DIVISÃO INTEIRA DE
POLINÓMIOS
Tema: Álgebra
ÁLGEBRA
DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOS
Multiplicidade da raiz de um polinómio
Definição
Dado um polinómio 𝑃(𝑥) e uma raiz 𝛼 de 𝑃(𝑥), a “multiplicidade de
𝛼” é o maior número natural 𝑘, tal que 𝑃 𝑥 = 𝑥 − 𝛼
algum polinómio 𝑄(𝑥), com 𝑄(𝑥) ≠ 0.
𝑘
× 𝑄(𝑥), para
Se a multiplicidade de 𝛼 for igual a 1, dizemos que 𝛼 é uma “raiz
simples” do polinómio 𝑃(𝑥).
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Exemplo 29
1 é raiz dos polinómios
𝐴
𝐵
𝐶
D
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
= 𝑥 − 1 𝑥 − 3 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3
= 𝑥 − 1 𝐴 𝑥 = 𝑥 3 − 5𝑥 2 + 7𝑥 − 3
= 𝑥 − 1 𝐵 𝑥 = 𝑥 4 − 6𝑥 3 + 12𝑥 2 − 10𝑥 + 3
= 2𝐶 𝑥 = 2𝑥 4 − 12𝑥 3 + 24𝑥 2 − 20𝑥 + 6
Repara que:
1 é raiz simples (ou de multiplicidade 1) de 𝐴(𝑥).
Como 𝐵(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 − 1)(𝑥 − 3) = 𝑥 − 1 2 (𝑥 − 3),
1 é raiz dupla (ou de multiplicidade de 2) de 𝐵(𝑥).
Como 𝐶 𝑥 = 𝑥 − 1 3 (𝑥 − 3),
1 é raiz tripla (ou de multiplicidade de 3) de 𝐶(𝑥).
Como 𝐷 𝑥 = 2 𝑥 − 1 3 (𝑥 − 3),
1 é raiz tripla (ou de multiplicidade de 3) de 𝐷(𝑥).
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Fatorização de um polinómio
Propriedade 14
Sejam 𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑘 as raízes do polinómio 𝑃(𝑥) de grau 𝑛 ∈ ℕ e
𝑛1 , 𝑛2 , … , 𝑛𝑘 ≤ 𝑛 e existe um único polinómio sem raízes
𝑄(𝑥) tal que
𝑃 𝑥 = 𝑥 − 𝛼1
𝑛1
× 𝑥 − 𝛼2
𝑛2
× ⋯ × 𝑥 − 𝛼𝑘
𝑛𝑘
× 𝑄(𝑥)
O polinómio 𝑄(𝑥) tem grau zero se e só se 𝑛1 + 𝑛2 + … + 𝑛𝑘 = 𝑛
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Exemplo 30
1, −2 e 3 são raízes do polinómio
𝐴 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑥 + 2 𝑥 − 3 𝑥2 + 1
= 𝑥 5 − 2𝑥 4 − 4𝑥 3 + 4𝑥 2 − 5𝑥 + 6
No caso de 𝐴(𝑥), repara que 𝑥 2 + 1 é um polinómio de grau 2 e que
não tem raízes reais, pois
𝑥 2 + 1 = 0 (𝑥 2 +1 = 0 ⟺ 𝑥 2 = −1)
é uma equação impossível em ℝ.
Então, 𝐴(𝑥) é um polinómio de grau
1 + 1 + 1 + 2 = 5,
sendo 1, − 2 e 3 as suas raízes, todas de multiplicidade 1.
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Exemplo 30 (continuação)
1, −2 e 3 são raízes do polinómio
𝐵 𝑥 = 𝑥−1
2
𝑥 + 2 𝑥 − 3 = 𝑥 4 − 3𝑥 3 − 3𝑥 2 + 11𝑥 − 6
No caso de 𝐵(𝑥), temos 𝑄 𝑥 = 1 de grau 0 e sem raízes, sendo então
𝐵 𝑥 = 𝑥−1
2
𝑥 + 2 𝑥 − 3 𝑄(𝑥).
Então, 𝐵(𝑥) é um polinómio de grau
2 + 1 + 1 + 0 = 4,
sendo 1, − 2 e 3 as suas raízes, todas de multiplicidade 2, 1 e 1
(respetivamente) .
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Exemplo 30 (continuação)
1, −2 e 3 são raízes do polinómio
𝐶 𝑥 =3 𝑥−1
2
𝑥 + 2 𝑥 − 3 = 3𝑥 4 − 9𝑥 3 − 9𝑥 2 + 33𝑥 − 18
No caso de 𝐶(𝑥), temos 𝑄 𝑥 = 3 de grau 0 e sem raízes, sendo então
𝐶 𝑥 = 𝑥−1
2
𝑥+2 𝑥−3 𝑄 𝑥 .
Então, 𝐶(𝑥) é um polinómio de grau
0 + 2 + 1 + 1 = 4,
sendo 1, − 2 e 3 as suas raízes, todas de multiplicidade 2, 1 e 1
(respetivamente) .
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Exemplo 31
Sabendo que 𝛼 = 2 é raiz do polinómio
𝐴 𝑥 = 𝑥 3 − 𝑥 2 − 8𝑥 + 12,
vamos decompor 𝐴 𝑥 num produto de polinómios do 1. ° grau.
Podemos então dividir 𝐴 𝑥 por 𝑥 − 2 aplicando a Regra de Ruffini:
1
−1 −8 12
2
2
1
1
2 −12
−6 0
𝐴 𝑥 = (𝑥 − 2) × 𝑄(𝑥)
𝐴 𝑥 = (𝑥 − 2) × 𝑥 2 + 𝑥 − 6
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Exemplo 31 (continuação)
Como 𝑄 𝑥 = 𝑥 2 + 𝑥 − 6 é um polinómio de grau 2, podemos procurar
as suas raízes utilizando a fórmula resolvente na equação 𝑄(𝑥) = 0.
Assim:
𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0 ⟺
−1 ± 12 − 4 × 1 × −6
⟺𝑥=
⟺
2×1
−1 ± 1 + 24
⟺𝑥=
⟺
2
−1 ± 5
⟺𝑥=
⟺
2
⟺ 𝑥 = 2 ∨ 𝑥 = −3
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Exemplo 31 (continuação)
Sabendo que 𝛼 = 2 é raiz do polinómio
𝐴 𝑥 = 𝑥 3 − 𝑥 3 − 8𝑥 + 12,
Como 2 e −3 são as raízes de 𝑄(𝑥), podemos escrever que
𝑄(𝑥) = (𝑥 − 2) (𝑥 + 3).
Como,
𝐴 𝑥 = (𝑥 − 2) × 𝑄(𝑥)
Então,
𝐴(𝑥) = (𝑥 − 2) × (𝑥 − 2) × (𝑥 + 3),
sendo todos estes polinómios do 1. ° grau e
𝐴 𝑥 = 𝑥−2 2× 𝑥 + 3 .
A raiz 2 tem multiplicidade 2 e − 3 é um zero de multiplicidade 1, ou
seja, é uma raiz simples.
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Exemplo 32
Sendo 𝑘 um número real diferente de zero. Consideremos que o
polinómio
𝐴 𝑥 =𝑘× 𝑥+1 3× 𝑥+5 2× 𝑥−3
admite −1 como raiz de multiplicidade 3, −5 como raiz de
multiplicidade 2 e 3 como raiz simples ou de multiplicidade 1.
O polinómio
𝐵 𝑥 =𝑘× 𝑥+1
2
× 𝑥 + 5 × 𝑥 − 5 × 𝑥2 + 1
tem grau 6 e admite 3 raízes: −1 como raiz de multiplicidade 2 e −5 e
5, como raízes de multiplicidade 1 (ou raízes simples).
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Propriedade 15
Dado um polinómio 𝑃(𝑥) de coeficientes inteiros, o seu termo de
grau zero é múltiplo inteiro de qualquer raiz inteira de 𝑃(𝑥).
Exemplo 33
Seja
𝑃 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑥 + 2 𝑥 − 3 = 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 5𝑥 + 6.
Repara que 𝑃 𝑥 é divisível por 𝑥 − 1, 𝑥 + 2 e 𝑥 − 3, pelo que 1, −2 e
3 são suas raízes.
Repara também que o termo de grau zero é 6 e 6 é múltiplo de 1, −2 e
3:
6=2×3
6 = −3 × (−2)
6=6×1
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Exemplo 34
O termo de grau zero de 𝐴 𝑥 = 𝑥 3 − 3𝑥 − 2 é −2.
Os divisores inteiros de −2 são 1, −1, 2 e −2.
Para verificarmos se os números −1, 1, −2, 2 são raízes de 𝐴 𝑥 só
precisamos de calcular 𝐴 𝛼 para 𝛼 ∈ −1, 1, −2, 2 .
𝐴 −1 = −1
3
− 3 × −1 − 2 = −1 + 3 − 2 = 0
𝐴 1 = 13 − 3 × 1 − 2 = 1 − 3 − 2 = −4 ≠ 0
𝐴 −2 = −2
3
− 3 × −2 − 2 = −8 + 6 − 2 = −4 ≠ 0
𝐴 2 = 23 − 3 × 2 − 2 = 8 − 6 − 2 = 0
Portanto, as raízes inteiras de 𝐴 2 são −1 e 2.