com problemas 31 Escores Fatoriais • Métodos dos mínimos quadrados ponderados xi - = i + i Minimizar: (xi - - i)T -1 (xi - - i) EMQ(fi) = (T -1 )-1 T -1 (xi - ) 32 Escores Fatoriais • Métodos da regressão e : distribuição normal x N p m 0, T Im ER(i) = T (T + )-1 (xi - ) 33 Viabilidade da AF matriz anti-imagem X1 X9 X10 X11 X13 X16 X17 X18 X1 X9 -0.03 -0.34 0.00 -0.08 -0.15 0.00 0.11 -0.02 -0.22 0.09 0.00 -0.34 -0.11 X10 X11 X13 X16 X17 X18 -0.02 -0.14 0.14 -0.43 0.07 -0.26 0.00 -0.17 0.08 -0.02 -0.03 -0.24 0.03 0.12 -0.24 Coeficiente de correlação parcial entre os pares, excluindose o efeito das demais variáveis. Esperam-se valores baixos. 34 Viabilidade da AF Coeficiente KMO: Kaiser-Meyer-Olkin p KMO p r i 1 j 1 p p r i 1 j 1 2 ij 2 ij p p aij2 i 1 j 1 a2ij é a correlação parcial entre Xi e Xj, eliminado o efeito das demais variáveis 35 Interpretação da KMO Escala IDATE: 0,841 KMO Interpretação 0.90 - 1.00 Excelente 0.80 - 0.90 Ótimo 0.70 - 0.80 Bom 0.60 - 0.70 Regular 0.50 - 0.60 Ruim 0.00 - 0.50 Inadequado 0.80 - 1.00 Excelente 0.70 - 0.80 0.60 - 0.70 Ótimo Bom 0.50 - 0.60 0.00 - 0.50 Regular Insuficiente 36 Viabilidade da AF MSA: Measure of sampling adequacy p MSAi r j 1 p 2 ij p r a j 1 2 ij j 1 2 ij a2ij é a correlação parcial entre Xi e Xj, eliminado o efeito das demais variáveis 37 Interpretação da MSA Para o exemplo IDATE Variável X1 MSA 0.853 X9 0.818 X10 X11 X13 X16 X17 X18 Média 0.789 0.865 0.899 0.820 0.820 0.878 0.843 38 Avaliação do ajuste do modelo ˆ Res ˆ ˆT ˆ ˆ resumo: raiz do quadrado médio residual p RQMR p ( i 1 j 1 ij ˆ ij ) 2 p ( p 1) / 2 39 Exemplo IDATE RQMR = 0.106 X1 X1 X9 X10 X11 X13 X16 X17 X18 -0.05 -0.11 0.01 -0.14 -0.15 -0.04 0.00 X9 X10 X11 X13 -0.05 -0.14 0.01 0.02 -0.10 0.03 -0.01 -0.07 0.00 -0.06 -0.12 -0.04 -0.16 0.04 -0.14 0.04 -0.08 0.10 X16 X17 X18 0.01 0.03 -0.09 40 1 X1 1 X1 10 X10 10 X10 13 X13 13 X13 16 X16 16 X16 9 X9 9 X9 11 X11 11 X11 17 X17 17 X17 18 X18 18 X18 1 2 1 2 41 Comentários Sucesso • Número pequeno de fatores • fatores interpretáveis Insucesso • Tamanho insuficiente da amostra • variáveis com fraca dependência • estrutura não homogênea (grupos) 42
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