O efeito
Aharonov-Bohm: Variações
sobre um tema sutil
Seminário fora de área
Germano Maioli Penello
Physics Today, vol. 62, issue 9, p. 38
1959
[1]
Efeito Aharonov-Bohm
Efeito AB elétrico
Proposta inicial de AB:
•Elétron em uma caixa de Faraday conectado a um gerador de potencial
elétrico variável no tempo.
Solução:
onde
A nova solução só se difere da antiga por um fator de fase.
1959
[1]
Efeito Aharonov-Bohm
Efeito AB magnético
“Por considerações relativísticas, pode-se observar facilmente que a
covariância da conclusão acima (slide anterior) demanda que deve
haver um resultado similar envolvendo o potencial vetor, A.”

dx  (cdt, dx)

Este mesmo resultado pode ser obtido por propagadores na dinâmica quântica.
Proposta de experiências[1]
Efeito AB elétrico
Efeito AB magnético
Efeito AB magnético
Physics Today, vol. 62, issue 9, p. 38
Solução clássica
Dentro do solenóide:

B  0 nIzˆ
  0 nIr
A
ˆ
2
Fora do solenóide:

B é nulo
  0 nIR2
A
ˆ
2r
Relembrando que

A
não é único.

  
A  A'  A  

 
  A    A'  B
http://web.ncf.ca/ch865/englishdescr/Solenoid.html
Solução clássica
Fora do solenóide:

B é nulo


 
F  qv  B  F é nulo
O elétron não sofre influência do campo interno ao solenóide.
Solução semiclássica[2]

- - - F eqve e Be e
Frente de onda do feixe de elétrons

B
Δθ
Por continuidade, a frente de onda tem
que ser contígua.

B
Embora a sol. Semiclássica
pareça explicar o efeito AB, o
efeito ocorrerá mesmo se a
trajetória do elétron não for
defletida!
1960
Primeira
observação[3]
Fluxo magnético
dependente de z
Φ(z)
6.7 cm
r
“whisker” de ferro
Z = 0.5mm
D = 1 µm
13.4 cm
The Aharonov-Bohm Effect (Lecture Notes in Physics)
z
1960
Primeira observação[3]
•“Whisker” previsto para alterar apenas as franjas de interferência (ângulo relativo
a uma largura de franja por µm);
•Padrão gerado por uma bobina de Helmholtz confirmou que efeitos de borda
alterariam a medida.
•Campo magnético das bordas não alterou o envelope de forma mensurável (efeito
observado com o campo das bobinas de Helmholtz);
1 µm
Contra-argumentos[4]
z
•Campo na direção radial desvia o feixe angularmente criando o desvio da franja!
Mesmo efeito observado em uma solução semiclássica.
•Com um porém, esta solução semiclássica não explicaria o aparecimento de franjas
na região uniforme do “whisker”.
The Aharonov-Bohm Effect (Lecture Notes in Physics)
1986
Efeito AB em um toróide[5]
•Utilização de um toróide minimiza os efeitos de borda;
•Minimização de campos de fugas com supercondutores;
•Metalização de cobre para evitar penetração do elétron.
The Aharonov-Bohm Effect (Lecture Notes in Physics)
1986
Efeito AB em um toróide[5]
Tc = 9.2K
(a) T = 4.5K – amplificação de fase x1
(b) T = 4.5K – amplificação de fase x2
(c) T = 15K – amplificação de fase x2
•Evidência direta da quantização do fluxo
http://www-hrem.msm.cam.ac.uk/research/Holography/Holo.html
Comprovação do efeito AB magnético!
1959
Efeito AB elétrico
Dois tipos:
Tipo I – Elétron não atravessa por região com campos (campo pulsado)
Tipo II – Elétron sofre interação com campos (campo estático – efeito de borda)
1985
Efeito AB elétrico - Tipo II[6]
Desvio de fase
similar à
análise
semiclássica
do efeito
magnético
Resultado:
Foi considerado, na época,
uma demonstração válida
do efeito AB tipo II
a = -24º b = 0o c = 24o
2002
Contra-argumentos[7]
•Os elétrons são acelerados ou desacelerados por forças Coulombianas. Essas
forças, sentidas ao entrar ou sair da região de potencial, imitam a mudança de
fase esperadas pelo efeito AB.
A experiência anterior não
demonstra o efeito AB elétrico!
Pergunta: Será que a passagem do elétron induz mudanças em um solenóide
criando uma força que imitaria o efeito AB?
2007
Teste macroscópio[8]
Modelo semiclássico de força imitando o efeito AB:
Se existir força, haverá uma alteração
no tempo de voo do elétron em
função do campo magnético.
Tempo de voo de um elétron ao
passar entre dois solenóides.
Desvio no tempo de voo em função da
corrente do solenóide (e- de 40 eV).
Curva em vermelho indica o resultado
esperado se houvesse força.
2007
Teste macroscópio[8]
Tempo de voo para e- de diferentes
energias em acordo com um modelo
balístico clássico.
a) Desvios na fase
b) Desvios no pacote de onda
Não há forças agindo no elétron que passa por um
solenóide macroscópico. Toda explicação de forças que
levam a um atraso do elétron podem ser descartadas!
Efeito AB
magnético
comprovado!
1985
Proposta de confirmação final[9]
• Se o efeito AB for, na verdade, um efeito
das forças de reação dos solenóides, uma
força muito intensa alteraria o pacote de
onda a ponto de não haver mais
superposição ao se recombinarem.
•Se o desvio da fase for realmente devido
ao efeito AB, o padrão de interferência
continuaria a ser visto mesmo além do do
comprimento do pacote de onda.
A observação de franjas além do comprimento de coerência
verificaria o caráter não dispersivo do efeito AB.
Dificuldades
Comprimento de onda de de Broglie do elétron:
Comprimento de coerência de um feixe:
h

2m E
c
2
Lc 

 
Ex.: Elétron com E=100 KeV gerado por uma fonte termiônica de tungstênio.
  12,4 pm
Lc  500nm
Lc  105 
1984
Duais[10]
Será possível espelhar o efeito AB em outros sistemas físicos?
a) Efeito AB
magnético
b) Efeito AB
elétrico
Dual
c) Efeito
Aharonov-Casher
d) Efeito AB
“neutron-scalar”
1989 - 2009
Efeito AC[11]
Dual do efeito AB magnético
•Esperado que o efeito AC altere a contagem de nêutrons em uma ordem de
1 para 1000 - contagem de 107 nêutrons para validar a teoria;
•Vários meses de experiência (2 anos);
•Resultado obtido para neutrons polarizados e não-polarizados.
1989
Efeito AC[11]
Dual do efeito AB magnético
Contagem de nêutrons no detector C2:
Constantes a2 e b2 são determinadas pelo aparato experimental
•Atenção às fases gravitacional, magnética e um offset experimental.
Fase AC medida:
•Acurácia limitada pela intensidade dos nêutrons, tempo de funcionamento e
estabilidade de longa duração;
1998
Efeito AB “neutron-scalar”[12]
Dual do efeito AB elétrico
•Utilização de nêutrons polarizados;
•Medidas da contagem de nêutrons em função do tempo ajudam a
eliminar as situações transientes do campo magnético.
1998
Efeito AB “neutron-scalar”[12]
Dual do efeito AB elétrico
Utilizando a velocidade do nêutron e o comprimento do solenóide, a
duração do campo magnético espacialmente uniforme é de 8 µs. O valor
retirado experimentalmente foi de 7,2 µs.
Por não haver forças nem torques clássicos, o padrão de interferência
comprova o efeito SAB.
Discussões sobre os duais
Diferentes tentativas de provar o efeito AB
dual está sob discussão se são realmente
válidos;
 Ainda não há um tratamento teórico e
experimental unificado sobre assunto;
 resultado final ainda a espera de uma
fonte de nêutrons mais refinada.

Conclusões



Apesar de ser apresentado em livros como um
assunto fechado, apenas o efeito AB magnético
apresentou uma experiência onde o efeito parece
ser indiscutível;
O efeito AB elétrico e os efeitos duais ainda estão
sobre intenso estudo na tentativa de serem
validados;
A proposta de confirmação final aparentemente
ainda espera por um experimento que verifique o
efeito além do comprimento de coerência.
Referências
[1] “Significance of Eletromagnetic Potentials in the Quantum Theory”, Phys. Rev. 115, 48591
[2] Electron holography — basics and applications, Rep.Prog.Phys. 71 (2008)
[3] Shift of an Electron Interference Pattern by Enclosed Magnetic Flux, Phys. Rev. Lett. 5,
3–5
[4] The Aharonov-Bohm Effect (Lecture Notes in Physics), M Peshkin, A Tonomura - 1989 New York: Springer
[5] Evidence for Aharonov-Bohm effect with magnetic field completely shielded from electron
wave, Phys. Rev. Lett. 56, 792
[6] New diffraction experiment on the electrostatic Aharonov-Bohm effect, Phys. Rev. Lett.
54, 2469
[7] Semiclassical Explanation of the Matteucci–Pozziand Aharonov-Bohm Phase Shifts,
Found. Phys 32, 41
[8] Macroscopic Test of the Aharonov-Bohm Effect, Phys. Rev. Lett. 99, 210401
[9] Generalized Aharonov-Bohm experiments with neutrons, A Zeilinger - Fundamental
aspects of quantum theory, 1986
[10] Topological quantum effects for neutral particles, Phys. Rev. Lett. 53, 319
[11] Observation of the topological Aharonov-Casher phase shift by neutron interferometry,
Phys. Rev. Lett. 63, 380
[12] Observation of Scalar Aharonov-Bohm Effect with Longitudinally Polarized Neutrons,
Phys. Rev. Lett. 80, 3165
[13] Nondispersive phase of the Aharonov-Bohm effect, Phys. Rev. Lett. 71, 307
Referências
•Esta apresentação foi baseada no artigo:
The Aharonov–Bohm effects: Variations on a subtle theme, Physics Today,
2009
•http://msc.phys.rug.nl/QuantumMechanics/ab.htm#Computer experiment
•Geometry, particles, and fields - Bjoern Felsager, Odense University Press
•http://video.tau.ac.il/old/Lectures/Exact_Sciences/Physics/2009/50_years_of_t
he_Aharonov-Bohm_Effect/
•Modern Quantum Mechanics Revised Edition – J. J. Sakurai, Addison Wesley
Não deixando de lado a proposta feita em 1949 por Ehrenberg & Siday
•The Refractive Index in Electron Optics and the Principles of Dynamics,
Proceedings of the Physical Society. Section B, Volume 62, Number 1
Animações em Flash
Pacote de anda vermelho – B = 0
Pacote de onda azul
– B = B’
http://msc.phys.rug.nl/QuantumMechanics/ab.htm#Computer experiment
1993
Efeito AB “neutron-scalar”[13]
Dual do efeito AB magnético
Nêutrons
| z
Polarizador
 
Bx (r , t )
 
 
[Bx (r , t ), Bx (r ' , t ' )]  0
Detector
1993
Efeito AB “neutron-scalar”[13]
Dual do efeito AB magnético
| z

Bx (t )
cos(t ) |  z  i sen(t ) |  z
2
Detector
Polarizador
Nêutron térmico λfase= 1,8 Å
Comprimento de coerência = 3.3 Å
Defasagem > Lc
Efeito AB
comprovado!
1993
Efeito AB “neutron-scalar”[13]
Dual do efeito AB magnético
| z

Bx (t )
cos(t ) |  z  i sen(t ) |  z
2
Detector
Polarizador
Nêutron térmico λfase= 1,8 Å
Comprimento de coerência = 3.3 Å
Defasagem > Lc
Não deveria ser zero?
Estranho:
Efeito AB
comprovado?
Estados |+> e |-> são ortogonais!!!
Não existe padrão de interferência!!
Pra mim, esta experiência não conprova o efeito AB. Ainda preciso entendê-la melhor!
Proposta
Solenóide
infinito
Toróide
Toróide coaxial
Planos infinitos
Cabo coaxial infinito
Proposta

Seria possível utilizar o spin do fóton para
observar o efeito AB?
V(t)
Detector
Efeito independente de λ
Controle no Lc?
Detector
Invariância de calibre
Fácil de ser observada relativisticamente
ou
Teorema de Stokes
Dependência apenas com
o fluxo magnético!
0


S  e   `dt  e  ( 0  )dt  e   0 dt  
dt
t
t